INTERVALLI E INTORNI INTERVALLI INTORNI PUNTI PER UN INSIEME

INTERVALLI LIMITATI Definizione 1 Dati due numeri reali a e b, con a < b, si chiama: INTERVALLO APERTO ( a , b ) l’insieme dei numeri reali x tali che a < x < b a b INTERVALLO CHIUSO [ a , b ] l’insieme dei numeri reali x tali che a ≤ x ≤ b a b INTERVALLO APERTO A DESTRA [ a , b ) l’insieme dei numeri reali x tali che a ≤ x < b a b INTERVALLO APERTO A SINISTRA ( a , b ] l’insieme dei numeri reali x tali che a < x ≤ b a b

INTERVALLI ILLIMITATI Definizione 2 Dato un numero reale a qualsiasi, si chiama: INTERVALLO ILLIMITATO SUPERIORMENTE l’insieme dei numeri reali x tali che x ≥ a [ a , +) a INTERVALLO ILLIMITATO INFERIORMENTE l’insieme dei numeri reali x tali che x ≤ a ( - , a ] a Osservazione Un intervallo limitato è in corrispondenza con i punti di un segmento Un intervallo illimitato è in corrispondenza con i punti di una semiretta L’intervallo ( - , + ) è in corrispondenza con i punti di una retta e rappresenta l’insieme dei numeri Reali

INTORNI Definizione 3 Si chiama: INTORNO COMPLETO del punto c un qualsiasi intervallo aperto che contenga c (se c è il punto medio, l’intorno si dice CIRCOLARE) a c b INTORNO DESTRO del punto c un qualsiasi intervallo aperto che abbia c come estremo sinistro c b INTORNO SINISTRO del punto c un qualsiasi intervallo aperto che abbia c come estremo destro a c Proprietà L’intersezione di due intorni di un punto c è ancora un intorno dello stesso punto c c

L’ intervallo ILLIMITATO cioè l’insieme dei numeri reali x tali che x > a , può considerarsi un INTORNO di + a (Può essere solo sinistro) L’ intervallo ILLIMITATO Cioè l’insieme dei numeri reali x tali che x < a , può considerarsi un INTORNO di -  ( - , a ) a (Può essere solo destro)

Dato un intervallo ( a , b) e un punto c, si dice che c è un punto: PUNTI Definizione 4 Dato un intervallo ( a , b) e un punto c, si dice che c è un punto: INTERNO per ( a , b) Se esiste un intorno di c interamente contenuto in ( a , b) a c b ESTERNO per ( a , b) Se esiste un intorno di c non contenuto in ( a , b) c a b Di FRONTIERA per ( a , b) Se non è né interno e né esterno per ( a , b) c = a b Osservazione. Un punto che sia di accumulazione per un insieme non deve necessariamente appartenere all’insieme. Di ACCUMULAZIONE per ( a , b) Se in ogni intorno di c cadono infiniti punti di ( a , b) distinti da c Esempi

Punti di ACCUMULAZIONE - ESEMPI 1)Ogni numero reale è di accumulazione per R è di accumulazione per R ed è R 2) è di accumulazione per Q ed è Q 3)L’insieme dei numeri 1/n , con nN , ha come punto di accumulazione lo zero (solo sinistro) e zero non è un valore appartenente all’insieme considerato