Numeri Complessi
“Radici quadrate di numeri negativi” Perchè?
Problema: Cardano, Ars Magna cap.XXXVII, (1545) Dividi 10 in due parti il cui prodotto è 40 Girolamo Cardano (Pavia, 24 settembre 1501 – Roma, 21 settembre 1576?)
Problema: Cardano, Ars Magna cap.XXXVII, (1545) Dividi 10 in due parti il cui prodotto è 40 le soluzioni sono:
Problema: Cardano, Ars Magna cap.XXXVII, (1545) Dividi 10 in due parti il cui prodotto è 40 le soluzioni sono:
Girolamo Cardano (1501 – 1576?) Così progredisce la sottigliezza aritmetica il cui fine, come si dice, è tanto raffinato quanto inutile.” “Lasciando da parte le torture mentali connesse:
“E’ giusto che le radici delle equazioni siano spesso impossibili [complesse], per esibire casi di problemi impossibili.” Newton (1728)
Equazioni di terzo grado Niccolò Tartaglia, soprannome di Niccolò Fontana (Brescia, 1499 – Venezia 1557)1499) Gerolamo Cardano (Pavia 1501 – Roma, 1576?)Pavia– Ro6?) Scipione del Ferro (Bologna,1465 – Bologna, 1526) Lodovico Ferrari (1522 –1565) ?
Caso Irriducibile le soluzioni sono:
Caso Irriducibile le soluzioni sono:
Usando la formula risolutiva Caso Irriducibile le soluzioni sono:
? Viene introdotto il simbolo
“Né le vere né le false [negative] radici sono sempre reali; talvolta esse sono immaginarie.” Descartes, Géométrie (1637) Haye en TouraineHaye en Touraine, 31 marzo 1596 – Stoccolma, 11 febbraio 1650)StoccolmbraiRené Descartes
“Lo Spirito Divino trovò una via d’uscita sublime in quel mostro dell’analisi, quel portento del mondo ideale, quell’anfibio fra essere e non essere, che chiamiamo radice immaginaria dell’unità negativa.” Leibniz (1702)
“Dove sono i Numeri complessi?” Rappresentazione grafica
Numeri reali 1/2 Retta reale
1234 i 2i 3i -i -2i i Numeri complessi Piano complesso o piano di Argand-Gauss Karl Friederich Gauss, (Braunschweig, 1777 – Gottinga,1855) Jean-Robert Argand (Ginevra 1768 – Parigi, 1822)GinevraPari2)
Asse immaginario Asse reale w=2-i Numeri complessi
Asse immaginario Asse reale w=2-i Numeri complessi
modulo di z = distanza di z dall’origine
Numeri complessi modulo di z = distanza di z dall’origine
Numeri complessi modulo, parte reale, parte immaginaria
1234 i 2i 3i -i -2i -2 Numeri complessi Opposto di w
1234 i 2i 3i -i -2i -2 Numeri complessi -w = opposto di w
1234 i 2i 3i -i -2i -2 Asse immaginario Asse reale Numeri complessi coniugato di z
1234 i 2i 3i -i -2i -2 Asse immaginario Asse reale Numeri complessi Opposto e coniugato
Numeri complessi
4 2i -i z=4+2i Rappresentazione trigonometrica |z| Modulo di z Argomento di z
4 2i -i z=4+2i Rappresentazione trigonometrica
4 2i -i z=4+2i Rappresentazione trigonometrica |z| Modulo di z
4 2i -i z=4+2i Rappresentazione trigonometrica |z| Modulo di z Argomento di z
4 2i -i z=4+2i Rappresentazione trigonometrica |z| Modulo di z Argomento di z
Rappresentazione Algebrica e Trigonometrica
Operazioni con Numeri Complessi
Somma:
Operazioni con Numeri Complessi Somma: Prodotto: quadrati, cubi,...
Operazioni con Numeri Complessi Somma: Prodotto: quadrati, cubi,... Radici: quadrate, cubiche,...
Operazioni con Numeri Complessi Somma: Prodotto: quadrati, cubi,... Radici: quadrate, cubiche,... Esponenziali:
Operazioni con Numeri Complessi Somma: Prodotto: quadrati, cubi,... Radici: quadrate, cubiche,... Esponenziali:
Somma di numeri complessi
Esempio
1234 i 2i 3i -i -2i -2 z=4+2i Asse immaginario Asse reale w=2-i 65 Somma di numeri complessi Regola del Parallelogramma
1234 i 2i 3i -i -2i -2 z=4+2i Asse immaginario Asse reale w=2-i 65 z+w=6+i Somma di numeri complessi Regola del Parallelogramma
1234 i 2i 3i -i -2i -2 z=4+2i Asse immaginario Asse reale w=2-i 65 z+w=6+i Somma di numeri complessi Regola del Parallelogramma
Modulo della differenza di due numeri complessi 1234 i -i -2i -265
Modulo della differenza di due numeri complessi 1234 i -i -2i -265
Modulo della differenza di due numeri complessi 1234 i -i -2i -265
Modulo della differenza di due numeri complessi 1234 i -i -2i -265
Modulo della differenza di due numeri complessi 1234 i -i -2i -265
Prodotto di numeri complessi
i 1
i 1
i 1
i 1 Inverso del numero complesso:
i 1
i 1
Inverso del numero complesso in forma trigonometrica: in forma algebrica:
Esercizi Scrivi in forma algebrica: Scrivi in forma trigonometrica:
Potenze di numeri complessi
i 1
a i 1 r i b
Potenze di z=1+i
Esercizi Disegnate sul piano di Gauss:
Radici di un numero complesso Le radici quadrate di un numero complesso z sono tutti quei numeri che elevati al quadrato danno z. Supponiamo che: allora se e solo se
Radici quadrate dell’unità immaginaria se e solo se cioè se
Radici quadrate di i
Radici terze di un numero complesso Le radici terze di un numero complesso z sono tutti quei numeri che elevati al cubo danno z. Supponiamo che: allora se e solo se
Radici cubiche di i:
Radici cubiche:
Radici quarte:
Seallora
Seallora
Seallora
Seallora
Seallora
Seallora
Seallora
ha 2 soluzioni ha 3 soluzioni ha n soluzioni
Teorema fondamentale dell’algebra ha sempre L’equazion e soluzioni nel campo complesso. Karl Friederich Gauss, (Braunschweig, 1777 – Gottinga,1855)
Teorema fondamentale dell’algebra ha sempre L’equazion e (Contandole con la loro molteplicità) soluzioni nel campo complesso.
Algebra