Teoria degli INSIEMI A cura Prof. Salvatore MENNITI

Presentazione Questa presentazione può essere utilizzata come valido supporto allo studio, per studiare autonomamente le parti fondamentali dell’unità didattica. Si propone inoltre un approfondimento sugli insiemi infiniti e alcuni paradossi che ne derivano. Sono proposti alcuni esercizi, grazie ai quali verificare il proprio grado di preparazione e i livelli di apprendimento.

RAPPRESENTAZIONE A A = Marta; Andrea; Matteo; Martina; Simone; Anna Per rappresentare un qualsiasi insieme possiamo utilizzare tre diversi metodi. Si voglia ad esempio rappresentare l’insieme che chiameremo “A” di tutti gli amici di Marco che sono: Andrea, Marta, Simone, Matteo, Anna, Martina. A Con i diagrammi di Eulero Venn: 1 Marta  Simone  Andrea  Martina  Matteo  Anna 2 Attraverso la rappresentazione tabulare (estensiva): A = Marta; Andrea; Matteo; Martina; Simone; Anna Enunciando la proprietà caratteristica (intensiva): 3 A = xx è amico di Marco

U (insieme ambiente o universo) APPARTENENZA “” U (insieme ambiente o universo) B = b; d A a  B A = a; b; d; e; f e  b  f  U = a; b; c; d; e; f d c  a  A, a  U, a  B, b  B, b  A, b  U c  U, c  B, c  A

SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE “, ” B è un SOTTOINSIEME IMPROPRIO di A U A Ogni insieme è un SOTTOINSIEME (IMPROPRIO) di sé stesso a  B C b  d L’insieme vuoto è un SOTTOINSIEME (IMPROPRIO) di ogni insieme c  A è un SOTTOINSIEME DI U B  A   C,   B, ….. C è un SOTTOINSIEME DI B A U C B A  A, B  B,…..

SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE U = a; b; c; d; e; f A A = a; b; d; e; f a  B e  b  B = b; d f  d b; d  B c  a; b; d  A d  B

   APPARTENENZA e INCLUSIONE A b  d APPARTENENZA INCLUSIONE L’elemento b appartiene all’insieme A L’insieme b è strettamente incluso nell’insieme A L’insieme d;bA d;b  A o d;b = A b  A b  A

INSIEME COMPLEMENTARE AC AC= CuA= xx U e x  A  U b  d  A E’ l’insieme degli elementi di U c  e  a  f  g  CUA =a; b; g Che non appartengono ad A 8

E’ l’insieme degli elementi che appartengono sia ad A sia a B INTERSEZIONE “A  B” E’ l’insieme degli elementi che appartengono sia ad A sia a B A  B = xx A e x B  B A A  B

A e B si dicono DISGIUNTI CASI PARTICOLARI DELL’INTERSEZIONE A  A = A Se A  B = , A e B si dicono DISGIUNTI A   =  A  A =  Se B  A allora A  B = B A  U = A

E’ l’insieme degli elementi UNIONE “A  B” E’ l’insieme degli elementi che appartengono ad A “o” a B, cioè ad almeno uno dei due insiemi dati. A  B = xx A o x B  B A A  B

UNIONE di insiemi DISGIUNTI L’UNIONE degli insiemi A e B è l’insieme degli elementi che appartengono ad A “o” a B, cioè ad almeno uno dei due insiemi dati. A B A  B

CASI PARTICOLARI DELL’UNIONE A  A = A A   = A A  A = U Se B  A allora A  B = A

A  B = a; b; c; d; e; f; g; h; i; l A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l B A g  a  d  b  i  e  h  c  f  l  A  B = d; e; f A  B = a; b; c; d; e; f; g; h; i; l 14

DIFFERENZA A - B B A A - B A - B = xx A e x  B  E’ l’insieme formato da tutti gli elementi di A che non appartengono a B A - B = xx A e x  B  B A A - B Si tolgono ad A tutti gli elementi che appartengono a B E’ costituito dagli elementi di A che NON appartengono a B

DIFFERENZA. “A - B”, “B - A”. A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l B A g  a  d  b  i  e  h  c  f  l  A - B = a; b; c B - A = g; h; i; l

DIFFERENZA. “A - B”, “B - A”. g  a  d  e  h  b  i  c  f  l  B g  A a  d  B - A = g; h; i; l e  h  b  i  c  f  l  B g  a  d  e  h  b  i  A - B = a; b; c c  f  A l 

Se A  B =  allora A - B = A e B - A = B CASI PARTICOLARI DELLA DIFFERENZA TRA INSIEMI A - A =  A -  = A Se A  B =  allora A - B = A e B - A = B Se B  A allora B - A = 

P(A) =  ; a; b; c; a; b; a; c; b; c; a; b; c  INSIEME DELLE PARTI “P(A)” Dato un insieme A, l’insieme di tutti i suoi SOTTOINSIEMI propri e impropri, si definisce insieme delle parti di A e si indica con P(A) A = a; b; c; A a  b  c  L’insieme delle parti di A è: I possibili SOTTOINSIEMI di A sono:  a b c a; b a; c b; c a; b; c P(A) =  ; a; b; c; a; b; a; c; b; c; a; b; c  Gli elementi di P(A) sono INSIEMI Se A contiene n elementi, P(A) ne contiene 2n 19

A PARTIZIONE DI UN INSIEME A2 A1 A3 A5 A4 Si consideri un numero “n” di sottoinsiemi di A. A A2 A1 A3 A5 A4 Si dice che questi sottoinsiemi costituiscono una PARTIZIONE di A se: Ogni sottoinsieme è proprio 1 Ai  A e Ai  ,  i I sottoinsiemi sono a due a due disgiunti 2 Ai  Ak =  con i  k L’unione di tutti i sottoinsiemi dà l’insieme A A1  A2  A3  A4  A5 = A 3 20

Dati gli insiemi: A = a; b; c; e B = 1;2 PRODOTTO CARTESIANO Si definisce prodotto cartesiano di due insiemi A e B, e si indica A x B, l’insieme formato da tutte le coppie ordinate (x;y) dove il primo elemento appartiene ad A e il secondo a B A x B = (x;y)x  A e y  B  Dati gli insiemi: A = a; b; c; e B = 1;2 Si legge A cartesiano B A B a  1  A x B =  (a ;1), (a ;2), (b ;1), b  (c ;2)  (b ;2), (c ;1), 2  c 

può essere rappresentato graficamente nei seguenti modi: RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL PRODOTTO CARTESIANO L’insieme A x B = (a; 1); (a; 2); (b; 1); (b; 2); (c; 1); (c; 2) può essere rappresentato graficamente nei seguenti modi: A B a  Rappresentazione SAGITTALE 1  b  Rappresentazione mediante tabella a DOPPIA ENTRATA 2  c  Rappresentazione CARTESIANA    2    1 a b c

OSSERVAZIONI SUL PRODOTTO CARTESIANO La coppia (x;y) è diversa dalla coppia (y;x) Gli elementi dell’insieme cartesiano sono coppie A x A = A2 A x B  B x A Se A e B hanno rispettivamente “n” e “m” elementi, l’insieme A x B possiede “n*m” elementi.

LE “STRANEZZE” DEGLI INSIEMI INFINITI

L’insieme dei numeri pari P è un sottoinsieme proprio dell’insieme dei numeri naturali N? Rispondi: N = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12;..  Si! Infatti per costruire P scelgo solo alcuni elementi di N. P = 0; 2; 4; 6; 8; 10…. Quale insieme ha più elementi? N o P? Se P ha meno elementi, come si è portati a pensare, essendo P un sottoinsieme proprio di N, contando gli elementi di P ad un certo punto ci si dovrà fermare, proprio come succede quando si conta il numero delle stanze della casa dove abitiamo! PROVA A CONTARE UTILIZZANDO LE DITA IL NUMERO DELLE STANZE DELLA TUA CASA!!!!

Proviamo a contare quanti elementi (numeri) ha P Proviamo a contare quanti elementi (numeri) ha P. Invece che contare utilizzando le dita come facciamo qualche volta, utilizziamo l’insieme N e delle frecce. Per ora trascuriamo lo zero. N = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12;..  P = 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18…. A quale numero ci fermiamo????? Quanti sono gli elementi di P?? Chi ha più elementi N o P? Abbiamo ottenuto un risultato assai strano! Dato un insieme con un numero infinito di elementi è possibile che un suo SOTTOINSIEME PROPRIO abbia lo stesso numero di elementi!!!

Clicca sulla risposta corretta ESERCIZIO N. 1….. C Trova: A  B  C Clicca sulla risposta corretta m  n  B A g  a  d  b  i  e  h  c  f  l  A  B  C = g; h; i; l A  B  C = d Esercizio Successivo A  B  C = d; e; f A  B  C = e; f

Clicca sulla risposta corretta ESERCIZIO N. 2….. C Trova: C - (A  B) Clicca sulla risposta corretta m  n  B A g  a  d  b  i  e  h  c  f  l  C - (A  B) = m; n C - (A  B) = e; f Esercizio Successivo C - (A  B) = m; n; d C - (A  B) = g; h; i; l

ESERCIZIO N. 3….. C Quale espressione rappresenta l’area evidenziata? Clicca sulla risposta corretta B A C - (A  B) C  B Esercizio Successivo (C  B) - A (A  B) - C

ESERCIZIO N. 4….. C Quale espressione rappresenta l’area evidenziata? Clicca sulla risposta corretta B A C - (A  B) C  B Esercizio Successivo (C  B) - A (A  B) - C

ESERCIZIO N. 5….. C Quale espressione rappresenta l’area evidenziata? Clicca sulla risposta corretta B A (C - (A  B))  ((A  B) - C) C  B (C  B) - A (A  B) - C