1 Capital budgeting and Value at Risk: un commento critico F. Cetta Istituto Italiano degli Attuari 6 giugno 2002

2 1. Rischio operativo Intervento del Comitato di Basilea (2001): Rischio associato a possibili perdite derivanti da inefficienti procedure interne di monitoraggio e controllo nella gestione del portafoglio. Nel sistema bancario internazionale: - rischio di credito (50%) - rischio di mercato (15%) - rischio operativo (35%)

3 2. Asset allocation risk budgeting Organizzazione di un corretto mapping delle posizioni aperte sulle singole business units. Individuazione dei fattori di rischio: ponderazione dei fattori. Calibratura degli asset con diversi coefficienti di rischio. Profilo di rischio del portafoglio attraverso parametri di volatilità. Matching tra i risultati di gestione e la stima della potenziale perdita: analisi di sensibilità dei cash- flow.

4 3. VAR (Value at Risk) Risk Metrics: J.P. Morgan (1995) VAR: perdita attesa (potenziale) indotta da movimenti avversi del mercato (market risk) su posizioni aperte. Fissato il periodo di gestione (holding period) “h”:  = P [L > VAR] 1 -  = livello di confidenza  = 5% cutoff = 1,645  (distribuzione normale)

5 Analisi della volatilità giornaliera:  2 h,g =  2 g h   h,g =  g  h Livello di rischio sistematico: VAR = [  2  2 (R m )] 1/2 k  h k = cutoff nella distribuzione normale Hp: portafoglio composto da due asset: E(  V) = X 1  1 + X 2  2  2 (  V) = X 1 2  X 2 2  X 1 X 2  12  1  2 VAR = - [E(  V) - 1,645  (  V)]

6 Hp: portafoglio composto da n asset w = aliquota d’impiego  = matrice delle varianze-covarianze k = coefficiente di cutoff h = holding period VAR = ( w T  w) 1/2 · k ·  h Livello di rischio sistematico: VAR = [  p 2  2 (R m )] 1/2 · k ·  h

7 4. EVT (Extreme Value Theory) Analisi delle perdite aleatorie mark-to-market connesse ad eventi di bassa frequenza. Applicazioni in ingegneria idraulica ed in climatologia. Connessioni con la teoria dell’affidabilità dei sistemi e la Teoria del Rischio. In ambiente finanziario è considerato un approccio embrionale del risk-management: P.Embrechts (2000), F.Longin (1997). Modelli peaks-over threshold (POT) basati sulla distribuzione di Pareto generalizzata.

8 5. Analisi EVT VAR X = perdita aleatoria mark-to-market F(x) = funzione di ripartizione X - u = eccesso di perdita rispetto al treshold (u) F(x|X>u) = f.d.r. condizionata: probabilità che l’eccesso di perdita (X-u) sia minore di (x), dato che la perdita superi (u). 1- F(x|X>u) = probabilità condizionata che l’eccesso di perdita (X-u) sia maggiore di (x).

9 Posizione asintotica lim F(x|X>u) u  Convergenza alla distribuzione di Pareto generalizzata 1 - [1+  · x/  ] -(1/  )   0 G(x) = 1 - e -(x/  )  = 0

10  = parametro di inclinazione delle code  = parametro di scala Prima osservazione strutturale Se  > 0 otteniamo la ordinaria distribuzione di Pareto (stima delle perdite rilevanti nelle applicazioni assicurative); Se  = 0 ricaviamo la distribuzione esponenziale negativa Se  < 0 ricaviamo la distribuzione di Pareto del 2° tipo

11 Seconda osservazione strutturale Sia  > 0. Approssimazione: P[X – u > x|X > u]  1 - G(x) = [1+  ·(x/  )] -(1/  ) P[X-u > x] = P[X > u]·P [X – u > x|X > u]   P[X > u]· [1+  (x/  )] -(1/  )

12 Enunciato: la distribuzione generalizzata di Pareto fornisce un’approssimazione del VAR P[X-u > x] = P[X > x+u] x+u = VAR  = P[X > VAR] = P[X > x+u] = P[X > u] · [1+  (x/  )] -(1/  ) =P[X > u] ·  1+  [(VAR –u)/  ]  -(1/  )

13 Stima del VAR attraverso EVT VAR = u + (  /  )·{  /[P(X>u)] -  -1}

14 Bibliografia N.D.Pearson (2002): “Risk Budgeting”, J. Wiley M.G.Cruz (2002): “Modeling, measuring and hedging operational risk”, J. Wiley P.Embrechts (2000): “Extremes and Integrated Risk Management”, Risk Publication, Londra F.Longin (1997): “From VAR to stress testing: the Extreme Value approach”, Ceressec working paper