PREMESSE DELL’ANALISI INFINETISIMALE

Insiemi numerici e insiemi di punti LE PREMESSE DELL’ANALISI INFINETISIMALE Insiemi numerici e insiemi di punti Un insieme i cui elementi sono numeri reali è chiamato insieme numerico. Detto R l’insieme dei numeri reali e data una retta orientata r, è noto che, stabilita un’unità di misura e un’origine O su r, a ogni numero reale si può associare un punto di r e viceversa; si puo’ cioè stabilire una corrispondenza biunivoca tra R e r. La retta r viene chiamata, per quanto appena detto, retta reale. In base a questa corrispondenza è possibile parlare indifferentemente di insieme numerico o di insieme di punti su r, ossia è lecito ‘‘confondere’’ i punti di r con i numeri reali a essi corrispondenti e viceversa; in altre parole è possibile identificare un insieme numerico con la sua ‘‘immagine geometrica’’ su r. Per tale motivo un insieme numerico verrà anche chiamato insieme lineare di punti e i suoi elementi sono quindi, indistintamente, numeri o punti della retta reale.

La topologia della retta reale LE PREMESSE DELL’ANALISI INFINETISIMALE La topologia della retta reale

LE PREMESSE DELL’ANALISI INFINETISIMALE

LE PREMESSE DELL’ANALISI INFINETISIMALE

LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE

1. LE FUNZIONI INIETTIVE, SURIETTIVE E BIIETTIVE LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE 1. LE FUNZIONI INIETTIVE, SURIETTIVE E BIIETTIVE DEFINIZIONE Funzione iniettiva, funzione suriettiva, funzione biiettiva (o biunivoca) Una funzione da A a B si dice: - iniettiva se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A; - suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A; - biiettiva (o biunivoca) se è sia iniettiva sia suriettiva. ESEMPIO y = 2x -1 ESEMPIO y = – x2 + 4 - Suriettiva se - Suriettiva - Iniettiva - Biiettiva - Non iniettiva se

LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE 2. LE FUNZIONI CRESCENTI, LE FUNZIONI DECRESCENTI, LE FUNZIONI MONOTÒNE DEFINIZIONE Funzione crescente Una funzione y = f (x) di dominio si dice crescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se, comunque scelti x1 e x2 appartenenti a I, con x1 < x2, risulta f (x1) < f (x2). ESEMPIO y = x2 – 4 Funzione non decrescente Se, invece di f (x1) < f (x2), vale Crescente in la funzione è crescente in senso lato o non decrescente.

LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE 2. LE FUNZIONI CRESCENTI, LE FUNZIONI DECRESCENTI, LE FUNZIONI MONOTÒNE DEFINIZIONE Funzione decrescente Una funzione y = f (x) di dominio si dice decrescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se, comunque scelti x1 e x2 appartenenti a I, con x1 < x2, risulta f (x1) > f (x2). ESEMPIO Funzione non crescente Se, invece di f (x1) > f (x2), vale la funzione è decrescente in senso lato o non crescente. Decrescente in Non crescente in R

LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE 2. LE FUNZIONI CRESCENTI, LE FUNZIONI DECRESCENTI, LE FUNZIONI MONOTÒNE DEFINIZIONE Funzione monotona Una funzione di dominio si dice monotòna in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se, in quell’intervallo è sempre crescente o sempre decrescente in senso stretto. Funzione monotòna crescente in I Funzione monotòna decrescente in I

3. LE FUNZIONI PERIODICHE LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE 3. LE FUNZIONI PERIODICHE DEFINIZIONE Funzione periodica Una funzione y = f (x) si dice periodica di periodo T, con T > 0, se, per qualsiasi numero k intero, si ha: f(x) = f(x + kT). ESEMPIO y = sen (x) è periodica di periodo 2p perché sen (x) = sen (x + 2kp). y = tg (x) è periodica di periodo p perché tg (x) = tg (x + kp).

3. LE FUNZIONI PARI E LE FUNZIONI DISPARI LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE 3. LE FUNZIONI PARI E LE FUNZIONI DISPARI DEFINIZIONE Funzione pari Indichiamo con D un sottoinsieme di R tale che, se , allora . Una funzione y = f (x) si dice pari in D se f (–x) = f (x) per qualunque x appartenente a D. ESEMPIO f (x) = 2x4 – 1 f (– x) = 2(– x)4 – 1 = 2x4 – 1 = f (x) f è pari.

3. LE FUNZIONI PARI E LE FUNZIONI DISPARI LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE 3. LE FUNZIONI PARI E LE FUNZIONI DISPARI DEFINIZIONE Funzione dispari Indichiamo con D un sottoinsieme di R tale che, se , allora . Una funzione y = f (x) si dice dispari in D se f (–x) = – f (x) per qualunque x appartenente a D. ESEMPIO f (x) = x3 + x f (– x) = (– x)3 + (– x) = – x3 – x = – f (x) f è dispari.

4. LA FUNZIONE INVERSA Funzione inversa LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE 4. LA FUNZIONE INVERSA DEFINIZIONE Funzione inversa Data la funzione biiettiva f da A a B, la funzione inversa di f è la funzione biiettiva f –1 da B ad A che associa a ogni y di B il valore x di A tale che y = f (x). Data una funzione biiettiva reale di variabile reale y = f(x), disegnare il grafico di f –1 equivale a partire dalle ordinate di f e ricavare le ascisse. Ordinate e ascisse si scambiano i ruoli. Il grafici di f e di f –1 sono simmetrici rispetto alla bisettrice del I e III quadrante.

LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE 4. LA FUNZIONE INVERSA La funzione esponenziale e la funzione logarimica

4. LA FUNZIONE INVERSA La funzione arcoseno La funzione arcocoseno LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE 4. LA FUNZIONE INVERSA La funzione arcoseno La funzione arcocoseno La funzione arcotangente La funzione arcocotangente

5. LE FUNZIONI COMPOSTE Le funzioni composte Date le due funzioni e LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE 5. LE FUNZIONI COMPOSTE Le funzioni composte Date le due funzioni e , con o y = g (f (x)) indichiamo la funzione, detta funzione composta, da A a C che si ottiene associando a ogni x di A l’immagine mediante g dell’immagine di x mediante f. ESEMPIO Consideriamo: f (x) = x2, g(x) = x + 1. Otteniamo: La composizione NON è commutativa.

6. ESERCIZI: LE FUNZIONI COMPOSTE LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE 6. ESERCIZI: LE FUNZIONI COMPOSTE

DOMINIO DI UNA FUNZIONE y=f(x) LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE DOMINIO DI UNA FUNZIONE y=f(x)

LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE

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LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE

LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE

LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE

LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE

LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO

1. LA DEFINIZIONE Quando x si avvicina a x0, f(x) si avvicina a f(x0) LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO 1. LA DEFINIZIONE Quando x si avvicina a x0, f(x) si avvicina a f(x0) o a un altro valore reale l ? Quando x si avvicina a x0, f(x) si avvicina a un valore l che è proprio f(x0). x0 non appartiene al campo di esistenza. Quando x si avvicina a x0, f(x) si avvicina a un valore l che non è f(x0). Quando x si avvicina a 0 la funzione oscilla indefinitamente. f(x) non si avvicina ad alcun valore determinato.

1. LA DEFINIZIONE 6 Cosideriamo la funzione: . LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO 1. LA DEFINIZIONE ESEMPIO Cosideriamo la funzione: . Che cosa succede ai valori di f(x) quando x si avvicina a 3? La condizione per avere |f(x) – 6| < e è |x – 3| < . Cioè, per ogni numero reale positivo e, se , x f(x) 2,9 5,8 2,99 5,98 2,999 5,998 2,9999 5,9998 x f(x) 3,1 6,2 3,01 6,02 3,001 6,002 3,0001 6,0002 allora . 6

1. LA DEFINIZIONE Limite finito per x che tende a x0 LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO 1. LA DEFINIZIONE DEFINIZIONE Limite finito per x che tende a x0 Si dice che la funzione f (x) ha per limite il numero reale l per x che tende a x0, e si scrive , quando, comunque si scelga un numero reale positivo f, si può determinare un intorno completo I di x0 tale che risulti per ogni x appartenente a I, diverso (al più) da x0. In simboli .

2. IL SIGNIFICATO DELLA DEFINIZIONE LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO 2. IL SIGNIFICATO DELLA DEFINIZIONE Qual è il significato intuitivo della definizione? Fissiamo e > 0. Individuiamo un intorno I di x0 tale che per ogni . Se riduciamo e, troviamo un intorno di x0 più piccolo. L’esistenza del limite assicura che: se x si avvicina indefinitamente a x0, f(x) si avvicina indefinitamente a l . In simboli .

3. LA VERIFICA Verifichiamo che . LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO 3. LA VERIFICA ESEMPIO Verifichiamo che . Per ogni e troviamo l’insieme dei valori di x che soddisfano la condizione e verifichiamo che contenga un intorno di 2. Quindi , cioè da cui si ricava . In temini di intervalli: , che è un intorno di 2.

LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO 4. LE FUNZIONI CONTINUE DEFINIZIONE Una funzione f è continua in x0 Funzioni continue in intervalli reali La funzione costante f(x) = k, continua in tutto R. se x0 appartiene al dominio di f e il limite in x0 coincide con f(x0), cioè: . La funzione polinomiale f(x) = a0xn + a1xn-1+…+an-1x+an, continua in tutto R. La funzione radice quadrata , continua in R+ U {0}. DEFINIZIONE Una funzione f è continua nel suo dominio D, se è continua in ogni punto di D. Le funzioni goniometriche (esempi) f(x) = sen(x), continua in tutto R. f(x) = cotg(x), continua in R – {kp, }. La funzione esponenziale f(x) = ax, con a > 0, continua in tutto R. Se una funzione è continua in un punto, il valore del limite in quel punto è semplicemente il valore della funzione. La funzione logartimica f(x) = logax, con a > 0, , continua in R+.

5. IL LIMITE PER ECCESSO E IL LIMITE PER DIFETTO LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO 5. IL LIMITE PER ECCESSO E IL LIMITE PER DIFETTO DEFINIZIONE Se la funzione f è tale che e assume, in un intorno di x0, sempre valori maggiori di l, ESEMPIO Verifichiamo che . Fissato e > 0, cerchiamo le x per cui 0 < (4x2 – 3) – (–3) < e , ossia 0 < 4x2 < e . si dice che f(x) tende a l per eccesso e si scrive: . La prima relazione, 0 < 4x2, dà . La seconda, 4x2 < e , è soddisfatta per . Il limite esiste e vale 3. La funzione tende a 3 da valori più grandi. Inoltre, in un intorno di 0 (lo 0 escluso) la funzione assume sempre valori maggiori di 3. Se x si avvicina indefinitamente a x0, f(x) si avvicina indefinitamente a l, ma da valori maggiori.

5. IL LIMITE PER ECCESSO E IL LIMITE PER DIFETTO LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO 5. IL LIMITE PER ECCESSO E IL LIMITE PER DIFETTO DEFINIZIONE Se la funzione f è tale che e assume, in un intorno di x0, sempre valori minori di l, si dice che f(x) tende a l per difetto e si scrive: . Se x si avvicina indefinitamente a x0, f(x) si avvicina indefinitamente a l, ma da valori minori.

6. IL LIMITE DESTRO E IL LIMITE SINISTRO LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO 6. IL LIMITE DESTRO E IL LIMITE SINISTRO DEFINIZIONE Si scrive e si dice che l è il limite destro di f in x0, se soddisfa una speciale condizione di limite applicata agli intorni destri di x0. DEFINIZIONE Si scrive e si dice che l è il limite sinistro di f in x0, se soddisfa una speciale condizione di limite applicata agli intorni sinistri di x0. A differenza della definizione standard di limite, la disuguaglianza deve essere soddisfatta nell’intorno destro di x0, . A differenza della definizione standard di limite, la disuguaglianza deve essere soddisfatta nell’intorno sinistro di x0, . Se x si avvicina indefinitamente a x0 da valori più grandi, f(x) si avvicina indefinitamente a l. Se x si avvicina indefinitamente a x0 da valori più piccoli, f(x) si avvicina indefinitamente a l.

6. IL LIMITE DESTRO E IL LIMITE SINISTRO LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO 6. IL LIMITE DESTRO E IL LIMITE SINISTRO ESEMPIO Consideriamo la funzione e verifichiamo che , . Limite destro Verifichiamo se |f(x) – 3| < e è soddisfatta in un intorno destro di 1. | (2x + 1) – 3 | < e - e < 2x – 2 < e Soddisfatta in . Limite sinistro Verifichiamo se |f(x) – 2| < e è soddisfatta in un intorno sinistro di 1. | (3x – 1) – 2 | < e - e < 3x – 3 < e Soddisfatta in .

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LE FUNZIONI CONTINUE

1. STESSO LIMITE, VALORI DIVERSI LE FUNZIONI CONTINUE 1. STESSO LIMITE, VALORI DIVERSI Le due funzioni hanno lo stesso limite per x che tende a x0 = 1. Il valore del limite è l = 2. Nel primo caso il valore del limite coincide con quello della funzione in x0 : f(x0) = l. Nel secondo caso il valore di f non coincide con quello del limite. La prima funzione è continua in x = 1, la seconda è discontinua.

2. LA DEFINIZIONE DI FUNZIONE CONTINUA LE FUNZIONI CONTINUE 2. LA DEFINIZIONE DI FUNZIONE CONTINUA DEFINIZIONE Funzione continua in un punto Siano f(x) una funzione definita in un intervallo [a; b] e x0 un punto interno all’intervallo. La funzione f(x) si dice continua nel punto x0 quando esiste il limite di f(x) per e tale limite è uguale al valore f(x0) della funzione calcolata in x0 : . ESEMPIO y = 1 – x4 è continua in x0 = 2, Se una funzione è continua in un punto, allora il valore del limite in quel punto è semplicemente il valore della funzione. non è continua in x0 = 1.

2. LA DEFINIZIONE DI FUNZIONE CONTINUA LE FUNZIONI CONTINUE 2. LA DEFINIZIONE DI FUNZIONE CONTINUA DEFINIZIONE f(x) è continua a destra in x0, se f(x0) coincide con il limite destro di f(x) per x che tende a x0 : . DEFINIZIONE Funzione continua in un intervallo Una funzione definita in [a; b] si dice continua nell’intervallo [a; b] se è continua in ogni punto dell’intervallo. DEFINIZIONE f(x) è continua a sinistra in x0, se f(x0) coincide con il limite sinistro di f(x) per x che tende a x0 : . ESEMPIO La funzione non è continua in x0 = 1, Una funzione può essere definita continua anche negli estremi dell’intervallo di definizione [a; b]. non è continua nell’intervallo [0;1], ma è continua nell’intervallo [1;2].

3. LA CONTINUITÀ DELLE FUNZIONI COMPOSTE LE FUNZIONI CONTINUE 3. LA CONTINUITÀ DELLE FUNZIONI COMPOSTE Data una funzione composta y = g(f(x)) , si può dimostrare che, se f è continua in x0, e g in f(x0), allora anche y = g(f(x)) è continua in x0. ESEMPIO y = sen 4x è composta da z = f(x) = 4x, continua in R, y = g(z) = sen z, continua in R. Anche g(f(x)) = sen 4x è continua in R. Ad esempio, .

4. I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE DEFINIZIONE Teorema di Weierstrass Se f è una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso [a; b], allora essa assume, in tale intervallo, il massimo assoluto e il minimo assoluto. Controesempi Funzione continua in tutto [1;3] tranne x = 2. Funzione continua nell’intervallo illimitato [1; [. Funzione continua in ]2;5[, intervallo aperto. Possiede un massimo assoluto, ma non un minimo. Possiede un minimo assoluto, ma non un massimo. Non possiede un massimo assoluto né un minimo assoluto.

4. I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE DEFINIZIONE Teorema dei valori intermedi Se f è una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso [a; b], allora essa assume, almeno una volta, tutti i valori compresi tra il massimo e il minimo.

4. I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE DEFINIZIONE Teorema di esistenza degli zeri Se f è una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso [a; b], e negli estremi di tale intervallo assume valori di segno opposto, allora esiste almeno un punto c, interno all’intervallo, in cui f si annulla. Controesempi Funzione discontinua nell’estremo sinistro x = 1. Funzione continua in tutto [–4;3] tranne x = –1. Non possiede uno zero. Non possiede uno zero.

5. ESERCIZI: I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE

5. ESERCIZI: I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

1. IL PROBLEMA DELLA TANGENTE LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 1. IL PROBLEMA DELLA TANGENTE Come si determina la retta tangente a una curva in un punto P ? Per una circonferenza, la tangente è la retta che interseca la curva solo in P. Ma, in generale, questa definizione non basta. La tangente dipende dalle proprietà locali della curva in un intorno di P. DEFINIZIONE Retta tangente a una curva La retta tangente t a una curva in un punto P è la posizione limite, se esiste, della secante PQ al tendere (sia da destra sia da sinistra) di Q a P.

2. IL RAPPORTO INCREMENTALE LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 2. IL RAPPORTO INCREMENTALE DEFINIZIONE Rapporto incrementale Dati una funzione y = f (x), definita in un intervallo [a; b] , e due numeri reali c e c + h interni all’intervallo, si chiama rapporto incrementale di f (relativo a c) il numero: . Il rapporto incrementale di f relativo a c è il coefficiente angolare della retta passante per A e B.

2. IL RAPPORTO INCREMENTALE LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 2. IL RAPPORTO INCREMENTALE ESEMPIO Data la funzione y = f(x) = 2x2 – 3x , e fissati il punto A di ascissa 1 e un incremento h, determiniamo il rapporto incrementale. f (1 + h) = 2(1 + h)2 – 3(1 + h) = = 2(1 + 2h + h2) – 3 – 3h = = 2 + 4h + 2 h2 – 3 – 3h = = – 1 + h + 2 h2 , f (1) = – 1 , .

3. LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE DEFINIZIONE Derivata di una funzione Data una funzione y = f (x), definita in un intervallo [a; b], si chiama derivata della funzione nel punto c interno all’intervallo, e si indica con f ' (c), il limite, se esiste ed è finito, per h che tende a 0, del rapporto incrementale di f relativo a c: . La derivata di una funzione in un punto c rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel suo punto di ascissa c.

3. LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE Condizione di esistenza della derivata La derivata di f esiste in c se: - la funzione è definita in un intorno di c; Rapporto incrementale e derivata Nel processo di limite il rapporto incrementale diventa il coefficiente angolare della retta tangente. - esiste il limite del rapporto incrementale per h tendente a 0; - il limite è un numero finito.

4. CALCOLO DELLA DERIVATA LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 4. CALCOLO DELLA DERIVATA ESEMPIO Calcoliamo il valore della derivata della funzione: y = x2 – x in x = 3. ESEMPIO Calcoliamo la funzione derivata della funzione: y = 4x2 . . . . .

5. LA DERIVATA SINISTRA E LA DERIVATA DESTRA LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 5. LA DERIVATA SINISTRA E LA DERIVATA DESTRA DEFINIZIONE Derivata sinistra La derivata sinistra di una funzione in un punto c è . ESEMPIO Calcoliamo le derivate destra e sinistra della funzione: y = |x| nel punto x = 0. , I valori non coincidono: . DEFINIZIONE Derivata destra La derivata destra di una funzione in un punto c è . la derivata completa non è definita in 0. Una funzione è derivabile in c se la derivata destra e la derivata sinistra esistono in c e sono uguali.

5. LA DERIVATA SINISTRA E LA DERIVATA DESTRA LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 5. LA DERIVATA SINISTRA E LA DERIVATA DESTRA DEFINIZIONE Funzione derivabile in un intervallo Una funzione y = f (x) è derivabile in un intervallo chiuso [a; b] se è derivabile in tutti i punti interni di [a; b] e se esistono e sono finite la derivata destra in a e la derivata sinistra in b. ESEMPIO Riprendiamo la funzione y = |x| e verifichiamo la derivabilità in [0; 2] . Dal calcolo precedente, sappiamo che esiste la derivata destra in 0; nel resto dell’intervallo la funzione è derivabile perché y = x è derivabile in R. La funzione y = |x| è derivabile in [0; 2] .

6. ESERCIZI: IL RAPPORTO INCREMENTALE LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 6. ESERCIZI: IL RAPPORTO INCREMENTALE

6. ESERCIZI: IL RAPPORTO INCREMENTALE LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 6. ESERCIZI: IL RAPPORTO INCREMENTALE

7. ESERCIZI: LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

7. ESERCIZI: LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI

1. SOLUZIONI ESATTE E SOLUZIONI APPROSSIMATE LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI 1. SOLUZIONI ESATTE E SOLUZIONI APPROSSIMATE x2 – 2x – 8 = 0 Risolviamo: . x = –2 v x = 4 Nessuna soluzione esatta. Approssimativamente: ma possiamo migliorare ancora l’approssimazione. Sappiamo che: è crescente, Se non esiste una soluzione esatta, il codominio è tutto R, riduciamo l’indeterminazione della x entro un margine dato. per x = 0, y è positivo (y = 1), una sola soluzione, x < 0 .

2. LA SEPARAZIONE DELLE RADICI LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI 2. LA SEPARAZIONE DELLE RADICI Separare le radici Per trovare le radici approssimate, è necessario anzitutto determinare gli intervalli che contengono soltanto uno zero. TEOREMA Teorema di esistenza degli zeri Se f è una funzione continua nell’intervallo [a; b] limitato e chiuso e negli estremi assume valori di segno opposto, cioè se , allora esiste almeno un punto c interno ad [a; b] in cui la funzione si annulla, ossia: .

2. LA SEPARAZIONE DELLE RADICI LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI 2. LA SEPARAZIONE DELLE RADICI TEOREMA Primo teorema di unicità dello zero Se f è una funzione continua nell’intervallo [a; b] limitato e chiuso, derivabile con derivata prima diversa da 0 nei suoi punti interni e, inoltre, , allora esiste un solo punto c interno ad [a; b] in cui la funzione si annulla, ossia: (esiste uno e un solo c in ]a;b[ tale che f(c) = 0).

2. LA SEPARAZIONE DELLE RADICI LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI 2. LA SEPARAZIONE DELLE RADICI TEOREMA Secondo teorema di unicità dello zero Se f è una funzione continua nell’intervallo [a; b], derivabile due volte nei suoi punti interni, e se e f ''(x) < 0, oppure f ''(x) > 0, , allora esiste un solo punto c interno ad [a; b] in cui la funzione si annulla, ossia: . Se f ''(x) cambia di segno, la funzione può avere più di uno zero anche se .

2. LA SEPARAZIONE DELLE RADICI LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI 2. LA SEPARAZIONE DELLE RADICI ESEMPIO Verifichiamo gli zeri di y = x5 – 3x – 1 nell’intervallo [0; 2] . ESEMPIO Separiamo le radici dell’equazione lnx – x2 + 2 = 0 . f è continua e doppiamente derivabile in tutto R. Confrontiamo i grafici di g(x) = lnx , E, in particolare: y' = 5x4 – 3 , y'' = 20x3 , h(x) = x2 – 2 . I grafici hanno due intersezioni (e l’equazione ha due soluzioni): x1 in [0; 1] , x2 in [ ; 2] . cioè y'' > 0 in ]0; 2[. Inoltre y(0) y(2) = – 25. Si applica il secondo teorema di unicità. Si verifica applicando il teorema di esistenza e il primo teorema di unicità negli intervalli: [0,1; 1] , [ ; 2] . La funzione si annulla 1 volta in [0; 2]. Perché non [0; 1] ?

LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI 3. IL METODO DI BISEZIONE Risolviamo: x3 – x – 1 = 0 , con approssimazione migliore di Dx = 0,3 . c è compreso tra a2 = –1,5 e b2 = –1. c è compreso tra a3 = –1,5 e b3 = –1,25. c è compreso tra a1 = –2 e b1 = –1. c è compreso tra a0 = –2 e b0 = 0. Distanza di c dall’estremo b3 (o a3): al più, e3 = b3 – a3 = 0,25 . Distanza di c dall’estremo b2 (o a2): al più, e2 = b2 – a2 = 0,5 . Distanza di c dall’estremo b1 (o a1): al più, e1 = b1 – a1 = 1 . Distanza di c dall’estremo b0 (o a0): al più, e0 = b0 – a0 = 2 . Con i teoremi di esistenza e unicità, L’approssimazione richiesta è raggiunta. b3 e a3 approssimano c con un’indeterminazione di 0,25. Miglioriamo l’approssimazione: . Miglioriamo l’approssimazione: . Miglioriamo l’approssimazione: . o confrontando i grafici di g(x) = x3 , h(x) = x + 1, verifichiamo che l’intervallo [–2; 0] contiene una sola radice c. Con i teoremi o il metodo grafico, verifichiamo che l’intervallo [m1; b1] contiene la radice c. Con i teoremi o il metodo grafico, verfichiamo che l’intervallo [a2; m2] contiene la radice c. Con i teoremi o il metodo grafico, verifichiamo che l’intervallo [a0; m0] contiene la radice c. c = –1,25 (o –1,5), Dx = 0,25 .

4. IL METODO DELLE SECANTI LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI 4. IL METODO DELLE SECANTI Consideriamo: f(x) = 0 , e supponiamo che ammetta una sola radice c nell’intervallo [a0; b0]. x1, x2, x3, … converge a c . Se la concavità ha lo stesso verso in tutto l’arco AB, esistono formule di ricorrenza. Determiniamo x1 e B1. Tracciamo AB . Tracciamo AB1 . Determiniamo x2 e B2. Tracciamo AB2 . Determiniamo x3 ... Se (come nella figura), x0 = b0 , . Se , x0 = a0 , .

4. IL METODO DELLE SECANTI LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI 4. IL METODO DELLE SECANTI Se f ''(x) cambia segno in [a0; b0] , la successione x1, x2, x3, … non è monotòna. Confronto Rispetto al metodo di bisezione, il metodo delle secanti converge alla soluzione più rapidamente; cioè raggiunge una data precisione in un numero di iterazioni inferiore. Le formule di ricorrenza non valgono, ma x1, x2, x3, … converge ancora a c. Il metodo delle secanti fornisce ancora la soluzione approssimata.

5. IL METODO DELLE TANGENTI O DI NEWTON-RAPHSON LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI 5. IL METODO DELLE TANGENTI O DI NEWTON-RAPHSON Consideriamo: f(x) = 0 , supponiamo che ammetta una sola radice c nell’intervallo [a0; b0] x1, x2, x3, … converge a c . Formula di ricorrenza . e che in [a0; b0] f ''(x) sia continua e non cambi segno. Tangente in B. Ricaviamo x1 e B1. Tangente in B1. Ricaviamo x2 e B2. Confronto Rispetto al metodo delle secanti, il metodo delle tangenti richiede un minor numero di iterazioni, Tangente in B2. Ricaviamo x3 ... ma ogni iterazione richiede il calcolo di due funzioni ( f ed f ' ). Il metodo delle tangenti conviene quando f ' (xn) è facile da calcolare.

6. IL METODO ITERATIVO O DEL PUNTO UNITO LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI 6. IL METODO ITERATIVO O DEL PUNTO UNITO Consideriamo: f(x) = 0 . Sotto certe condizioni, x1, x2, x3, … converge ad a . , con g(x) = f(x) + x . Equivale a trovare le soluzioni di: Formula di ricorrenza xn+1 = g(xn) . Può essere verificata direttamente sul grafico. Sia a la soluzione ricercata. Scegliamo un valore iniziale x0 vicino ad a e alterniamo spostamenti verticali e orizzontali da una curva all’altra. Punto unito Si definisce punto unito di h(x), il valore xu del dominio di h tale che h(xu) = xu . La soluzione a del problema proposto è punto unito di g. Il metodo iterativo è una tecnica per trovare il punto unito di g.

6. IL METODO ITERATIVO O DEL PUNTO UNITO LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI 6. IL METODO ITERATIVO O DEL PUNTO UNITO Casistica x1, x2, x3, … non converge. x1, x2, x3, … non è monotona. TEOREMA Condizione sufficiente di convergenza Data un’equazione della forma x = g(x), se è possibile determinare un intervallo [a; b] in cui g è derivabile, ed esiste un numero m, con 0 < m < 1, tale che , allora : a) la successione x1 = g(x0), x2 = g(x1), ..., xn = g(xn-1), ... converge qualunque sia il punto iniziale ; b) il limite è l’unica soluzione dell’equazione data, nell’intervallo [a; b].

MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA

1. I PUNTI DI MASSIMO O DI MINIMO RELATIVO MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA 1. I PUNTI DI MASSIMO O DI MINIMO RELATIVO DEFINIZIONE Punto stazionario Dati una funzione derivabile y = f (x) e un suo punto x = c, se f ' (c) = 0, allora x = c si dice punto stazionario. TEOREMA Data una funzione y = f (x), definita in un intervallo [a; b] e derivabile in ]a; b[ , se f (x) ha un massimo o un minimo relativo nel punto x0, interno ad [a; b], la derivata della funzione in quel punto si annulla, cioè: f ' (x0) = 0.

1. I PUNTI DI MASSIMO O DI MINIMO RELATIVO MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA 1. I PUNTI DI MASSIMO O DI MINIMO RELATIVO Massimi e minimi hanno derivata nulla. Massimi e minimi interni ad [a; b] hanno derivata nulla. Viceversa, la derivata nulla non assicura la presenza di massimi o minimi. Viceversa, massimi e minimi negli estremi a e b possono avere derivata non nulla. f ' (0) = 0, ma in x = 0 non ci sono massimi né minimi.

1. I PUNTI DI MASSIMO O DI MINIMO RELATIVO MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA 1. I PUNTI DI MASSIMO O DI MINIMO RELATIVO Controesempi Massimi e minimi hanno derivata nulla, se f è derivabile in ]a; b[. Viceversa, se f non è derivabile ovunque, massimi e minimi possono avere derivata non nulla.

2. LA RICERCA DEI MASSIMI E MINIMI RELATIVI CON LA DERIVATA PRIMA MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA 2. LA RICERCA DEI MASSIMI E MINIMI RELATIVI CON LA DERIVATA PRIMA TEOREMA La funzione y = f (x) sia definita e continua in un intorno completo Ix0 del punto x0 e derivabile nello stesso intorno per ogni . Se per ogni x dell’intorno si ha: f ' (x) > 0 quando x < x0, Se per ogni x dell’intorno si ha: f ' (x) < 0 quando x < x0, Se il segno della derivata prima è lo stesso per ogni dell’intorno, f ' (x) < 0 quando x > x0, f ' (x) > 0 quando x > x0, allora x0 non è un punto estremante. allora x0 è un punto di massimo relativo. allora x0 è un punto di minimo relativo.

2. LA RICERCA DEI MASSIMI E MINIMI RELATIVI CON LA DERIVATA PRIMA MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA 2. LA RICERCA DEI MASSIMI E MINIMI RELATIVI CON LA DERIVATA PRIMA ESEMPIO Determiniamo massimi e minimi della funzione y = f(x) = x3 – 3x . f è continua in R. La derivata è f ' (x) = 3x2 – 3 . Studiamone il segno: 3x2 – 3 > 0 x2 – 1 > 0 x < –1 v x > 1 .

2. LA RICERCA DEI MASSIMI E MINIMI RELATIVI CON LA DERIVATA PRIMA MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA 2. LA RICERCA DEI MASSIMI E MINIMI RELATIVI CON LA DERIVATA PRIMA ESEMPIO Studiamo la funzione y = |x2 –1| , cioè . f è continua in R. La derivata è e non è definita per x = –1 , x = 1 . Segno di y' :

2. LA RICERCA DEI MASSIMI E MINIMI RELATIVI CON LA DERIVATA PRIMA MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA 2. LA RICERCA DEI MASSIMI E MINIMI RELATIVI CON LA DERIVATA PRIMA ESEMPIO Studiamo la funzione . f è continua in R. La derivata è se , e non è definita per x = 0. Segno di y' : y' < 0 se x < 0, y' > 0 se x > 0.

2. LA RICERCA DEI MASSIMI E MINIMI RELATIVI CON LA DERIVATA PRIMA MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA 2. LA RICERCA DEI MASSIMI E MINIMI RELATIVI CON LA DERIVATA PRIMA ESEMPIO ESEMPIO ESEMPIO y' < 0 se x < 0, y' > 0 se x > 0. y' > 0 se x < 1, y' > 0 se x > 1. y' > 0 se x < 0, y' < 0 se x > 0. Ma f ha un massimo in x = 1. Ma 1 è un punto di minimo. Ma 0 non è un punto estremante.

3. I PUNTI STAZIONARI DI FLESSO ORIZZONTALE MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA 3. I PUNTI STAZIONARI DI FLESSO ORIZZONTALE TEOREMA Data la funzione y = f (x) definita e continua in un intorno completo Ix0 del punto x0 e derivabile nello stesso intorno, x0 è un punto di flesso orizzontale se sono soddisfatte le seguenti condizioni: • f ' (x0) = 0; • il segno della derivata prima è lo stesso per ogni dell’intorno Ix0 . Casi possibili Funzione crescente in Funzione decrescente in

4. RIEPILOGO Massimo relativo Mimimo relativo Flesso orizzontale MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA 4. RIEPILOGO Massimo relativo Mimimo relativo Flesso orizzontale discendente Flesso orizzontale ascendente

MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA 5. ESERCIZI

L’INTEGRALE INDEFINITO

1. LE PRIMITIVE Primitiva di una funzione L'INTEGRALE INDEFINITO 1. LE PRIMITIVE DEFINIZIONE Primitiva di una funzione Una funzione F(x) si dice primitiva della funzione f(x) definita nell’intervallo [a;b] se F(x) è derivabile in tutto [a;b] e la sua derivata è f(x). Ogni funzione del tipo y = x2 + c ha per derivata 2x quindi è una primitiva di y = 2x.

L'INTEGRALE INDEFINITO LE PRIMITIVE Se F (x) è una primitiva di f (x), allora le funzioni F (x) + c , con c numero reale qualsiasi, sono tutte e sole le primitive di f (x). Ovvero: se F(x) è una primitiva di f (x), allora anche F(x) + c lo è; se F(x) e G(x) sono entrambe primitive di F(x), allora G(x) - F(x) = c . I grafici di queste funzioni sono traslati di un vettore del tipo (0; c). Tutte le funzioni hanno la stessa derivata perché nei punti con la stessa ascissa hanno tangente parallela.

2. L’INTEGRALE INDEFINITO DEFINIZIONE Integrale indefinito Si chiama integrale indefinito della funzione f(x), e si indica con , l’insieme di tutte le primitive F(x) + c di f(x), con c numero reale qualunque. ESEMPIO L’integrale indefinito di cos x è l’insieme delle primitive di cos x, cioè sen x + c.

2. L’INTEGRALE INDEFINITO ESEMPIO derivazione sen x + c sen x + c cos x x2 + c x2 + c 2x ex + c ex + c ex L’integrazione di una funzione agisce come operazione inversa della derivazione. integrazione

2. L’INTEGRALE INDEFINITO TEOREMA Condizione sufficiente di integrabilità Se una funzione è continua in [a; b], allora ammette primitive nello stesso intervallo.

3. LE PROPRIETÀ DELL’INTEGRALE INDEFINITO Prima proprietà di linearità L’integrale indefinito di una somma di funzioni integrabili è uguale alla somma degli integrali indefiniti delle singole funzioni: ESEMPIO

3. LE PROPRIETÀ DELL’INTEGRALE INDEFINITO Seconda proprietà di linearità L’integrale del prodotto di una costante per una funzione integrabile è uguale al prodotto della costante per l’integrale della funzione: ESEMPIO