RELAZIONE Siano X e Y due insiemi non vuoti si chiama relazione tra X e Y un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano: R X x Y = (x,y): xX, yY L’insieme costituito dai primi (secondi) elementi delle coppie viene chiamato dominio (codomino)

FUNZIONE Una relazione è una funzione se comunque si prenda un elemento x di X ad esso viene associato uno e un solo elemento y di Y Noi consideriamo X, Y  R , cioè funzioni reali di una variabile reale.

FUNZIONE ESPONENZIALE Si chiama funzione esponenziale in base a, a R+ \ {1}, la funzione f : R  R+: f(x)=ax N.B. per a = 1 avremmo il caso banale f(x)=1x y x 1

CASO a > 1 f(x)=ex y x x y 0 1 -1 1/e 2 e2 -2 1/e2 1 e 1 -1 1/e 1 e 0 1 -1 1/e 2 e2 -2 1/e2 1 e 1 -1 1/e 1 e -2 1/e2 2 e2

CASO a > 1 confronto tra basi diverse y = 2x y = ex y x y y = 2x 0 1 -1 1/2 -2 1/22 1 2 2 22 -2 -1 1 2 x

CASO a > 1 Dominio R Codominio R+ Passa per (0,1) Monotona crescente Se la base aumenta è più ripida

CASO a < 1 f(x)=(1/e)x y x x y 0 1 -1 e -2 e2 -1 e -2 e2 1 1 1/e 0 1 -1 e -2 e2 -1 e -2 e2 1 1 1/e 1 1/e 2 1/e2 2 1/e2

CASO a < 1 confronto tra basi diverse y = (1/2)x y x y 0 1 -1 2 -2 22 y = (1/2)x 1 1/2 y = (1/e)x 2 1/22 -2 -1 1 2 x

CASO a < 1 Dominio R Codominio R+ Passa per (0,1) Monotona decrescente Se la base aumenta è meno ripida

LOGARITMI Siano a un numero reale positivo, a ¹ 1, e b un numero reale positivo allora esiste un numero reale c tale che: ac = b Tale numero c si dice logaritmo in base a di b e si indica con il simbolo: logab NB  

ESEMPI log28 = 3 log22 = 1 log51 = 0 log(1/3)3 = -1 log381 = 4

Esercizi Determinare la base: logx7 = -1 x = 1/7 logx49 = 2 x = 7

BASI DEL LOGARITMO Le due basi più usate sono la base 10 e la base “e” (dove “e” è il numero di Nepero, e = 2,7182….) Per indicare il logaritmo in base 10 si usa il simbolo “Log” Per indicare il logaritmo in base “e” si usa il simbolo “ln”

FORMULA PER IL CAMBIAMENTO DI BASE Supponiamo di voler passare dalla base a alla base d,  a,d R+ \ {1} c R+

ESEMPI

PROPRIETA’ DEI LOGARITMI PROPRIETA’ DEL PRODOTTO PROPRIETA’ DEL QUOZIENTE PROPRIETA’ DELLA POTENZA

PROPRIETA’ DEL PRODOTTO: Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi: loga(x1 · x2 )= loga x1 + loga x2 a R+ \ {1} x1, x2 R+ Esempio: loga(3 · 4 )= loga 3 + loga 4

PROPRIETA’ DEL QUOZIENTE: Il logaritmo del quoziente è uguale alla differenza dei logaritmi del dividendo e del divisore: loga(x1 : x2 )= loga x1 - loga x2  a R+ \ {1} x1, x2 R+ Esempio: loga(8 : 3 )= loga 8 - loga 3

PROPRIETA’ DELLA POTENZA: Il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto dell’esponente per il logaritmo della base: loga(xa)= aloga x  a R+ \ {1} x R+ a R Esempio: loga(23)= 3 loga 2

ESERCIZIO 1+3 Log (a) + ½ [Log (a+b) - Log (b)] + 1/9 [Log (a) - Log (a+b)] = Log (10) +Log (a3) + [Log (a+b)½ - Log (b)½ ] + [Log (a) 1/9 - Log (a+b) 1/9 ] = Log{10 · a3 · [(a+b)½ : (b)½] · [(a) 1/9 : (a+b)1/9]}

FUNZIONE LOGARITMICA Si chiama funzione logaritmica in base a, aR+ \ {1}, la funzione f : R+  R: f(x)=logax x > 0 E’ la funzione inversa della funzione esponenziale: x = ay y = logax Il logax è l’esponente che dobbiamo dare ad a per ottenere x

Caso a > 1 y=ln(x) y x x y 1 0 1/e -1 2 e2 e 1 1 e -1 1/e e2 2 1

Caso a > 1 confronto tra basi diverse y = log2x y = lnx 2 1 1/e e e2 -1

Caso a > 1 Dominio R+ Codominio R Passa per (1,0) Monotona crescente Se la base aumenta è meno ripida

Caso a < 1 y=log(1/e)x y x x y 1 0 1/e 1 1 1/e e -1 -1 e 1

Caso a < 1 confronto tra basi diverse y = log(1/2)(x) y 1 e 1/e x -1 y = log(1/e)(x)

Caso a < 1 Dominio R+ Codominio R Passa per (1,0) Monotona decrescente Se la base aumenta è più ripida