Strumenti per lo studio dei sistemi continui nel dominio della frequenza

Gli argomenti di questa lezione sono: Strumenti per lo studio dei sistemi continui nel dominio del tempo e nel dominio della frequenza Gli argomenti di questa lezione sono: Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode La rappresentazione nel piano complesso Il diagramma polare (o di Nyquist)

Le rappresentazioni grafiche Non si entra, per ora, nel merito dell’uso delle rappresentazioni grafiche nello studio dei sistemi Si cercherà, invece, di stabilire alcune regole di facile apprendimento per tracciare, nel più immediato dei modi ed almeno in prima approssimazione, due tipiche rappresentazioni grafiche per le funzioni di trasferimento: i diagammi di Bode il diagramma polare (o di Nyquist)

I diagrammi di Bode

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode I diagrammi di Bode sono due diagrammi semilogaritmici Nel primo diagramma di Bode si rappresenta il valore, in dB, del modulo (o ampiezza) di una funzione G(s) al variare di w, posto s=jw Nel secondo diagramma di Bode si rappresenta la fase della funzione G(s) Si ricorda che la funzione G(s) è una funzione complessa con parte reale Re[G(s)] e coefficiente della parte immaginaria Im[G(s)]

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode Cosa si intende per diagrammi semilogaritmici? Sono diagrammi con assi ortogonali, come quelli cartesiani, nei quali, però, l’asse delle ascisse è graduato secondo il logaritmo (in base 10) della variabile indipendente (che qui è w) Ricordando che log100 = - log101 = 0 log1010 = 1 log10100 = 2 e così via, si ha il diagramma che segue Precisazione: si noti che la funzione logaritmo non è, in effetti, definita per l’argomento 0; -, dunque, è in realtà il limite di tale funzione quando l’argomento tende a 0

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode L’intervallo fra una “tacca” e l’altra, cioè ogni volta che log w aumenta di 1, si dice decade La variabile sull’asse delle ascisse è la pulsazione w log w 1 2 3 4 5 w [rad/s] 1 100 10 101 100 102 1.000 103 10.000 104 100.000 105 decade decade decade decade decade Poiché, come si è detto nella slide precedente, il logaritmo di 0 tende a - , naturalmente lo 0 in questo diagramma non può essere rappresentato!

È noto che il modulo di G(s) può essere calcolato come: Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode : diagramma del modulo È noto che il modulo di G(s) può essere calcolato come: |G(s)| = Re[G(s)]2+Im[G(s)]2 Il suo valore in dB è, naturalmente: |G(s)|dB = 20 log |G(s)| Si noti che se |G(s)|=1  |G(s)|dB=0 se |G(s)|>1  |G(s)|dB>0 se |G(s)|<1  |G(s)|dB<0

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: diagramma del modulo |G(s)|dB w [rad/s] 80 60 La variabile sull’asse delle ordinate è il modulo, espresso in dB, |G(s)|dB 40 20 -20 100 101 102 103 104 105 -40 -60 -80

La fase di G(s) può essere calcolata come: j = tan-1 Im[G(s)] Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode : diagramma della fase La fase di G(s) può essere calcolata come: j = tan-1 Im[G(s)] Re[G(s)] La fase può essere espressa in gradi o in radianti Si ricordi che 0° = 0 [rad] 90° = p/2 [rad] 180° = p [rad]

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: diagramma della fase j [rad] [°] w [rad/s] 180° p 135° 3p/4 La variabile sull’asse delle ordinate è la fase j 90° p/2 45° p/4 -p/4 -45° 100 101 102 103 104 105 -90° -p/2 -3p/4 -135° -180° -p

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode Per imparare le regole per la costruzione di un diagramma di Bode si partirà dall’illustrazione di alcuni esempi classici dai quali dedurre le regole fondamentali Illustreremo di seguito la rappresentazione delle seguenti funzioni: G(s) = k (k=costante reale positiva) G(s) = s G(s) = k•s G(s) = 1/s G(s) = 1+t•s G(s) = 1/(1+t•s)

La funzione G(s)=k

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=k Posto s=jw, possiamo senz’altro dire che il valore in dB del modulo della funzione G(jw) è |G(jw)|dB = 20•log|k| Tale valore è 0 se k=1 positivo se k>1 negativo se k<1 La G(s) ha in questo caso parte reale Re[G(s)]=k e coefficiente della parte immaginaria nulla per cui j = tan-1 0 = 0

Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=k: diagramma del modulo |G(jw)|dB 100 102 103 104 105 101 20 40 60 80 -80 -60 -40 -20 w [rad/s] k=1  |G(jw)|dB = 0 per ogni valore di w k<1  |G(jw)|dB < 0 per ogni valore di w k>1  |G(jw)|dB > 0 per ogni valore di w

Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=k: diagramma della fase j [rad] 100 102 103 104 105 101 p/4 p/2 3p/4 p -p -3p/4 -p/2 -p/4 w [rad/s] j = 0° per ogni valore di w

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=k Riepilogando La funzione G(s)=k (costante reale positiva) ha un modulo in dB costante e pari a 20•logk Tale funzione non introduce alcuno sfasamento, cioè la sua fase è costantemente nulla al variare della pulsazione w

La funzione G(s)=s

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=s Posto s=jw, si calcola facilmente che il valore in dB del modulo della funzione G(jw) è |G(jw)|dB = 20 logw Tale valore è 0 quando w=1 cresce linearmente di 20 dB ogni volta che log w aumenta di 1, cioè per ogni decade La G(s) ha in questo caso parte reale nulla e coef-ficiente della parte immaginaria Im[G(s)]=w per cui j = arctg (w/0) = 90° = p/2

Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=s: diagramma del modulo |G(jw)|dB 100 102 103 104 105 101 20 40 60 80 -80 -60 -40 -20 w [rad/s] ed aumenta di 20 dB per ogni decade |G(jw)|dB vale 0 quando w = 1

Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=s: diagramma della fase j [rad] 100 102 103 104 105 101 p/4 p/2 3p/4 p -p -3p/4 -p/2 -p/4 w [rad/s] j = 90° per ogni valore di w

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=s Riepilogando La funzione G(s)=s ha uno zero nell’origine (cioè per s=0 si ha G(s)=0) Tale funzione G(s)=s ha un modulo in dB che si annulla per w=1 e che cresce di 20 dB per decade Inoltre essa introduce uno sfasamento, costante al variare di w, di 90°

La funzione G(s)=k•s

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=k•s Posto s=jw, il valore in dB del modulo della funzione G(jw), per le proprietà dei logaritmi, si calcola facendo la somma dei logaritmi di k ed w |G(jw)|dB = 20•log(|k|•w) = 20•log|k| + 20•logw Come si vede, è la somma delle funzioni viste in precedenza; il grafico del modulo risulta quindi uguale al grafico della funzione G(s)=s traslato verticalmente del valore di 20•log|k| Il diagramma della fase è identico a quello della G(s)=s in quanto la parte reale di G(s)=k•s è nulla j = arctg (kw/0) = 90° = p/2

= diagramma di G(s)=k•s Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=k•s: diagramma del modulo |G(jw)|dB 100 102 103 104 105 101 20 40 60 80 -80 -60 -40 -20 w [rad/s] = diagramma di G(s)=k•s Diagramma di G(s)=s + diagramma di G(s)=k

j [rad] j = 90° per ogni valore di w w [rad/s] Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=k•s: diagramma della fase j [rad] 100 102 103 104 105 101 p/4 p/2 3p/4 p -p -3p/4 -p/2 -p/4 w [rad/s] j = 90° per ogni valore di w

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=k•s Da quanto visto sulle rappresentazioni di tale funzione è possibile ricavare una regola generale Il prodotto di una costante k (reale e positiva) su una funzione G(s) incide sui diagrammi di Bode nel seguente modo: Il diagramma del modulo risulta traslato verticalmente del valore 20•log|k| Il diagramma della fase rimane invariato

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=k•s Annotazione: la regola enunciata corrisponde al fatto che il modulo del prodotto di due numeri complessi è pari al prodotto dei moduli, mentre la fase di tale prodotto è pari alla somma delle fasi Il numero reale k ha modulo |k| ed ha fase nulla Quindi, nel modulo in dB, per la proprietà dei logaritmi, il valore 20•log|k| si somma a 20•logw Inoltre, visto che k ha fase nulla, la fase di G(s)=k•s è uguale a quella di s, cioè sempre 90°

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=k•s Sul diagramma del modulo si deve fare un’altra fondamentale considerazione Il modulo in dB, assume valore 0 quando |G(s)|dB=20•(log|k|+logw)=0 e quindi, con qualche passaggio algebrico, quando logw=-log|k|  logw=log|k|-1  w=|k|-1  w=1/|k| Il numero reale 1/|k| è dunque l’intersezione con l’asse delle ascisse della curva del modulo in dB della funzione G(s)=k•s

Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=k•s: diagramma del modulo |G(jw)|dB 100 102 103 104 105 101 20 40 60 80 -80 -60 -40 -20 w [rad/s] Diagramma di G(s)=k•s 1/|k| Intersezione = 1/|k|

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=k•s Riepilogando La funzione G(s)=k•s ha uno zero nell’origine (cioè per s=0 si ha G(s)=0) Tale funzione ha un modulo in dB che si annulla per w=1/|k| e che cresce di 20 dB per decade Il suo modulo in dB può comunque essere sempre calcolato come somma del modulo in dB della funzione k e del modulo in dB della funzione s Inoltre la funzione G(s)=k•s introduce uno sfasamento, costante al variare di w, di 90°

La funzione G(s)=1/s

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1/s Posto s=jw, il valore in dB del modulo della funzione G(jw), per le proprietà dei logaritmi, si calcola mediante la differenza |G(jw)|dB=20•log(1/w)=20•(log1-logw)=-20•logw Poiché la funzione G(s)=1/s ha un modulo in dB che è pari a quello della funzione G(s)=s col segno cambiato, il suo diagramma del modulo risulta ribaltato verticalmente rispetto a quello di G(s)=s Quanto alla fase, ricordando che la divisione di due numeri complessi ha fase pari alla differenza delle fasi, essa sarà j = j(1)-j(s) = 0°-90° = -90° = -p/2

Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=1/s: diagramma del modulo |G(jw)|dB 100 102 103 104 105 101 20 40 60 80 -80 -60 -40 -20 w [rad/s] Diagramma di G(s)=1/s Diagramma di G(s)=s

j = -90° per ogni valore di w Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=1/s: diagramma della fase j [rad] 100 102 103 104 105 101 p/4 p/2 3p/4 p -p -3p/4 -p/2 -p/4 w [rad/s] j = -90° per ogni valore di w

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1/s Esercizio Tracciare i diagrammi di Bode della funzione G(s)=k/s Suggerimento: si noti che tale funzione è il prodotto di k e di 1/s

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1/s Riepilogando La funzione G(s)=1/s ha un polo nell’origine (cioè per s=0, G(s) ha una singolarità) Tale funzione ha un modulo in dB che si annulla per w=1 e che decresce di 20 dB per decade Il suo modulo in dB può comunque essere calcolato sempre come differenza del modulo in dB della funzione 1 (che è pari a 0) e del modulo in dB della funzione s Inoltre la funzione G(s)=1/s introduce uno sfasamento, costante al variare di w, di -90°

La funzione G(s)=1+ts

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1+ts Posto s=jw, il modulo di G(s) è dato da |G(jw)| = 12+(tw)2 Tale valore è praticamente pari ad 1 quando tw << 1 praticamente pari a tw quando tw>>1 Il diagramma del modulo, quindi, assume l’andamento della funzione G(s)=1 per valori di w prossimi a 0 l’andamento della funzione G(s)=ts per valori di w molto grandi Questi andamenti sono asintotici per G(s)=1+ts

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1+ts Inoltre, come si è già visto, il diagramma del modulo della funzione G(s)=ts interseca l’asse delle ascisse nel punto w=1/|t| Ma si può notare anche che il valore s=-1/t annulla la funzione G(s); esso è quindi uno zero della funzione G(s) Si può allora trarre la conclusione che l’asintoto di G(s)=1+ts, quando w è molto grande, è proprio la retta che passa per il punto w=1/|t|, valore che è proprio il valore assoluto dello zero di G(s), e cresce di 20 dB per decade

Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=1+ts: diagramma del modulo Diagramma asintotico risultante di G(s)=1+ts Diagramma di G(s)=ts asintoto per w molto grande |G(jw)|dB 100 102 103 104 105 101 20 40 60 80 -80 -60 -40 -20 w [rad/s] 1/|t| Diagramma di G(s)=1 asintoto per w molto piccolo

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1+ts Annotazione: più volte è stata usata l’espressione diagramma asintotico; tale espressione significa che il diagramma costruito è solo un’approssimazione dell’andamento effettivo della funzione G(s)=1+ts

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1+ts Esercizio Calcolare lo scostamento del diagramma reale della funzione G(s)=1+t•s rispetto al diagramma asintotico nel punto w=1/|t|

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1+ts Soluzione Per w=1/|t|, G(jw)=1+jt•w=1±j In tal caso, il modulo di G(jw)=1±j è pari alla radice di 2 cioè |G(jw)|=1,4142 Il valore in dB è dunque |G(jw)|dB= 20•log1,4142 = 3 dB Poiché nel punto w=1/|t| il modulo rappresentato nel diagramma asintotico assume il valore 0 dB, lo scostamento richiesto è proprio pari a 3 dB

Andamento effettivo di G(s) Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=1+ts: soluzione esercizio Diagramma asintotico G(s)=1+ts |G(jw)|dB 100 102 103 104 105 101 20 40 60 80 -80 -60 -40 -20 w [rad/s] Andamento effettivo di G(s) 3 dB 1/|t|

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1+ts Per quanto riguarda la fase, si nota che quando w è molto piccolo, il rapporto Im[G(s)]/Re[G(s)] diventa praticamente nullo La fase, per w molto piccolo, è quindi j = arctg {Im[G(s)]/Re[G(s)]}  0 Per un valore molto grande di w, viceversa, il rapporto Im[G(s)]/Re[G(s)] diventa praticamente + e quindi j = arctg {Im[G(s)]/Re[G(s)]}  90° = p/2

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1+ts I diagrammi di fase visti per G(s)=1 e per G(s)=ts sono quindi gli asintoti del diagramma della fase della funzione G(s)=1+ts, rispettivamente per w molto piccolo e per w molto grande Si può notare inoltre che quando w=1/|t|, come si è visto dal precedente esercizio, G(s)=1+j e quindi la fase risulta j = arctg 1 = 45° = p/4 Il diagramma della fase della funzione G(s)=1+ts passa quindi per il punto individuato dalle coordinate w=1/t e j=p/4

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1+ts Per completare il diagramma asintotico della fase, senza aggiungere ulteriori spiegazioni, che sono un po’ più complesse, si deve chiarire che il passaggio da un asintoto all’altro avviene quasi totalmente nell’arco di due decadi, la decade a sinistra dello zero e la decade a destra dello zero

Diagramma asintotico della fase completo Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=1+ts: diagramma della fase Il diagramma passa per questo punto Asintoto per w molto grande j [rad] 100 102 103 104 105 101 p/4 p/2 3p/4 p -p -3p/4 -p/2 -p/4 w [rad/s] decade dopo 1/|t| decade prima Diagramma asintotico della fase completo Asintoto obliquo Asintoto per w molto piccolo

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1+ts Riepilogando La funzione G(s)=1+ts ha uno zero per s=-1/t Tale funzione ha un modulo in dB sempre crescente con w Si può tracciare un diagramma asintotico del modulo che è: pari a 0 per w<1/|t| aumenta di 20 dB per decade per w>1/|t|

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1+ts Riepilogando Inoltre la funzione G(s)=1+ts introduce uno sfasamento cresente al variare di w Si può tracciare un diagramma asintotico della fase che è: pari a 0° per w<1/|t| - una decade aumenta di 45° per ciascuna delle due decadi successive (w compreso fra 1/|t| - una decade e 1/|t| + una decade) pari a 90° per w>1/|t| + una decade

La funzione G(s)=1/(1+ts)

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1/(1+ts) Questa funzione si comporta nei confronti della funzione G(s)=1+ts come la funzione G(s)=1/s si comportava nei confronti della funzione G(s)=s Il diagramma asintotico del modulo è quindi come quello della funzione G(s)=1+ts ribaltato in senso verticale Il valore s=-1/t annulla il denominatore della funzione G(s) ed è quindi un polo (non uno zero) Anche in questo caso, il punto w=1/|t| è l’intersezione fra l’asse delle ascisse e l’asintoto per w molto grande

Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=1/(1+ts): diagramma del modulo |G(jw)|dB 100 102 103 104 105 101 20 40 60 80 -80 -60 -40 -20 w [rad/s] Diagramma asintotico di G(s)=1/(1+ts) 1/t Diagramma asintotico di G(s)=1+ts

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1/(1+ts) Per quanto riguarda la fase, notiamo che per la proprietà già ricordata sulla fase del quoziente di due numeri complessi, la fase di G(s) è pari alla fase di 1, che vale 0, meno la fase di (1+ts), di cui è già noto il diagramma asintotico di fase Il diagramma asintotico di fase di G(s) risulta quindi dal ribaltamento in verticale del diagramma asintotico di fase visto prima per la funzione (1+ts)

Diagramma asintotico di fase di G(s) Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=1/(1+ts): diagramma della fase j [rad] 100 102 103 104 105 101 p/4 p/2 3p/4 p -p -3p/4 -p/2 -p/4 w [rad/s] Diagramma asintotico di fase di G(s) 1/t Diagramma asintotico di fase di (1+ts)

Tracciare i diagrammi di Bode della funzione G(s)=k/(1+ts) Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1/(1+ts) Esercizio Tracciare i diagrammi di Bode della funzione G(s)=k/(1+ts)

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1/(1+ts) Riepilogando La funzione G(s)=1/(1+ts) ha un polo per s=-1/t Tale funzione ha un modulo in dB sempre decrescente con w Si può tracciare un diagramma asintotico del modulo che è: pari a 0 per w<1/|t| diminuisce di 20 dB per decade per w>1/|t|

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)= 1/(1+ts) Riepilogando Inoltre la funzione G(s)=1/(1+ts) introduce uno sfasamento decresente al variare di w Si può tracciare un diagramma asintotico della fase che è: pari a 0° per w<1/|t| - una decade diminuisce di 45° per ciascuna delle due decadi successive (w compreso fra 1/|t| - una decade e 1/|t| + una decade) pari a -90° per w>1/|t| + una decade

Il prodotto di funzioni

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: il prodotto di funzioni Si consideri il caso di una funzione di trasferimento F(s) che sia genericamente il prodotto di due o più funzioni come quelle degli esempi visti Per semplicità si fissi F(s)=A(s)•B(s) con A(s)=1+t1s e B(s)= 1+t2s e t1>t2 I valori s=-1/t1 ed s=-1/t2 annullano la F(s) e sono quindi zeri di F(s) Per le solite proprietà dei logaritmi, il modulo in dB, di F(s), posto s=jw, è |F(s)|dB = 20•log(|1+jwt1|•|1+jwt2|) = =20•log|1+jwt1|+20•log|1+jwt2|=|A(s)|dB+|B(s)|dB

Succede allora che il diagramma asintotico del modulo di F(s) è Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: il prodotto di funzioni Si conoscono già gli andamenti dei diagrammi asintotici del modulo di A(s) e B(s), per cui basta fare una somma grafica dei due diagrammi Nel fare questa somma si vede che i tratti in pendenza danno luogo ad un assommarsi delle pendenze Succede allora che il diagramma asintotico del modulo di F(s) è nullo per w<1/|t1| ha una pendenza di +20 dB per decade fino a 1/|t2| ha una pendenza di +40 dB per decade per w>1/|t2|

Le rappresentazioni grafiche Il prodotto di funzioni: diagramma del modulo Diagramma asintotico di A(s)=(1+t1s) |F(jw)|dB 100 102 103 104 105 101 20 40 60 80 -80 -60 -40 -20 w [rad/s] Diagramma asintotico di F(s)=A(s)•B(s) Pendenza 40 dB per decade 1/t1 1/t2 |F(s)|dB=0 Pendenza 20 dB per decade Diagramma asintotico di B(s)=1+t2s

Valgono le considerazioni già dette sui tratti in pendenza Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: il prodotto di funzioni Per quanto riguarda la fase, si ricordi che la fase di un prodotto complesso è uguale alla somma delle fasi dei fattori; quindi, anche in questo caso, si può fare una somma grafica dei diagrammi asintotici della fase di A(s) e di B(s) Valgono le considerazioni già dette sui tratti in pendenza

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: il prodotto di funzioni Esercizio Tracciare il diagramma di Bode della fase della funzione F(s) = A(s)•B(s) = (1+t1s)•(1+t2s)

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: il prodotto di funzioni Riepilogando Nel fare un prodotto di due funzioni il diagramma asintotico del modulo si può ricavare facendo una somma grafica dei diagrammi asintotici dei moduli delle singole funzioni Anche il diagramma asintotico della fase può ottenersi come somma grafica dei diagrammi asintotici delle fasi delle singole funzioni

Il rapporto di funzioni

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: il rapporto di funzioni Si consideri, infine, il caso di una F(s) che sia il rapporto di due funzioni come quelle viste finora Per semplicità si fissi F(s)=A(s)/B(s) con A(s)=1+t1s e B(s)= 1+t2s e t1>t2 s=-1/t1 annulla la A(s) ed è quindi uno zero di F(s) s=-1/t2 annulla la B(s) ed è quindi un polo di F(s) Per le solite proprietà dei logaritmi, il modulo in dB, di F(s), posto s=jw, è |F(s)|dB = 20•log(|1+jwt1|/|1+jwt2|) = =20•log|1+jwt1|-20•log|1+jwt2|=|A(s)|dB-|B(s)|dB

Succede allora che il diagramma asintotico del modulo di F(s) è Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: il rapporto di funzioni Si conoscono già gli andamenti dei diagrammi asintotici del modulo di A(s) e B(s), per cui basta fare una differenza grafica dei due diagrammi Nel fare questa differenza si vede che i tratti in pendenza danno luogo ad una compensazione delle pendenze Succede allora che il diagramma asintotico del modulo di F(s) è nullo per w<1/|t1| ha una pendenza di 20 dB per decade fino a 1/|t2| ha una pendenza nulla per w>1/|t2|

Pendenza di nuovo nulla Le rappresentazioni grafiche Il rapporto di funzioni: diagramma del modulo Diagramma asintotico di A(s)=(1+t1s) |F(jw)|dB 100 102 103 104 105 101 20 40 60 80 -80 -60 -40 -20 w [rad/s] Pendenza di nuovo nulla Diagramma asintotico di F(s)=A(s)/B(s) 1/t1 1/t2 |F(s)|dB=0 Pendenza 20 dB per decade Diagramma asintotico di B(s)=1+t2s

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: il rapporto di funzioni Esercizio Cosa succederebbe nel diagramma di Bode appena visto nel caso in cui t2>t1 ?

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: il rapporto di funzioni Per quanto riguarda la fase, si ricordi che la fase di un rapporto complesso è uguale alla differenza delle fasi del numeratore e del denominatore; quindi, anche in questo caso, si può fare una differenza grafica dei diagrammi asintotici della fase di A(s) e di B(s) Valgono le considerazioni già dette sui tratti in pendenza

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: il rapporto di funzioni Esercizio Tracciare il diagramma di Bode della fase della funzione F(s) = A(s)/B(s) = (1+t1s)/(1+t2s) nel caso t1>t2 e nel caso opposto t2>t1

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: il rapporto di funzioni Riepilogando Nel fare un rapporto di due funzioni il diagramma asintotico del modulo si può ricavare facendo una differenza grafica dei diagrammi asintotici dei moduli delle singole funzioni Anche il diagramma asintotico della fase può ottenersi come differenza grafica dei diagrammi asintotici delle fasi delle singole funzioni

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: conclusioni Concludendo è possibile fare le seguenti considerazioni: grazie alle proprietà dei logaritmi nei diagrammi di Bode del modulo si può operare con somme e differenze grafiche; da ciò consegue che ogni volta che si raggiunge uno zero la pendenza del diagramma asintotico aumenta di 20 dB per decade ed ogni volta che si raggiunge un polo la pendenza decresce di 20 dB per decade

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: conclusioni Il valore iniziale del modulo in dB è il cosiddetto guadagno statico della G(s) e si può calcolare imponendo w=0 La rappresentazione del guadagno statico nel diagramma di Bode del modulo è impossibile in quanto se w=0, logw non è definito ( -) Tale valore è però utilissimo in quanto ci permette di individuare l’andamento asintotico del modulo per w tendente a 0 Le stesse considerazioni valgono per w  +

Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: conclusioni Considerazioni del tutto simili a quelle fatte per il diagramma di Bode del modulo, possono essere fatte per il diagramma di Bode della fase grazie al fatto che in un prodotto di numeri complessi le fasi si sommano mentre in un rapporto di numeri complessi si fa la differenza delle fasi del numeratore e del denominatore