Insiemi DE VITIS GABRIELE

Possiamo precisare il concetto di insieme (termine primitivo) come un aggregato di oggetti determinati e distinti Se gli elementi di un insieme sono elencabili tutti, si dice finito, altrimenti infinito.

1 2 3 Esempi: L’insieme dei giorni di una settimana Insieme finito L’insieme dei numeri pari Insieme infinito 3 L’insieme delle persone alte Non è un insieme !!

1 2 Possiamo rappresentare un insieme nei seguenti tre modi: Mediante una proposizione che indica la proprietà caratteristica. A = {x | x è un giorno della settimana} B = {x | x è pari} C = {x | x è un numero divisore di 20} 2 Elencando gli elementi dell’insieme. A = {lunedì, martedì,….,domenica} B = {0,2,4,6,8,10,12,...} C = {1,2,4,5,10,20}

3 Mediante diagramma di Eulero-Venn. 3 U insieme universo B 8 5 1 4 6 4 6 11 12 7 2 10 9 B = {x | x è pari} Simbolo di appartenenza Scriviamo: Simbolo di non appartenenza

Due insiemi si dicono uguali quando possiedono gli stessi elementi. A = B scriviamo: Un insieme A si dice sottoinsieme di B quando ogni elemento di A appartiene anche a B. A B scriviamo:

L’insieme vuoto è un insieme privo di elementi. scriviamo: Esempi: A = {x | x è positivo e minore di -1} B = {x | x2 < 0} C = {x | x è un mese di 32 giorni}

{ } P(A) = P(A) A, , {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c} Dato un insieme A, l’insieme delle parti è l’insieme formato da tutti i possibili sottoinsiemi di A. P(A) scriviamo: Esempio: P(A) = { } A, , {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}

P(A)  A {b} {a} {c} {a,c} {b,c} {a,b} Si dimostra che se A è formato da n elementi allora l’insieme delle parti è formato da 2n elementi. P(A) A  A a b {b} {a} {c} c {a,c} {b,c} 3 elementi {a,b} elementi

OPERAZIONI FRA INSIEMI 1 COMPLEMENTARE CB(A) = { b, d, e, g, m } B b d A m c Se AB si chiama complementare di A rispetto a B l’insieme degli elementi di B che non appartengono ad A. f a g h e CB(A) =

Domande: CA(A) =  CA() = A CB(CB(A)) = A B A

2 UNIONE A  B = { a, b, c, d, e, f, g, h, i, l } A a Si chiama unione di A con B l’insieme degli elementi appartenenti ad A oppure a B. l b f c g i e A  B = d h B

Domande: Se AB allora A  B = B B A A  CB(A) = B A   = A A  A = A

3 INTERSEZIONE A  B = { c, g } A a Si chiama intersezione di A con B l’insieme degli elementi appartenenti ad A e a B. l b f c g i e A  B = d h B

Domande: Se AB allora A B A  B = A  A  CB(A) = A   =  A  A = A

4 DIFFERENZA A - B = { a, b, f, l } A a Si chiama differenza fra A e B l’insieme degli elementi appartenenti ad A ma non a B. l b f c g i e A - B = d h B

 A A -  = A A - A =  CB(A) Se AB allora A - B = A - CB(A) = Domande: Se AB allora  B A - B = A A - CB(A) = A CB(A) B - A = A -  = A A - A = 

6 A  B = PRODOTTO CARTESIANO (a,c), (a,e), (a,d), (b,c), (b,e), (b,d), (c,c), (c,e), (c,d) } A a b Si chiama prodotto cartesiano di A e B l’insieme di tutte le coppie del tipo (ai,bk), con ai A e bk B. c e d A  B = B

Rappresentazione saggittale del prodotto cartesiano Esempio: 1 B a 2 A 3 4 b 5 (a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (a,5), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (b,5)}

Rappresentazione cartesiana del prodotto cartesiano Esempio: B 5 4 3 2 1 A a b (a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (a,5), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (b,5)}

Proprietà commutativa PROPRIETA' 1 Proprietà commutativa 2 Proprietà associativa

Proprietà distributiva PROPRIETA' Proprietà distributiva 3 Dell’unione rispetto all’intersezione Dell’intersezione rispetto all’unione

    Partizione di un insieme 1 A1  A2  A3  A4 = A 2 A1A2= ……………... A3  A3A4= I sottoinsiemi A1, A2, A3, A4, costituiscono una partizione di A

Alcune partizione di N, insieme dei numeri naturali 1 A = {x | x è un numero pari} B = {x | x è un numero dispari} SI 2 A = {x | x è un numero pari} B = {x | x è multiplo di 3} NO 3 A = {x | x è multiplo di 4} B = {x | x è dispari} NO 4 A = {x | x 100} B = {x | x 100} NO