CONTINUITA’ Una funzione continua e’ una funzione il cui grafico non presenta interruzioni CONTINUA DISCONTINUA

CONTINUITA’ Nel punto P(Xo,Yo) questa funzione è continua: se facciamo il limite per x tendente a Xo otteniamo come risultato Yo, che è anche il valore della funzione P Yo=f(Xo) CONTINUA Xo

CONTINUITA’ Questa è discontinua: se facciamo il limite sinistro e destro per x tendente a Xo questi danno due valori diversi, Yo e un altro, H. Il grafico compie un salto pari a Yo-H DISCONTINUA Yo H Xo

CONTINUITA’ Data f:D->R, e dato Xo punto del dominio D, allora la funzione f si dice CONTINUA in Xo se il limite per x tendente ad Xo di f(x): ESISTE E’ FINITO E’ UGUALE A f(Xo) Ovvero, in formule:

CONTINUITA’ Una funzione continua in tutti i punti di un certo intervallo si dice CONTINUA SU QUELL’INTERVALLO

CONTINUITA’ Se una di queste clausole non è verificata allora la funzione si dice discontinua in Xo.

I punti di discontinuità vengono classificati in tre specie CONTINUITA’ I punti di discontinuità vengono classificati in tre specie

CONTINUITA’ Se il limite sinistro e destro di f(x) per x tendente a Xo: ESISTONO SONO FINITI SONO DIVERSI TRA LORO Xo si dice punto di discontinuità di PRIMA SPECIE

CONTINUITA’ La funzione y=INT(x) offre un esempio di tale discontinuità: tutti i numeri interi sono punti di discontinuità di prima specie 1 2 3

CONTINUITA’ Se almeno uno dei due limiti, sinistro o destro, di f(x) per x tendente a Xo: NON ESISTE… …OPPURE NON E’ FINITO Xo si dice punto di discontinuità di SECONDA SPECIE

CONTINUITA’ La funzione y=ln(x) offre un esempio di tale discontinuità nell’origine

CONTINUITA’ Se il limite per x tendente a Xo esiste, è finito, ma è diverso della valore della funzione (oppure la funzione non esiste in Xo) Xo si dice punto di discontinuità di TERZA SPECIE, o ELIMINABILE

CONTINUITA’ La discontinuità si dice eliminabile perché basta alterare leggermente la definizione della funzione ponendo: Per rendere la funzione continua

CONTINUITA’ Un esempio è la funzione: Infatti non esiste per X=0, ma il limite per x tendente a 0 è, come è noto, 1. Basta quindi porre: f(0)=1 E la funzione risulta continua anche in 0.

CONTINUITA’ Dove si trovano i punti di discontinuità di una funzione? Nei punti esclusi dal dominio (che siano però punti di accumulazione del dominio) Nei punti in cui l’argomento di un valore assoluto cambia segno in altri casi particolari

CONTINUITA’ TEOREMA DI WEIERSTRASS Una funzione continua su un intervallo chiuso ammette sempre massimo e minimo assoluti su quell’intervallo

CONTINUITA’ Una curva senza salti, definita su un intervallo, di fatto può essere racchiusa in un rettangolo, la cui altezza avrà per estremi il massimo e il minimo della funzione MASSIMO MINIMO

CONTINUITA’ TEOREMA DI DARBOUX Una funzione continua su un intervallo chiuso assume almeno una volta tutti i valori compresi tra il minimo e il massimo

CONTINUITA’ TEOREMA DI DARBOUX Potremmo enunciarlo anche così: se la funzione f è continua sull’intervallo [a,b] e se il numero k è compreso tra min(f) e max(f) su tale intervallo, allora esiste un punto c appartenente ad [a,b] tale che: f(c)=k

CONTINUITA’ Graficamente è abbastanza evidente che, se una curva è continua, al valore k compreso tra min e max deve corrispondere un valore c tra a e b MASSIMO k MINIMO c a b

CONTINUITA’ TEOREMA DEGLI ZERI Se f è una funzione continua su un intervallo chiuso e se su tale intervallo la funzione cambia segno, allora esiste almeno un punto dell’intervallo in cui la funzione si annulla

CONTINUITA’ TEOREMA DEGLI ZERI (altra versione) Se f è una funzione continua su un intervallo chiuso e se su tale intervallo la funzione cambia segno, allora l’equazione: f(x)=0 Ammette almeno una soluzione in tale intervallo

CONTINUITA’ E’ una conseguenza del teorema di Darboux; infatti se la funzione cambia segno sicuramente il massimo sarà un numero positivo e il minimo un numero negativo: e siccome 0 è sempre compreso tra un numero positivo e uno negativo, allora la funzione deve per forza assumere il valore 0.