Rappresentazione grafica dell’inversa Il capitolo relativo alle potenze, all’esponenziale e ai logaritmi offre l’occasione per cominciare a visualizzare l’inversa di una funzione. Dovresti avere già ripassato i logaritmi e quindi ricordare che il logaritmo è definito proprio come la funzione inversa dell’esponenziale. Per fissare le idee supponiamo che la base sia a>1.
Cominciamo dal grafico della funzione esponenziale… y 1 x Cominciamo dal grafico della funzione esponenziale…
In altre parole cominciamo con il ruotare il grafico (al tuo clic!) Invertire una funzione graficamente equivale ad invertire il ruolo dell’asse delle ascisse con quello delle ordinate. In altre parole cominciamo con il ruotare il grafico (al tuo clic!)
x y 1
x y 1
x y 1
x y 1
x y 1
provvediamo a risistemare Ora però l’orientazione degli assi è invertita… x y 1 Al tuo clic provvediamo a risistemare
x y 1
x y 1
x 1 y
x y 1
x y 1
x y 1
x y 1
Ora però dobbiamo rimettere in riga la x e la y (al tuo clic) 1
Ora però dobbiamo rimettere in riga la x e la y (al tuo clic) 1
E magari riassegnargli la loro posizione “naturale”… (sempre al tuo clic) x y 1
Al tuo clic potrai vedere altri esempi Ecco fatto! y Riconosci il grafico della funzione logaritmo? L’esponenziale ed il logaritmo sono una l’inversa dell’altra 1 x Al tuo clic potrai vedere altri esempi
Questa funzione però non è invertibile! y y = x2 Perché? Perché non è iniettiva: guarda x x1 x2 Se però restringessimo il dominio alla sola semiretta [0,+[ …
y y = x2 Adesso la funzione è iniettiva e quindi invertibile x Per vedere l’inversa, anche in questo caso, prima scambiamo il ruolo degli assi
x y = x2 y Poi ribaltiamo per ritrovare l’orientamento “corretto”
E infine rimettiamo le lettere al posto giusto e nel verso giusto x y = x2 y E infine rimettiamo le lettere al posto giusto e nel verso giusto
y y = x Otteniamo così il grafico della funzione y = x x
Ora puoi provare tu ad invertire y y y = x3 y = - x + 1 x x Copia i due grafici su un foglio trasparente e individua i grafici delle funzioni inverse. Sai ricavarne anche la legge? Sai trovare altri esempi?