GLI INSIEMI 2^PARTE LE OPERAZIONI

INTERSEZIONE “A  B” ^ ^ A  B B A A  B = xx A x  B  è l’insieme degli elementi che appartengono contemporaneamente ad A e a B cioè gli elementi in comune A  B B A Scriveremo: A  B = xx A x  B  ^ simbolo di congiunzione , si legge: e contemporaneamente ^

C A = a; b; c; d; e; f m  B = d; e; f; g; h; i; l n  g  esempio - intersezione fra tre insiemi Dati gli insiemi: C A = a; b; c; d; e; f m  B = d; e; f; g; h; i; l n  g  C = m; n; d B A a  d  b  i  e  h  Trovare: A  B  C c  f  l  Solo l’elemento d appartiene contemporaneamente ai tre insiemi, quindi: A  B  C = {d}

CASI PARTICOLARI di INTERSEZIONE A  A = A A   =  A  Ā =  A  U = A se A  B = , A e B si dicono DISGIUNTI se B  A allora A  B = B

UNIONE “A  B” A  B B A A  B = xx A v x  B  è l’insieme degli elementi che appartengono ad A “o” a B, cioè ad almeno uno dei due insiemi dati A  B B A Scriveremo: A  B = xx A v x  B  V simbolo di disgiunzione si legge: “o” – “oppure”

CASI PARTICOLARI DELL’UNIONE A  A = A A   = A A  Ā= U se B  A allora A  B = A se A e B sono insiemi disgiunti allora A  B è formata da tutti gli elementi di A e di B

A  B = a; b; c; d; e; f; g; h; i; l A  B esempi A  B A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l B A g  a  d  i  b  e  h  c  f  l  A  B = d; e; f A  B = a; b; c; d; e; f; g; h; i; l

si tolgono ad A tutti gli elementi che appartengono a B (cioè A  B) DIFFERENZA. “A - B” è l’insieme formato da tutti gli elementi di A che non appartengono a B si tolgono ad A tutti gli elementi che appartengono a B (cioè A  B) A B Scriveremo: A - B = xx A x  B  ^

A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l A B g  a  d  i  esempi: differenza A - B e B - A A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l A B g  a  d  i  b  e  h  c  f  l  A - B = a; b; c B - A = g; h; i; l si noti che A - B ≠ B-A

CASI PARTICOLARI DELLA DIFFERENZA A - A =  A -  = A se A  B =  allora A - B = A e B - A = B se B  A allora B - A = 

INSIEME DELLE PARTI “P(A)” dato un insieme A, si definisce insieme delle parti di A e si indica con P(A) l’insieme di tutti i SOTTOINSIEMI propri e impropri di A. A = a; b; c; A a  c  b  dato l’insieme A di fig. tutti i suoi sottoinsiemi sono:  a b c a; b a; c b; c a; b; c quindi: P(A) =  ; a; b; c; a; b; a; c; b; c; a; b; c  Si noti che gli elementi di P(A) sono INSIEMI Se A contiene n elementi, P(A) contiene 2n sottoinsiemi Nell’es. di fig. si ha: n =3 → 23 =8

PARTIZIONE DI UN INSIEME dato un insieme A, si consideri un certo numero n di suoi sottoinsiemi (che indichiamo con Ai) si dice che questi sottoinsiemi formano una partizione di A se: A A2 A1 A3 A5 A4 ogni sottoinsieme è proprio Ai  A e Ai  ,  i 1 i sottoinsiemi sono a due a due disgiunti Ai  Ak =  con i  k 2 l’unione di tutti i sottoinsiemi dà l’insieme A A1  A2  A3  A4  A5 = A 3

es. Dati gli insiemi: A = a; b; c; e PRODOTTO CARTESIANO dato due insiemi A e B, considerati gli elementi x  A e y  B, si definisce prodotto cartesiano dei due insiemi A e B (si indica A x B, si legge A cartesiano B), l’insieme formato da tutte le possibili coppie ordinate (x; y) Scriveremo: A x B = (x; y)x  A e y  B  (è un insieme di coppie di elementi) A B a   1 es. Dati gli insiemi: A = a; b; c; e B = 1; 2 b   2 c  avremo: A x B =  (a; 1), (a; 2), (b; 1), (b; 2), (c; 1), (c; 2)  IL NUMERO DELLE COPPIE ORDINATE CHE COMPONGONO IL PRODOTTO CARTESIANO E’ UGUALE AL PRODOTTO FRA I NUMERI DEGLI ELEMENTI DI CIASCUN INSIEME Nell’es. rappresentato avremo: 3x2 =6 coppie.

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL PRODOTTO CARTESIANO b  c   1  2 A B RAPPRESENTAZIONE DELL’ES. PRECEDENTE: Rappresentazione SAGITTALE a c 1 2  b A B x y Rappresentazione CARTESIANA sull’asse x si rappresentano nell’ordine gli elementi di A sull’asse y si rappresentano nell’ordine gli elementi di B OGNI PUNTO RAPPRESENTA UNA COPPIA ORDINATA DI ELEMENTI Rappresentazione mediante TABELLE A DOPPIA ENTRATA

OSSERVAZIONI SUL PRODOTTO CARTESIANO ogni coppia è una coppia ordinata di elementi, quindi: (x; y)  (y; x) di conseguenza: A x B  B x A A x A = A2 A x B x C  B x A x C  B x A x C  A x C x B …. se m, n, p sono il numero degli elementi degli insiemi A, B, C allora l’insieme prodotto cartesiano dei tre insiemi conterrà mxnxp elementi.

il diagramma ad albero C x B x A Es. Siano dati gli insiemi: Esso è utile per determinare l’insieme di tutte le possibili “coppie” ordinate di un prodotto cartesiano. Es. Siano dati gli insiemi: A = a; b B = ;  C = 1; 2; 3 e si voglia determinare il prodotto cartesiano A x B x C SI DISPONGONO GLI ELEMENTI DI OGNI INSIEME, IN ORDINE, COME IN FIG. (a; ; 1) Nel nostro caso non avremo delle “coppie” ma delle “terne” ordinate di elementi. Per la determinazione è sufficiente seguire il percorso delle frecce 1  (a; ; 2) 2 (a; ; 3) 3 a 1 (a; ; 1) (a; ; 2)  2 (a; ; 3) 3 (b; ; 1) 1 (b; ; 2)  2 (b; ; 3) 3 b (b; ; 1) 1 ESERCIZIO: ESEGUIRE IL PROD. CARTES. C x B x A  (b; ; 2) 2 (b; ; 3) 3

C A = a; b; c; d; e; f m  B = d; e; f; g; h; i; l n  g  Esercizio - intersezione e differenza fra insiemi Dati gli insiemi: C A = a; b; c; d; e; f m  B = d; e; f; g; h; i; l n  g  C = m; n; d B A a  d  b  i  e  h  Trovare: C – ( A  B) c  f  l  troviamo prima A  B : A  B = d; e; f quindi: C – (A  B ) = {m; n}

C B A (B  C ) – A Esercizio - intersezione e differenza fra insiemi Dati gli insiemi A, B, C C Individuare quale espressione fra insiemi rappresenta l’area evidenziata: B A Notiamo che è una parte fra l’intersezione di B con C (C  B) ma che non appartiene ad A … quindi (B  C ) – A

C B A (A  B ) – C Esercizio - unione e differenza fra insiemi Dati gli insiemi A, B, C C Individuare quale espressione fra insiemi rappresenta l’area evidenziata: B A Notiamo che è una parte fra l’unione di A con B (A  B) ma che non appartiene ad C … quindi (A  B ) – C

C B A [C – (A  B )]  [(A  B ) – C] Esercizio - intersezione, unione e differenza fra insiemi Dati gli insiemi A, B, C C Individuare quale espressione fra insiemi rappresenta l’area evidenziata: B A Notiamo che: una 1^parte rappresenta C meno gli elementi di A e B C – (A  B ) una 2^parte rappresenta gli elementi in comune fra A e B ma che non appartengono a C (A  B ) – C Quindi la l’area evidenziata è l’unione fra le due parti [C – (A  B )]  [(A  B ) – C]

LE PROPRIETA’ DEGLI INSIEMI Propr. COMMUTATIVA A  B = B  A LEGGI di DE MORGAN A  B = B  A A  B = A  B Propr. ASSOCIATIVA A  B = B  A (A  B)  C = A  (B  C) (A  B)  C = A  (B  C) Propr. DISTRIBUTIVA A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) Propr. dell’ ASSORBIMENTO A  (A  C) = A A  (A  C) = A