SCHEMA DEL SEMINARIO* Notizie Storiche Legame tra dinamica e metrica Stima geometrica dell’esponente di Lyapounov Esp. di Lyapounov, curvatura e Transizioni di fase Transizioni Topologiche Funzioni di Morse L’Ipotesi Topologica (TH): formulazione ed evidenze Modello mean-field XY ** : soluzione analitica del modello verifica analitica diretta di TH Transizioni di fase a N finito: ruolo di TH*** (*) Phys. Rep. 337, 237 (2000) (**) Phys. Rev. Lett 82, 4160 (1999) (***) pre-print, cond-mat/0104110 (2001)

Notizie Storiche Ponicaré: instabilità hamiltoniana e caos deterministico Teorema di Poincaré-Fermi: fondamento dinamico della meccanica statistica (ergodicità) Krylov: instabilità dinamica e mixing Krylov e Levi-Civita: connessione tra varietà differenziabili e dinamica Sp. Fasi Microscopico Problema della curvatura negativa Sp. Fasi Macroscopico Teoria delle Catastrofi Teoria delle funzioni di Morse IPOTESI TOPOLOGICA

Metriche di Jacobi e di Eisenhart Principio variazionale (Maupertuis) (Jacobi) Teorema generale (trasformazione conforme) Problema della dimensione temporale Metrica di Eisenhart Geodetiche-Traiettorie fisiche: proiezione canonica + condizione

...due linguaggi a confronto Sistemi Dinamici Geometria Differenziale Scelta di una Metrica Metrica di Eisenhart Metrica di Jacobi

Curvature e stabilità Traiettoria ‘perturbata’ Eq. dinamica tangente Geodetica ‘perturbata’ Eq. di Jacobi Soluzione al problema della ‘Curvatura Negativa’ Assunzioni sulla regolarità e isotropia dello sp. conf. Utilizzo ‘curvatura effettiva’ come processo stocastico Stima geometrica dell’esponente di Lyapounov per: modello F.P.U. modello XY 1-d

(1) Andamento Exp. Lyapunov Comportamento Statistico di un Sistema Proprietà Geometriche dello spazio delle configurazioni Caoticità: Exp. Lyapounov positivi (ergodicità e mixing) Fenomeni Critici: (1) Andamento Exp. Lyapunov (2) Proprietà geometriche dello spazio delle fasi Fenomeni Critici ed Exp. di Lyapunov 2d XY Model (KT) 3d XY Model (O(2)) 2d f4 Model 3d f4 Model

Fluttuazioni della curvatura scalare Conclusioni: Exp. Lyapunov è sensibile alle Transizioni di fase Le curve l(T) sono dipendenti dal modello (mancanza di Universalità) Exp. Lyapunov non è sensibile a Rotture di Simmetria Fluttuazioni della curvatura scalare 2d XY Model (KT) 3d XY Model 2d f4 O(2)-Model 3d f4 O(n)-Model Tr. Fase con rottura di simmetria Cusp-like Tr. Fase senza rottura di simmetria (es. KT) Smooth

Fluttuazione curvatura: Curvatura media = buon indicatore Esistenza transizione nella TOPOLOGIA TRANSIZIONI TOPOLOGICHE c=2 Sing. c=0 Equazione: Fluttuazione curvatura:

Fluttuazioni della curvatura per funzioni di Morse con N grande: Sing. c=4 Equazione: ...inoltre: Fluttuazioni della curvatura per funzioni di Morse con N grande: CUSP-LIKE

(indici dei punti critici, i.e. # autovalori <0 di H) Teoria Delle Funzioni di Morse Definizione di Funzione di Morse : Punti Critici (df(Xc)=0) Isolati Insiemi di livello: Teoremi Significativi: Terorema del Collo non-critico non contiene punti critici gli insiemi di livello non subiscono variazioni topologiche f-1[a,b] subisce variazioni topologiche solo in corrispondenza di punti critici e in modo determinato dalle proprietà dell’Hessiano (indici dei punti critici, i.e. # autovalori <0 di H) La caratteristica di Eulero della varietà è determinata dai numeri di Morse mk (# di p. critici di indice k)

2d f4 : Supporto Indiretto a TH* Necessità di provare che la transiz. topologica prescinde dalla singolarità della misura nell’ensemble statistico al limite termod. Si considera per il modello scalare 2-d f4: K= curvatura scalare Si equipaggia lo sp. delle configurazioni con una metrica (che possibilmente prescinda dalla dinamica) Si verifica la presenza, nel caso di tr. di fase fisica, di una transizione topologica (cusp) Si verifica l’indipendenza dalla metrica usata (*) Phys. Rev. E 60 R5009 (1999)

Si verifica che il punto critico (cusp) corrisponde Metrica #1 in 1d e 2d Metrica #2 in 1d e 2d Si verifica che il punto critico (cusp) corrisponde al valore di u(T)=<V> punti: medie sull’insieme canonico linea: media temporale del potenziale

2d f4 : Conferma Diretta di TH via calcolo di c Teorema di Gauss-Bonne-Hopf: K= Curvatura di Gauss-Kronecker g= metrica sulla varietà Si confronta l’andamento di c nei casi 1d e 2d: Conclusioni: Transizioni topologiche sono presenti anche in assenza di transizioni di fase Il segno distintivo della transizione di fase ‘fisica’ è una variazione brusca della topologia

Mean-Field XY: Conferma Diretta di TH 1) Il modello ‘Spin’ associato (HEISENBERG, long range) (Mean-Field) 2) Calcolo analitico dei minimi di F Via trucco di Hubbard-Stratonovich si ottiene da cui si ricava l’eq. per i minimi:

Si ha transizione di fase di seconda specie per b=2/e Valore critico dell’energia per particella: 3) Esponente critico b Dall’espressione di F si ricava, per la magnetizzazione media: Espandendo si trova: che fornisce il valore dell’esponente critico b=1/2 Si ha transizione di fase di seconda specie per b=2/e

Poichè solo per h non nullo le V(f) sono f. di Morse, ci si pone a T=Tc e si fa il limite h=0 Notiamo che I punti critici sono tali che: Configurazione a energia pot. minima: Configurazioni con il numero di tali configurazioni è Configurazioni con energia pot. massima il numero di tali configurazioni va come N!

Ad ogni valore critico corrisponde una tr. topologica Studiamo la proiezione di campo medio ad h=0 v=0 0<v<1/2 v=1/2 Il valore a cui sussistono le transizioni topologiche e fisiche coincidono (=1/2) T=1/2 e e=3/4 Qual è la condizione perchè si abbia tr. fase fisica? Il caso XY 1-d mostra che a vc corrispondono solo 2 punti critici Qui invece i punti critici corrispondenti a vc sono N! Si ha transizione fisica solo se il numero di punti critici corrispondenti al valore critico è almeno esponenzialmente crescente con N

Rilevanza di TH per sistemi a N finito Esempi di transizioni di fase con N<<NA Cluster nucleari Sistemi nano- o mesoscopici Polimeri e proteine Gocce di fluidi quantistici Spiegazione matematica delle singolarità: Teorema di Yang e Lee Soluzioni esatte (es:Ising 2-d) Non analiticità delle funzioni di partizione Con TH i comportamenti singolari sono spiegati come singolarità topologiche delle misure rilevanti 1) Formulazione Canonica

2) Formulazione Microcanonica In tutti i casi gli oggetti rilevanti sono: Teorema: condizione necessaria per transizione di fase: subiscano, per v=vc, transizioni topologiche IPOTESI TOPOLOGICA: le transizioni di fase fisiche sono originate da transizioni topologiche nel supporto della misura statistica che descrive il sistema.