Versione aggiornata al 23 maggio 2013 TRASFORMATORE Versione aggiornata al 23 maggio 2013

RICHIAMI PRELIMINARI Proprietà di solenoidalità del vettore induzione magnetica e flusso concatenato con una linea chiusa

Solenoidalità di S superficie chiusa

Flusso concatenato con una linea chiusa orientata γ Per la solenoidalità del vettore induzione magnetica i due integrali di superficie estesi a S1 e S2 sono indipendenti dalla superficie purché questa sia orlata da γ. Dati il vettore induzione magnetica ed una linea chiusa orientata γ si definisce pertanto flusso di tale vettore concatenato con γ la quantità: in cui Sγ è una qualsiasi superficie orlata da γ e la normale a Sγ è orientata in maniera congruente all’orientazione di γ.

Flusso concatenato con una linea chiusa orientata γ; congruenza del verso della normale alla superficie S rispetto a quello della linea γ

Legge di Faraday Data la f.e.m. (forza elettromotrice), associata al campo elettrico non conservativo e alla linea chiusa orientata γ:

Legge di Faraday Tale f.e.m. è legata al flusso di concatenato con γ dalla relazione: e = - d /dt in cui vale il segno – se il flusso concatenato con γ è calcolato con la stessa orientazione di γ con cui è definita la f.e.m e.

Legge di Ampére Dati il campo magnetico , una linea chiusa orientata λ e la corrente i concatenata con questa, si ha: assumendo il segno + se il verso della corrente i è congruente con quello di λ ed il segno – nel caso contrario

Legge di Ampére; congruenza del verso di i rispetto a quello di λ

Legge di Ampére Nel caso di N spire in serie di un avvolgimento attraversate dalla corrente i e concatenate con λ, la stessa legge assume la forma:

Legge di Ampére Se conferiamo un carattere algebrico al numero di spire, attribuendo un segno ad N, corrispondente al verso con cui sono avvolte le N spire intorno a λ, possiamo esprimere la legge di Ampere nella forma:

Legge di Ampére Ovviamente il segno di N non è una caratteristica intrinseca dell’avvolgimento poiché riferito alla congruenza tra il verso delle N spire attraversate dalla corrente i con il verso di λ.

Legge di Ampére In analogia con la f.e.m e associata al campo elettrico : la quantità Ni associata al campo magnetico : è denotata come forza magneto motrice (f.m.m.).

Riluttanza di un tubo di flusso del vettore induzione magnetica Sia S la sezione retta del tubo di flusso sufficientemente piccola rispetto alla sua lunghezza Il flusso di si può esprimere come φ=B·S Sia λ la linea media del tubo di flusso %

Configurazione schematica di un trasformatore Se l’avvolgimento primario è alimentato con v(t) e l’avvolgimento secondario è connesso ad un utilizzatore si ha un trasferimento di potenza dal circuito primario a quello secondario, attraverso l’accoppiamento magnetico dei 2 avvolgimenti.

Simbolo circuitale del doppio bipolo trasformatore

Simbolo circuitale del trasformatore negli schemi degli impianti

Andamento del campo di induzione magnetica

Andamento del campo di induzione magnetica Distinguiamo tre tubi di flusso le cui linee medie sono p (tubo di flusso principale che si sviluppa prevalentemente nel ferro concatenato con entrambi gli avvolgimenti) e σ1 e σ2 (tubi di flusso disperso con un consistente sviluppo in aria e concatenati con uno solo dei due avvolgimenti)

Tubo di flusso principale Tale flusso determina l’accoppiamento magnetico dei due avvolgimenti e contribuisce al trasferimento di potenza dal primario al secondario

F.e.m. indotta dal flusso principale La f.e.m. indotta in ciascuno degli avvolgimenti dal flusso principale è dato dalla somma delle f.e.m. indotte delle singole spire in serie Al fine di calcolare la f.e.m. indotta nella singola spira, dobbiamo tener conto che il singolo avvolgimento sarà orientato e che pertanto l’orientamento della singola spira visto dall’alto potrà essere antiorario oppure orario

F.e.m. indotta dal flusso principale A N1 e N2 è convenzionalmente attribuito un segno algebrico, connesso al verso (concorde o discorde) dei due avvolgimenti rispetto a quello assunto positivo per le linee di flusso di B nel tubo di flusso principale.

Orientamento dell’avvolgimento eliminare

F.e.m. indotta nell’avvolgimento di sinistra (verso congruente con ) è orientata verso l’alto; ϒ è congruente con p. eliminare

F.e.m. indotta nell’avvolgim. di sinistra (verso non congruente con ) è orientata verso l’alto; ϒ non è congruente con p. eliminare

F.e.m. nell’avvolgimento di sinistra L’induzione è orientata verso l’alto; i casi dei due possibili versi dell’avvolgim. si sintetizzano con: eliminare

F.e.m. nell’avvolgimento di destra L’induzione è orientata verso il basso; i casi dei due possibili versi dell’avvolgim. si sintetizzano analogamente con: eliminare

F.e.m. indotte dai flussi dispersi I flussi dispersi (primario) e (secondario) sono proporzionali ad i1 ed i2. Le f.e.m. indotte da tali flussi sono: lσ1 e lσ2 sono le induttanze di dispersione dei 2 avvolgimenti

Induttanze di dispersione Le induttanze di dispersione e sono legate ai flussi dispersi e dalle relazioni: eliminare

Accoppiamento magnetico perfetto Se i flussi dispersi e e le induttanze di dispersione e sono nulli, l’accoppiamento magnetico dei due avvolgimenti si dice perfetto

Equazioni di base del trasformatore nel dominio del tempo Leggi di Kirchhoff delle tensioni (LKT) per i due avvolgimenti v1 + ep1 + eσ1= r1 i1 v2 + ep2 + eσ2= r2 i2. Legge di Ampére

Equazioni di base del trasformatore nel dominio del tempo LKT per i due avvolgimenti Legge di Ampére

Trasformatore ideale Ipotesi semplificative: Avvolgimenti perfettamente conduttori→ r1=r2=0 Accoppiamento magnetico perfetto tra i due avvolgimenti →lσ1= lσ2=0 Riluttanza trascurabile del tubo di flusso principale →R=0

Trasformatore ideale Equazioni nel dominio del tempo

Trasformatore ideale in regime sinusoidale Equazioni nel dominio dei fasori:

Trasformatore ideale in regime sinusoidale Posto: (rapporto di trasformazione) le equazioni del trasformatore ideale si riducono a:

Doppio bipolo Trasformatore ideale: rappresentazione grafica Equazioni

Doppio bipolo Trasformatore ideale

Trasformatore ideale: proprietà di trasparenza alle potenze

Trasformatore ideale: proprietà di trasparenza alle potenze potenza assorbita dal primario (avvolgim. 1) potenza erogata dal secondario (avvolgim. 2) e trasferita all’utilizzatore. Pot. attiva assorbita = Pot. attiva erogata Rendimento unitario

Applicazioni del trasformatore Abbassatore di tensione Elevatore di tensione Piccolissime potenze di pochi W Grandi trasformatori di diverse centinaia di MVA (reti di produzione, trasmissione e distribuzione dell’energia elettrica)

Struttura della rete elettrica nazionale (produzione, trasmissione e distribuzione)

Traliccio ad alta tensione

Isolatori

Doppio bipolo Trasformatore ideale

Trasformatore ideale: proprietà di trasformazione delle impedenze Essendo

Diversi modelli del trasformatore reale di crescente complessità Modello 1: , , ferro ideale, privo di perdite con riluttanza R finita e costante; Modello 2: , , ferro reale con perdite; Modello 3: avvolgimenti reali ( ), loro accoppiamento magnetico non perfetto ( ), ferro reale con perdite, rete equivalente a T.

Equazioni di base del trasformatore nel dominio del tempo LKT per i due avvolgimenti Legge di Ampére

Modello 1 del trasformatore reale Avvolgimenti ideali ( ) Accoppiamento perfetto ( ) Ferro ideale, privo di perdite con riluttanza R finita e costante.

Modello 1 Equazioni di base:

Riluttanza nel modello 1 (finita e costante) La riluttanza è somma del contributo del ferro e dei traferri Il ferro ha permeablità cost.→caratterist. B-H lineare→area nulla del ciclo d’isteresi →perdite per isteresi nulle; analogamente nulle le perdite per correnti di Foucault

Funzionamento a vuoto avvolgim. second. aperto Il sistema può essere considerato come un bipolo, la cui caratteristica è:

Modello 1: funzionamento a vuoto avvolgim. second. aperto Equazioni

Funzionamento a vuoto, confronto con il trasformatore ideale La legge di Ampére nel trasformatore ideale fornisce: A vuoto → anche → Il trasformatore ideale a vuoto costituisce un aperto ideale.

Funzionamento a vuoto, confronto con il trasformatore ideale Il valore del flusso è imposto dalla tensione applicata: Il valore finito del flusso, pur in assenza di correnti e finite è spiegabile con il fatto che si è supposta nulla la riluttanza R

Modello 1 del trasformatore reale; funzionamento sottocarico Il flusso non varia rispetto al funzionamento a vuoto essendo sempre imposto dalla tensione : Il flusso è pertanto costante al variare del carico del trasformatore

Modello 1 del trasformatore reale; funzionamento sottocarico Legge di Ampére

Modello 1, rete equivalente del trasformat. reale sotto carico

Modello 1, rete equivalente del trasformat. reale sotto carico Se si divide I e II membro della legge di Ampere per si ottiene un’altra rete equiv. La corrente rappresenta la corrente vista dal lato 2

Modello 2 del trasformatore reale Avvolgimenti ideali ( ) Accoppiamento perfetto ( ) Ferro reale con perdite

Comportamento reale del ferro B è sinusoidale, le correnti no. Infatti:

Comportamento reale del ferro L’area del ciclo rappresenta l’energia di magnetizzazione per unità di volume dissipata in calore. Una relazione empirica fornisce la potenza dissipata: K cost del materiale proporzionale alla frequenza ed al volume.

Comportamento reale del ferro Perdite per correnti parassite nel ferro (o correnti di Foucault) in una lastra piana indefinita di spessore Δ: C cost. opportuna, resistività del ferro Il fenomeno non è portato in conto dalle eq. di base precedenti.

Comportamento reale del ferro La potenza complessiva dissipata nel ferro è fornita dalla somma delle perdite per isteresi e di quelle per correnti parassite: e conseguentemente:

Confronto del model. 2 con il model. 1 nel funzionam. a vuoto La potenza assorbita dal trasformatore è nulla. Tale modello non è quindi in grado di rappresentare i fenomeni dissipativi nel ferro. La potenza trasformata in calore nel ferro deve essere fornita dalla rete di alimentazione

Modello 2 (ferro reale): funzionamento a vuoto Si possono trattare in maniera separata i problema della non linearità e della dissipazione di potenza nel ferro, riducendo il ciclo alla sua linea media e considerando a parte le perdite nel ferro.

Modello 2 (ferro reale): funzionamento a vuoto Si può linearizzare la linea media del ciclo, considerando cost. la riluttanza. Le perdite nel ferro possono essere rappresentate da una resist. in parall. a tale che:

Modello 2 (ferro reale): rete equival. nel funzionam. a vuoto

Modello 2 (ferro reale): funzionamento a vuoto La corrente a vuoto risulta pari alla somma:

Modello 2 (ferro reale con perdite): funzionamento sotto carico

Modello 2 (ferro reale con perdite): funzionamento sotto carico

Modello 2 (ferro reale con perdite): funzionamento sotto carico Nel trasformatore ideale Nel trasformatore reale Il rapporto tra le correnti è diverso da 1/a. Lo scostamento è prodotto da I10

Modello 2 (ferro reale con perdite): funzionamento sotto carico Il trasformat. non è più trasparente né alla pot. attiva, né a quella reattiva. La pot. attiva assorbita dal primario è la somma di quella trasferita al second. e delle predite nel ferro. Il rendimento è diverso da 1.

Riduzione della potenza reattiva Q e delle perdite nel ferro Pfe Per ridurre Q occorre ridurre la riluttanza R, riducendo i traferri e aumentando la permeabilità. Per ridurre Pfe si usano lamierini isolati laminati a freddo di ferro silicio. Tali lamierini sono anisotropi.

Nucleo magnetico

Modello 3 del trasformatore reale Avvolgimenti reali Accoppiamento non perfetto Ferro reale con perdite

Modello 3 (avvolgim. + accoppiam. magnet. reali, ferro senza perdite) Eq. di base nel dominio del tempo:

Modello 3 (avvolgim. + accoppiam. magnet. reali, ferro senza perdite) Eq. di base nel dominio dei fasori

Modello 3 (avvolgim. + accoppiam. magnet. reali, ferro senza perdite) LKT

Modello 1, rete equivalente del trasformat. reale sotto carico

Modello 3: rete equivalente (ferro senza perdite)

Modello 3: rete equivalente (ferro reale con perdite)

Modello 2: rete equivalente

Modello 3: rete equivalente (ferro reale con perdite)

Modello 3: rete equivalente a T Nel trasformatore ideale

Modello 3: rete equivalente a T

Modello 3: rete equivalente a T dove

Modello 3: rete equivalente a T Impedenze

Modello 3: deduzione rete equivalente a L LKT LKC

Modello 3: deduzione rete equivalente a L LKT dove

Modello 3: deduzione rete equivalente a L Trascurando →

Bilancio delle potenze

Bilancio delle potenze Potenza assorbita Potenza utile

Invarianza delle potenze rispetto al lato del trasformatore Pot. Utile essendo

Funzionamenti a rendimento nullo Rendimento= = 0 se . se (funzionamento a vuoto) o se (funzionamento in corto circuito)

Prova a vuoto Schema di misura

Prova a vuoto; determinazione parametri verticali circuito ad L

Prova in corto circuito Schema di misura

Prova in corto circuito

Prova in corto circuito

Rendimento del trasformatore, determinazione diretta Inconvenienti Notevole influenza degli errori di misura dei wattmetri Difficile determinare la variabilità del rendimento con il carico

Rendimento convenzionale e sua determinazione indiretta Diversa formulazione del rendimento: La sua traduzione operativa comporta la determinazione di Put, Pfe e Pcu. P utile ipotizzata e non misurata Pfe e Pcu misurate nelle prove a vuoto ed in corto circuito

Andamento del rendimento in funzione del carico Rendimento convenz. Se V2 è supposta costante, trascurando le cadute di tensione, si ottiene il diagr. dove per I2= I2p le perdite nel ferro e nel rame sono eguali

Rendimento in energia Ci si riferisce alle energie invece che alle potenze: essendo l’energia data da Ci riferisce ad un prefissato intervallo : si ha così il rendim. giornaliero, mensile, etc.

Rendimento in energia Se in il carico è costante ( e costanti): e i rendimenti in potenza ed energia sono eguali.

Rendimento giornaliero Se si esprime l’energia in Wh si ha:

Andamento del rendim. in energia in funzione del carico L’andamento è analogo a quello del rendim. in potenza. Si ha il massimo quando l’en. persa nel ferro è eguale all’en. persa nel rame → per dato da:

Caduta di tensione Si definisce caduta di tensione la quantità:

Caduta di tensione: funzionamento a vuoto , trascurando la caduta di tensione dovuta a →

Calcolo della caduta di tensione dove (conv.gener.) Dividendo per a →

Calcolo approssimato della caduta di tensione FG perpendicolare a BG ΔV=BK, trascurando CK, ΔV=BC=BH+HC

Strutture Trasformatore monofase

Trasformatore monofase; nucleo magnetico a mantello

Trasformatore monofase; nucleo magnetico a mantello

Trasformatore trifase, banco tri-monofase

Trasformatore trifase, connessione magnetica a stella

Trasformatore trifase, connessione magnetica a stella complanare

Trasformatore trifase, connessione magnetica a stella complanare

Trasformatore trifase

Trasformatore trifase, connessione magnetica a triangolo

Trasformatore trifase a cinque colonne