ESPONENZIALI E LOGARITMI equazioni disequazioni Dal grafico di... al grafico di.... proprietà Grafico canonico logaritmi Paola Suria Arnaldi

Proprietà delle potenze Paola Suria Arnaldi

Grafico della funzione esponenziale con a >1 Leggiamo le proprietà sul grafico Domf R Imf R+ Fz. monotona crescente Fz. Iniettiva Fz. Non suriettiva Fz. Non biiettiva Paola Suria Arnaldi

Grafico della funzione esponenziale a x (con 0<a<1) Leggiamo le proprietà sul grafico Domf R Imf R+ Fz. monotona decrescente Fz. Iniettiva Fz. Non suriettiva Fz. Non biiettiva Paola Suria Arnaldi

Dall’esponenziale ai logaritmi 2x = 4  2x = 22  x = 2 2x = 8  2x = 23  x = 3 2x = 5  2x = 2?  x = ???  x = log2 5 ax = b ↔ x = logab (con a >0 e b >0) 2x = 4 ↔ x = log24 = 2 2x = 6 ↔ x = log26 log28 = x ↔ 2x = 8 log510= x ↔ 5x = 10 Per defi. Paola Suria Arnaldi

Proprietà dei logaritmi Teoremi dei logaritmi loga (m*n) = loga m + logan con a>0, m, n >0 loga (m/n) = loga m - logan con a>0, m, n >0 loga (mn) = n* loga m con a>0 m >0 loga m = (logbm) / (logba) con a, b, m > 0 Convenzioni log10a = Log a logea= ln a, con e = 2,71828182818... Ricorda Ln o = non esiste!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! loga 1 = 0 , qualsiasi a loga a = 1 , qualsiasi a loga a2 = 2 , qualsiasi a Paola Suria Arnaldi

Grafici logaritmici canonici Leggiamo le proprietà sul grafico Domf R+ Imf R Fz. monotona crescente Fz. Iniettiva Fz. Suriettiva (Imf ≡ R) Fz. biiettiva Paola Suria Arnaldi

Grafici logaritmici canonici Leggiamo le proprietà sul grafico Domf R+ Imf R Fz. monotona decrescente Fz. Iniettiva (criterio rette orizzontali, oppure monotonia) Fz. Suriettiva (Imf ≡ R) Fz. biiettiva Paola Suria Arnaldi

Equazioni esponenziali x 2 = 4  equazione di II° (la base della potenza è incognita, l’esponente è un numero) 2 x = 4  equazione esponenziale (la base della potenza è un numero, l’esponente è incognito) Partiamo dall’analisi di alcuni esempi e poi.... generalizziamo a x = k nessuna soluzione (qualunque a e con k appartenente ad R -) a x = k ↔ x = logak (qualunque a e con k appartenente ad R+) af(x) = ag(x) ↔ f(x) = g(x) af(x) = bf(x) ↔ f(x) = 0 p a2x + q ax + k = 0 ↔ ax = t ; p t2 +q t + k = 0;.... t = .....; x = loga..... Paola Suria Arnaldi

af(x) > k, k є R - U {0} ↔ qualsiasi x є R Disequazioni af(x) > k, k є R - U {0} ↔ qualsiasi x є R af(x) < k, k є R - U {0} ↔ nessuna soluzione af(x) > k, a > 1, k є R + ↔ f(x) > loga k..... af(x) < k, a > 1, k є R + ↔ f(x) < loga k..... af(x) > k, 0<a<1, k є R + ↔ f(x) < loga k..... af(x) < k, a > 1, k є R + ↔ f(x) > loga k..... Paola Suria Arnaldi

Equazioni logaritmiche logaf(x)=k, con k єR ↔ logaf(x)=0 ↔ f(x) = 1 logaf(x)=1 ↔ f(x) = a logaf(x)=logag(x) ↔ K*logaf(x)+ h*logag(x)= p*logar(x); logaf(x)k+ logag(x)h= logar(x)p; logaf(x)*g(x)=logar(x)p;....... con le condizioni di esistenza Paola Suria Arnaldi

Disequazioni logaritmiche Paola Suria Arnaldi

APPLICHIAMO I CONCETTI ALLO STUDIO DI FUNZIONE Domf: x2 – 1 > 0 ↔ |x| > 1 oppure x < -1 V x > 1; oppure (- ∞, -1) U (1, +∞); Zeri della funzione: f(x) = 0 ↔ ln (x2 – 1) = 0; (x2 – 1) = 1; x2 = 2; |x|=±√2; Segno della funzione: f(x) > 0 ↔ ln (x2 – 1) > 0; (x2 – 1) > 1; x2 > 2; |x|>√2 ovvero x<- √2 V x > √2 ; f(x) < 0 ↔ dove esiste, ma non è positiva!!! cioè altrove -√2 -1 1 √2 Paola Suria Arnaldi

APPLICHIAMO I CONCETTI ALLO STUDIO DI FUNZIONE Domf : R oppure (-∞, +∞) Zeri: f(x) = 0 ↔ ex (x2 – 3x + 2); (legge annullamento prodotto) ex = 0 V x2 –3x +2=0 → poiché ex = 0 non ha soluzione, le soluzioni sono x = 1 e x = 2; Segno di funzione: è un prodotto di due fattori, il primo dei quali è sempre positivo → il segno della funzione dipende dalla parentesi f(x) > 0 ↔ (x2 – 3x + 2)>0; disequazione di II grado x<1 V x > 2 f(x) < 0 ↔ (x2 – 3x + 2) <0 1 < x < 2 1 2 Paola Suria Arnaldi