Teorema dell’unicità del limite Se per x tendente a x0 la funzione f(x) ammette limite, questo è unico.

Dimostrazione

lim f(x) = l1 lim f(x) = l2 Ragioniamo per assurdo: Supponiamo che esistano due limiti finiti diversi l1 e l2 ; cioè lim f(x) = l1 lim f(x) = l2 e x x0 x x0 Allora per la definizione di limite data precedentemente:

> 0 < f(x) < l1 - l1 + l2 - < f(x) < l2 + Prefissato un qualunque numero > 0 si può determinare un primo intorno di x0 tale che per ogni x di tale intorno sia: l1 - < f(x) < l1 + si può determinare un secondo intorno di x0 tale che per ogni x di tale intorno sia: l2 - < f(x) < l2 +

l2 - < f(x) < l1 + Supponiamo l2 > l1 Prendiamo Nella parte comune ai due intorni varranno le due disuguaglianze precedentemente scritte. In tale parte comune sarà certamente: l2 - < f(x) < l1 +

Disuguaglianza assurda. e quindi: l2 - < l1 + ed anche: > Disuguaglianza assurda. Quindi è assurdo che esistano due limiti diversi.

Teorema della permanenza del segno Se per x tendente a x0 la funzione f(x) ha per limite il numero finito l diverso da zero, esiste un intorno del punto x0 tale che per ogni x di tale intorno la funzione f(x) assume valori dello stesso segno di l.

lim g(x)=l g(x) h(x) f(x) lim f(x)=lim h(x) =l Teorema del confronto Se f(x) e g(x) e h(x) sono tre funzioni definite in uno stesso intorno (a,b) di x0 , se per ogni x di detto intorno risulta: g(x) h(x) f(x) e se è inoltre lim f(x)=lim h(x) =l allora lim g(x)=l

lim[f(x)+g(x)]=l1+l2 lim g(x)=l2 lim f(x)=l1 Teorema della somma Se f(x) e g(x) sono due funzioni definite in uno stesso intorno (a,b) di x0 e se esistono e sono finiti i limiti per x tendente a x0 , allora anche la somma f(x)+g(x) ha limite finito per x tendente a x0 e questo limite è uguale alla somma dei limiti. Cioè se è lim g(x)=l2 lim f(x)=l1 allora è pure lim[f(x)+g(x)]=l1+l2

Nulla si può dire se i limiti sono uno + infinito e l’altro - infinito

lim[f(x)-g(x)]=l1 - l2 lim g(x)=l2 lim f(x)=l1 Teorema della differenza Se f(x) e g(x) sono due funzioni definite in uno stesso intorno (a,b) di x0 e se esistono e sono finiti i limiti per x tendente a x0 , allora anche la differenza f(x)-g(x) ha limite finito per x tendente a x0 e questo limite è uguale alla differenza dei limiti. Cioè se è lim g(x)=l2 lim f(x)=l1 allora è pure lim[f(x)-g(x)]=l1 - l2

Nulla si può dire se entrambi i limiti sono + infinito

limf(x)*g(x)=l1 * l2 lim g(x)=l2 lim f(x)=l1 Teorema del prodotto Se f(x) e g(x) sono due funzioni definite in uno stesso intorno (a,b) di x0 e se esistono e sono finiti i limiti per x tendente a x0 , allora anche il prodotto f(x)*g(x) ha limite finito per x tendente a x0 e questo limite è uguale al prodotto dei limiti. Cioè se è lim g(x)=l2 lim f(x)=l1 allora è pure limf(x)*g(x)=l1 * l2

Nulla si può dire nel caso in cui un limite è infinito e l’altro è uguale a zero.

Teorema della funzione reciproca Se la funzione f(x) per x tendente a x0 ha limite finito l diverso da zero, allora la funzione reciproca ha per limite lim =0 allora Se lim f(x)=

Teorema del quoziente Dai teoremi precedenti si deduce il limite del quoziente

Nulla si può dire se lim f(x)=lim g(x)=0 oppure se lim f(x)=lim g(x)=