Integrale indefinito Parte introduttiva

Integrale indefinito – I parte Cosa ricordare: Sulle derivate: Abbiamo definito derivata di f(x) in 𝒙 𝟎 il limite, se esiste, del rapporto incrementale per ∆𝑥 o ℎ che tende a zero. ∆𝑓 ∆𝑥 = 𝑓 𝑥 0 +ℎ −𝑓( 𝑥 0 ) ℎ 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 0 = 𝑓 ′ 𝑥 0 = lim ℎ→0 ∆𝑓 ∆𝑥

Integrale indefinito – I parte Cosa ricordare: Sulle derivate: Abbiamo costruito una funzione che associa ad ogni 𝒙 𝟎 , se esiste, la derivata di f(x) nel punto 𝒙 𝟎 . Tale funzione l’abbiamo chiamata funzione derivata o semplicemente derivata di f(x). E l’abbiamo indicata con 𝒇′(𝒙) o anche 𝒅 𝒅𝒙 𝒇(𝒙) 𝑓 ′ 𝑥 : 𝑥→ lim ℎ→0 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥) ℎ Sfruttando la definizione di derivata e i teoremi abbiamo imparato a calcolare le derivate di funzione Osserviamo per concludere: A partire da 𝑑𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓 ′ (𝑥) , moltiplicando per dx, ricaviamo 𝑑𝑓 𝑥 =𝑓′(𝑥)∙𝑑𝑥. Questa quantità si chiama differenziale

Integrale indefinito – I parte Integrazione grafica Integrazione grafica Dato il grafico della funzione f(x), vogliamo cercare un possibile grafico della funzione F(x) tale che 𝑑𝐹(𝑥) 𝑑𝑥 =𝑓(𝑥) 1) Indichiamo i punti nei quali la f(x) incontra l’asse x. Ovvero i punti in cui f(x)=0. Poiché f(x) è la derivata di F(x), i punti trovati saranno i punti stazionari di F(x). 2) Individuiamo gli intervalli in cui f(x) è positiva e f(x) è negativa . 3) In tali intervalli la F(x) sarà crescente (se f(x) è positiva) e decrescente (se f(x) negativa). 4) Con ulteriori considerazioni possiamo arrivare a «disegnare» il grafico probabile di F(x).

Integrale indefinito – I parte Integrazione grafica Integrazione grafica Ripercorriamo quanto fatto e osserviamo che possiamo avere infinite funzioni F(x), ovvero infinite funzioni la cui derivata coincide con f(x)

Prime definizioni e teoremi Integrale indefinito – I parte Prime definizioni e teoremi Prime definizioni e teoremi Definizione Si dice che la funzione F(x) è primitiva della di f(x) in un intervallo [a,b]se F(x) è derivabile in ogni suo punto e risulta 𝑑𝐹(𝑥) 𝑑𝑥 =𝑓(𝑥). Esempio F(x)=sinx è la primitiva di f(x)=cosx; ma anche F(x)=sinx+5 è primitiva di f(x). Come osservato nel caso dell’integrazione grafica: se una funzione f(x) ha una primitiva F(x) in [a,b] allora ne ha infinite. Teorema Se F(x) è una primitiva di f(x) in [a,b], tutte e sole le primitive di f(x) sono date dalla formula F(x)+C, con C costante.

Prime definizioni e teoremi: dimostriamo Integrale indefinito – I parte Prime definizioni e teoremi: dimostriamo Prime definizioni e teoremi Teorema: Se F(x) è una primitiva di f(x) in [a,b], tutte e sole le primitive di f(x) sono date dalla formula F(x)+C, con C costante. Dimostrazione Tutte (ovvero: se F(x) è primitiva allora F(x)+C è primitiva) 𝑑 𝑑𝑥 [𝐹 𝑥 +𝐶]= 𝑑 𝑑𝑥 𝐹 𝑥 + 𝑑 𝑑𝑥 𝐶=𝑓 (𝑥) Consideriamo F(x)+C e deriviamo Per definizione di primitiva Sole (ovvero: Se F(x) è primitiva e G(x) è un'altra primitiva di f(x) in [a,b] allora è della forma F(x)+C) F(x) è primitiva e per definizione F’(x)=f(x), consideriamo una seconda primitiva G(x) Per definizione di primitiva: G(x) è derivabile in [a,b] e G’(x)=f(x) Dunque G’(x)=f(x)=F’(x) → G’(x)=F’(x) in [a,b]. Per un corollario al teorema di Lagrange ricaviamo che G(x)=F(x)+C se f(x) e g(x) continue e derivabili in [a,b] e f’(x)=g’(x) per ogni x, allora f(x)=g(x)+costante CVD

Prime definizioni e teoremi: definiamo integrale Integrale indefinito – I parte Prime definizioni e teoremi: definiamo integrale Prime definizioni e teoremi Il teorema visto: «Se F(x) è una primitiva di f(x) in [a,b], tutte e sole le primitive di f(x) sono date dalla formula F(x)+C, con C costante.» Ha una interpretazione grafica tutte le primitive di una funzione f(x) corrispondono ad una famiglia di curve che si ottengono l’una dall’altra per traslazione, mediante 𝑣 , lungo l’asse y. Definizione L’insieme di tutte le primitive di una funzione f(x) si chiama integrale indefinito della funzione f(x) e si indica con 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 Osserviamo: il simbolo corrisponde ad una S allungata f(x) è detta funzione integranda dx indica la variabile rispetto alla quale faremo l’integrazione l’operatore integrale è formato dai due simboli 𝑑𝑥 combinati insieme. E leggeremo "integrale di ____ in di x"   Inoltre: dalla definizione: 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ad una funzione f(x) associa una famiglia di funzioni F(x)+C. Poiché opera/agisce su un insieme (quello delle funzioni) lo chiameremo operatore (anche la derivata è un operatore che agisce sull'insieme delle funzioni).

Integrale indefinito – I parte Antiderivata Prime definizioni e teoremi Teorema L’integrazione è l’operazione inversa della derivazione. Dimostrazione: dobbiamo dimostrare A) 𝑑 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥=𝑓(𝑥) e B) 𝑑 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =𝑓(𝑥) A) 𝒅 𝒅𝒙 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙=𝒇(𝒙) Dalla definizione di derivata 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑓 ′ (𝑥), sostituiamo nell'espressione 𝑑 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥= 𝑓 ′ (𝑥) 𝑑𝑥 Dalla definizione di integrale indefinito dobbiamo cercare la famiglia di primitive di 𝑓 ′ 𝑥 ovvero f(x) (omettiamo la costante additiva) CVD (A) B) 𝒅 𝒅𝒙 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 =𝒇(𝒙) Dalla definizione di integrale indefinito 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥=F(x)+C , sostituiamo in 𝑑 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥  𝑑 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 F(x)+C = 𝑑 𝑑𝑥 F(x) .. Dalla definizione di primitiva 𝑑 𝑑𝑥 F(x) =𝑓 𝑥 CVD (B)

Integrale indefinito – I parte Antiderivata Prime definizioni e teoremi Il teorema spiega perché in molti testi (specie anglosassoni) si parla di antiderivata e non di integrale indefinito. ? Domandiamoci: Si può sempre trovare una primitiva per f(x)? La risposta è NO Attenzione occorrerà distinguere due casi: - esistono casi di funzioni che non hanno una primitiva - esistono casi di funzioni che ammettono una primitiva ma non è possibile trovarne l'equazione (o meglio l'espressione analitica). Ad esempio 𝑓 𝑥 = 𝑒 − 𝑥 2 2 ? Esiste un teorema che garantisce l’esistenza di una primitiva (senza però dirci come trovarla)? La risposta è SI Teorema Se f(x) è continua in [a,b] allora è integrabile. Non dimostriamo ora questo teorema.

Un teorema che garantisca esistenza primitiva Integrale indefinito – I parte Un teorema che garantisca esistenza primitiva Prime definizioni e teoremi Osserviamo: La continuità non è condizione sufficiente per la derivabilità (ricordiamo che una funzione f(x) continua non è detto che sia derivabile, esempio classico f(x)=|x| in x=0 è continua ma non derivabile). La continuità in [a;b] è condizione sufficiente per l’integrabilità E’ possibile anche indebolire la richiesta: f(x) limitata e monotona in [a;b] allora è integrabile in [a;b] f(x) limitata con un numero finito o numerabile di discontinuità in [a;b] allora è integrabile [a;b] Tutto questo lo si giustifica ripensando al legame tra integrale indefinito e definito