1D Photonic Crystal Struttura a bande

MN d ……. ……. M0 M0 M0 M0 M0

Riprendiamo Sistema con N periodi

Stop band 99.99% riflessione Leaky modes

d1 d2 Propagazione attraverso un mezzo omogeneo seguita da una slab dielettrica

d1/2 d2 d1/2 Trasmissione dell’elemento singolo

d1/2 d2 d1/2 Trasmissione dell’elemento singolo

Sistema con N periodi

d1/2 d2 d1/2 Trasmissione dell’elemento singolo

Trasmissione dell’elemento singolo

d1/2 d2 d1/2 Trasmissione dell’elemento singolo

Dependence on ni Dependence on di

Width of the stop band

Width of the stop band

Dependence on N

Field amplitude within the stop band Finite multilayer: Bragg mirror

Field amplitude within the stop band Finite multilayer: Bragg mirror

Evanescent wavefunction Field amplitude within the stop band Infinite multilayer: 1D Photonic crystal Evanescent field due to interference Evanescent wavefunction

Bragg mirror Tunneling out of a barrier 1D PhC Evanescent wave in the barrier

Infinite Bragg N

Origine del band gap Mezzo uniforme e1 Legge di dispersione w k

Origine del band gap Trattiamolo come periodico e(x) = e(x+a) [ Lord Rayleigh, “On the maintenance of vibrations by forces of double frequency, and on the propagation of waves through a medium endowed with a periodic structure,” Philosophical Magazine 24, 145–159 (1887). ] Trattiamolo come periodico e1 a e(x) = e(x+a) Legge di dispersione è ripiegata nella FBZ bands are “folded” by 2π/a equivalence w k –π/a π/a

Origine del band gap Trattiamolo come periodico e(x) = e(x+a) w π/a a Gli stati degeneri a bordo zona sono riscrivibili come Trattiamolo come periodico a e(x) = e(x+a) e1 w π/a x = 0

Tutti i sistemi 1d hanno gap Stato con ventre in 1 Stato con ventre in 2 Aggiungiamo una piccola anisotropia e2 = e1 + De a e(x) = e(x+a) e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 w π/a x = 0

Principio variazionale gli autostati minimizzano il funzionale energia, quindi i modi fotonici di più bassa frequenza In (MQ) le funzioni d’onda di più bassa energia hanno ampiezza concentrata nelle regioni a potenziale minore. Vale anche in MQ la “legge dei nodi”. hanno ampiezza concentrata nella regione ad alto dielettrico. Inoltre un dato modo in generale conterrà più nodi rispetto a un modo di minore frequenza.

Splitting della degenerazione: Aggiungiamo una piccola anisotropia Origine del band gap Splitting della degenerazione: state concentrated in higher index (e2) has lower frequency Aggiungiamo una piccola anisotropia e2 = e1 + De a e(x) = e(x+a) e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 w Air band band gap Dielectric band π/a x = 0

Valore del mid gap band gap w π/a Air band Dielectric band

Nel band gap onde evanescenti Stati nel band gap band gap w π/a Air band Dielectric band Nel band gap onde evanescenti

Ingegnerizzazione del band gap

Gap/mid gap: quarter wave stack

Incidenza obliqua: perdita del band gap Et Ht y x TM Near Brewster angle Perdita gap

Struttura a bande per propagazione nel piano Assenza band gap completo sia in TM e TE

Struttura a bande per propagazione nel piano Cono di luce Evanescent waves Modi Ex (TE) kz Assenza band gap completo

Modi EE Extended-Extended Tipologia dei modi Modi EE Extended-Extended a e1 e2 All’interno di una banda e dentro il cono di luce

Modi ED Extended-Decay Tipologia dei modi Modi ED Extended-Decay a e1 e2 All’interno di un gap e dentro il cono di luce

Modi DE Decay-Extended Tipologia dei modi Modi DE Decay-Extended a e1 e2 All’interno di una banda e oltre il cono di luce

Modi Ex (TM) Tipologia dei modi Cono di luce Evanescent waves LEGENDA ED=Extended in air, Decay in PhC DE=Decay in air, Extended in PhC EE=Extended in air, Extended in PhC DD=Decay in air, Decay in PhC

Tipologia dei modi Modi DD Decay-Decay a e1 e2 Stati di interfaccia

Nel band gap propagazione proibita: Modo ED Tutta l’energia è riflessa True band gap  Omnidiretional mirror Omnidiretional mirror  True band gap

Bande Bragg mirror No band gap

Bande Bragg mirror Cono di luce

Bande Bragg mirror Cono di luce Omnidirectional mirror

Angolo di Brewster Angolo di Brewster

Angolo di Brewster Onda TM non è riflessa

Angolo di Brewster è simmetrico

Angolo di Brewster Cono di luce n1 n2 n1 n2 n1 n2 n1 Onda esterna TM può propagarsi a Brewster Onda esterna TM non può propagarsi a Brewster

Confronto angolo Brewster vs angolo limite (n1=1.5) Air Angolo n2 n2 n1 n2 n1 Angolo Air n2

Confronto angolo Brewster vs angolo limite Se i due angoli coincidono Quindi

Specchio Omnidirezionale gap

Specchio Omnidirezionale Gap/midgap

Omnidirectional Mirrors in Practice [ Y. Fink et al, Science 282, 1679 (1998) ] Te / polystyrene contours of omnidirectional gap size Reflectance (%) Dl/lmid