Funzioni continue Prof. V. Scaccianoce

Funzione continua in un punto Una funzione f(x) definita in un intervallo si dice continua in un punto dell’intervallo se, per x tendente a quel punto f(x) converge al suo valore in quel punto Prof. V. Scaccianoce

Funzione continua in un punto Quindi deve Esistere il valore della funzione in quel punto Esistere il limite della funzione per x tendente a quel punto e coincidere col valore della funzione Prof. V. Scaccianoce

Funzione continua in un punto Dalla definizione di limite si può anche dire Una funzione è continua in un punto c se avvicinandosi x a c la funzione si avvicina a f(c) oppure cade in un ε intorno di f(c) Prof. V. Scaccianoce

Funzione continua a destra o a sinistra di un punto Una funzione definita in un intervallo (a,b) si dice continua a destra di un punto c dell’intervallo se Una funzione definita in un intervallo (a,b) si dice continua a sinistra di un punto c dell’intervallo se Prof. V. Scaccianoce

Esempi La funzione y=[x] (parte intera di x) per ogni x intero è continua solo a destra Una funzione definita nell’intervallo (a,b) in a è continua solo a destra, in b solo a sinistra Prof. V. Scaccianoce

Teoremi sulle funzioni continue Dalla definizione di continuità e dai teoremi sui limiti segue che Se 2 funzioni sono continue in un punto c è continua in c La loro somma La loro differenza Il loro prodotto Il loro quoziente (se la funzione al denominatore non si annulla in c) Prof. V. Scaccianoce

Teoremi sulle funzioni continue Una funzione costante è continua in qualsiasi punto La variabile x è continua in qualsiasi punto Le funzioni razionali intere sono continue in qualsiasi punto Le funzioni razionali fratte sono continue per ogni valore della x che non annulli il denominatore Prof. V. Scaccianoce

f(x)=k continua x La funzione è definita per ogni valore Esiste il limite per x tendente ad un qualsiasi punto c ed è k infatti | f(c)-k|=|k-k|=0<ε Prof. V. Scaccianoce

f(x)=x continua x La funzione è definita per ogni valore Esiste il limite per x tendente ad un qualsiasi punto x0 ed è x0 infatti | f(c)- c |=| c - c |=0<ε Prof. V. Scaccianoce

Teoremi sulle funzioni continue Le funzioni senx e cosx sono continue per ogni valore della x La funzione y=ax (a>0) è continua x La funzione lgax (a>0) è continua x>0 La funzione y=n√x è continua x>=0 Prof. V. Scaccianoce

Esempi Prof. V. Scaccianoce

Continuità in un intervallo Sia y=f(x) una funzione definita in [a.b] essa è continua in tale intervallo se lo è per ogni punto dell’intervallo (dal punto di vista intuitivo equivale a dire che il diagramma della funzione è “tutto d’un pezzo”) Prof. V. Scaccianoce

Teoremi sulla continuità Se una funzione è continua in x0 Se f(x0)>0 esiste un intorno di x0 in cui f(x) > (Permanenza del segno) Se una funzione è continua in [a;b] e se f(a)e f(b) hanno segno opposto, allora esiste almeno x0 in cui f(x0)=0 (Esistenza degli zeri) Prof. V. Scaccianoce

Teoremi sulla continuità Se una funzione è continua in [a,b] in tale intervallo assume valore massimo M e minimo m (Weierstrass) in tale intervallo assume tutti i valori compresi tra il massimo e il minimo(Bolzano-Darboux) se agli estremi assume valori opposti, si annulla almeno in un punto dell’intervallo Prof. V. Scaccianoce

Funzione di funzione Data la funzione z=g(x) da A a B e si chiama funzione di funzione o funzione composta y=f(z)=f(g(x)) quella funzione che ad ogni valore di z=g(x) associa un determinato valore Esempio: z=g(x)=2x2+3 è una funzione il cui codominio è z≥3 y=f(z)=lg(z) ha quindi senso e y=lg(2x2+3) è la funzione composta tra f e g, cioè f(g(x)) Prof. V. Scaccianoce

Teorema Se g(x) ammette limite finito l per x che tende a x0 e f(z) è continua in l allora Prof. V. Scaccianoce

Funzione inversa Se una funzione y=f(x) è biunivoca ad ogni valore di y corrisponde uno ed un solo valore di x quindi si può parlare di funzione che ad ogni valore della y fa corrispondere un valore x (x=g(y)) tale funzione è chiamata funzione inversa Esempi y=x2+5 è biunivoca per x≥0 l’inversa è x=√(y-5) y=lg(x) è monotona la sua inversa è x=ay Prof. V. Scaccianoce

Teorema Se una funzione è continua in un intervallo ed assume i valori m ed M come minimo e massimo, la sua funzione inversa è continua nell’intervallo (m,M) Prof. V. Scaccianoce

Limiti fondamentali Si dimostra l’esistenza del limite destro y x senx tgx Si dimostra l’esistenza del limite destro Per x che tende a 0+ senx>0 Poiché senx<x<tgx dividendo per senx>0 1<x/senx<1/cosx invertendo cosx<senx/x<1 poiché cosx e continua e per il teorema del confronto CVD Analogamente si dimostra l’esistenza del limite sinistro Essendo uguali i 2 limiti è dimostrato il limite richiesto Se la variabile è espressa in gradi il limite vale π/180 Prof. V. Scaccianoce

Limiti fondamentali DIMOSTRAZIONE Prof. V. Scaccianoce

Limiti fondamentali e=2,71… ed è la base dei logaritmi neperiani O anche Prof. V. Scaccianoce

Limiti fondamentali Prof. V. Scaccianoce

Punti di discontinuità o singolari 1a specie: se in quel punto esistono finiti i limiti destro e sinistro e sono diversi La differenza dei 2 limiti si chiama salto Esempio la funzione f(x)=[x] (parte intera di x) per ogni x intera ha una discontinuità di 1a specie con salto=1 Prof. V. Scaccianoce

Punti di discontinuità 2a specie: quando in quel punto non esiste uno dei 2 limiti destro o sinistro o se esiste è ±∞ y=sen(1/x) in x=0 ha discontinuità di 2a specie perché in tale punto non esiste limite né destro né sinistro y=a1/x con a>1 ha in x=0 una discontinuità di 2a specie perché il limite per x che tende a 0 da destra è +∞ Prof. V. Scaccianoce

Punti di discontinuità 3a specie: se esiste il limite finito della funzione il quel punto, ma ivi essa non è definita o, se è definita, il suo valore non è uguale al valore del limite. In questo caso la discontinuità si dice anche eliminabile f(x)=sen(x)/x ha in 0 una discontinuità di 3a specie infatti per x=0 esiste il limite, ma la funzione non è definita Prof. V. Scaccianoce

Esercizi Studiare i punti singolari di y=tg(1/x) La funzione non esiste per x=0 e x=π/2+kπ Per x=0 non esiste né il limite destro né il sinistro (discontinuità di 2a specie) Per x=π/2+kπ la funzione vale ±∞ (discontinuità di 2a specie) Prof. V. Scaccianoce

Forma indeterminata 0/0 Se si tratta di una funzione razionale fratta P(x)/Q(x) poiché i polinomi sono funzioni continue il limite per x tendente a c sarà P(c)/Q(c), per il teorema del resto si avrà quindi che sia P(c) che Q(c) sono divisibili per (x-c) si opera quindi la semplificazione in quanto per x che tende a c x non è c e quindi si può dividere Se non si tratta di un polinomio fratto, si utilizza il metodo della sostituzione da solo o in combinazione con la fattorizzazione con limiti notevoli Prof. V. Scaccianoce

Forma indeterminata 0*∞ In certi casi è sufficiente operare delle semplificazioni dopo aver spostato i fattori in modo da poterli semplificare Se non si tratta di un polinomio fratto, si utilizza il metodo della sostituzione da solo o in combinazione con la fattorizzazione con limiti notevoli Prof. V. Scaccianoce

Forme indeterminate ∞-∞ Se si tratta di un polinomio intero P(x) si mette in evidenza il monomio di grado maggiore (è facile costatare che il limite corrisponde al limite di quel solo monomio e quindi è + o - ∞ a seconda del coefficiente e del grado del monomio) In altri casi, dopo aver individuato i termini a e b che tendono a +∞ e -∞ si razionalizza moltiplicando per la somma algebrica degli stessi termini di cui il 2° cambiato di segno. Prof. V. Scaccianoce

Forme indeterminate ∞/∞ Se si tratta di un polinomio fratto P(x)/Q(x) si mette in evidenza il termine di grado maggiore e si semplifica stando attenti ai segni È valida la seguente tabella Numeratore di grado > del denominatore den>num x tende a +∞ -∞ x tende a ±∞ Segni concordi discordi Se il grado del numeratore è uguale a quello del denominatore il risultato è dato dal rapporto dei coefficienti di grado massimo Prof. V. Scaccianoce