Storia degli Algoritmi Numerici

Storia degli Algoritmi Numerici
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI NAPOLI “Parthenope” Eseguito da: Nicola De Pasquale Matr. TEC/R003 Relatore: prof. Francesca Perla Anno Accademico 2004/05

Esiste una procedura per trovare tutti i numeri primi?
Al momento non si è trovato alcuna procedura Si sa solo che i numeri primi sono infiniti, siccome MCD(n; n+1)=1

Numeri primi Ogni numero N>1 o è primo, oppure è prodotto di fattori primi distinti, ciascuno preso col suo esponente; La scomposizione in fattori primi è unica, a meno dell’ordine dei fattori.

Come trovare il Massimo Comune Divisore tra due numeri
MCD=? Mediante l’Algoritmo di Euclide, Eseguendo divisioni successive (tra numeri interi) del tipo: a=bq+r, ponendo (per comodità) a>b>0.

Algoritmo di Euclide a=bq+r Chiamando a=r-1, b=r0, r=r1 e q=q1, si ha:
Al primo passo: r-1=r0q1+r1; Al secondo passo: r0=r1q2+r2; Al terzo passo: r1=r2q3+r3; Al penultimo passo: rn-2=rn-1qn+rn; All’ultimo passo: rn-1=rnqn+1, Perché rn+1=0, allora MCD(a;b)=rn.

Algoritmo di Euclide Riepilogando:
MCD(a;b) è l’ultimo resto non nullo della divisione iterativa tra i numeri a e b. In generale, si ha: ri-1=riqi+1+ri+1; Per i=0,…,n e con rn+1=0.

Algoritmo di Euclide Esempio: Trovare MCD(30030; 1224);
Mediante l’Algoritmo di Euclide si opera al seguente modo: 30030= ; 1224= ; 654= ; 570= ; 84= ; 66= ; 18=12.1+6; 12=6.2+0, o meglio 12=6.2. L’ultimo resto non nullo è 6, quindi 6=MCD(30030; 1224).

Crivello di Eratostene
Dato un numero N, per verificare che esso sia primo, basta che nessuno dei numeri primi minori o uguali della parte intera della sua radice quadrata divida N In simboli: N primo   p primo N : p/N

Eratostene è stato molto geniale, perché mediante il suo algoritmo non è necessario ricercare tra tutti i numeri N se il numero N sia primo, ma solo in una parte più piccola, selezionando così la ricerca dei fattori che potrebbero scomporre il numero o i numeri da noi cercati.

Esempio: Cercare tra i numeri 2 N100 quali sono primi:

Dapprima si segnano i numeri divisibili per 2 (escluso il numero 2 stesso):

Successivamente si segnano i numeri divisibili per 3 (escluso il numero 3 stesso) che non abbiamo già tolto:

Dopodiché si segnano i numeri divisibili per 5 (escluso il numero 5 stesso) che non abbiamo già tolto:

Al passo successivo si segnano i numeri divisibili per 7 (escluso il numero 7 stesso) che non abbiamo già tolto:

Ora potremmo fare la stessa operazione, per il numero 11, ma non ha senso perché 100=10, e quindi 11>10=100, perché tutti i fattori multipli di 11 che avremmo dovuto eliminare (22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99) sono già stati eliminati ai passi precedenti; La stessa cosa vale per i numeri 13, 17, ecc.

Depennando i numeri multipli di 2, 3, 5 e 7 (esclusi i numeri 2, 3, 5 e 7), si ottengono tutti i numeri primi 100 Essi sono, quindi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97.

Esempio: Provare se il numero 127 è primo: 127=11,269427…, e quindi 127=11 Occorre, perciò, cercare solo tra i numeri primi 11, che sono: 2, 3, 5, 7 e 11; Dividere 127 per ciascuno di tali numeri; Se 127 non è multiplo di alcuno di questi numeri, allora 127 è primo.

127=63.2+1, quindi 127 non è divisibile per 2; 127=42.3+1, quindi 127 non è divisibile per 3; 127=25.5+2, quindi 127 non è divisibile per 5; 127=18.7+1, quindi 127 non è divisibile per 7; 127= , quindi 127 non è divisibile per 11. 127 è quindi un numero primo non essendo multiplo di alcuno di questi numeri primi.

In teoria il Crivello di Eratostene ci permette di conoscere tutti i numeri primi, perché operando di quadrato in quadrato si trovano i numeri primi in quell’intervallo: Nel primo intervallo: 1<N2, si ha che 2 è numero primo; Nel secondo intervallo: 2<N4, si ha che 3 è numero primo;

Nel terzo intervallo: 4<N16, si ha che 5, 7, 11 e 13 sono numeri primi; Nel quarto intervallo: 16<N256, si ha che 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241 e 251 sono numeri primi;

Nel quinto intervallo ne troveremmo altri, così come nel sesto, e così via. Tuttavia ad un certo punto ci dobbiamo fermare da un lato perché i numeri primi sono infiniti, dall’altro perché i calcoli con un numero elevato di cifre sono difficili, se non umanamente impossibili e, talvolta, noiosi.

Distribuzione dei numeri primi
Prima dell’avvento dei Computer le tavole dei numeri primi impiegavano parecchie pagine, oggi sono immagazzinate in forma compatta. Si codificano i numeri dispari al seguente modo: 0 se il numero è composto, 1 se il numero è primo.

Esempio: Scrivo nella riga di sopra la tavola dei numeri dispari da 1 a 50 e nella riga di sotto sotto indico a seconda dei casi la cifra 0 oppure 1:

A questo punto ottengo le sequenze: 01110, 11011, 01001, e 11010 Per semplicità di rappresentazione posso eliminare da ciascuna delle sequenze ottenute il termine centrale (quello multiplo di 5) Ottengo così le sequenze: 0110, 1111, 0101, 1010 e 1110.

Ciascuno dei numeri 0110, 1111, 0101, 1010 e 1110, può assumere un unico carattere in base 16, ossia 6, F, 5, A, E. In questo modo sono descritti in forma compatta i numeri primi.

Criteri di divisibilità
Come si fa a sapere se un numero è divisibile per un altro, senza effettuare la divisione?

I criteri di divisibilità (in base 10) per alcuni numeri particolari sono facilmente esprimibili, o vedendone l’ultima cifra, o sommando le cifre del numero o contando alternativamente le cifre del numero, ne espongo alcuni semplici criteri. Criterio di divisibilità per 2: un numero è divisibile per due, se è pari; ossia se l’ultima cifra è pari; ovvero se l’ultima cifra è 0, 2, 4, 6, 8. Criterio di divisibilità per 3: un numero è divisibile per tre, se la somma delle sue cifre è ancora divisibile per tre. Criterio di divisibilità per 5: un numero è divisibile per cinque, se l’ultima sua cifra è 0 o 5. Criterio di divisibilità per 9: un numero è divisibile per nove, se la somma delle cifre è ancora multiplo di nove. Criterio di divisibilità per 10: un numero è divisibile per dieci, se l’ultima cifra è 0. Criterio di divisibilità per 11: un numero è divisibile per undici, se la somma delle cifre pari (a partire da destra) coincide con la somma delle cifre dispari, e se ciò non si verifica, se la differenza tra le cifre pari del numero e le cifre dispari è multiplo di undici.

Criteri di divisibilità (ricavabili dai criteri precedenti) Criterio di divisibilità per 4: un numero è divisibile per quattro, se le ultime due cifre (del numero) sono divisibili per quattro, ossia se la penultima cifra è pari l’ultima cifra deve essere 0, 4 o 8, mentre se la penultima cifra è dispari l’ultima cifra deve essere 2 o 6. Criterio di divisibilità per 6: un numero è divisibile per sei, se l’ultima sua cifra è pari e la somma delle sue cifre è multiplo di tre. Criterio di divisibilità per 8: un numero è divisibile per otto, se le ultime tre cifre (del numero) sono divisibili per otto. Criterio di divisibilità per 12: un numero è divisibile per dodici, se le ultime due sue cifre sono multiple di quattro e la somma delle cifre del numero è multiplo di tre. Criterio di divisibilità per 25: un numero è divisibile per venticinque se le ultime due sue cifre sono 00, 25, 50 o 75.

Per le potenze di 2, 5 e 10 si hanno dei criteri di divisibilità che valgono in generale: Criterio di divisibilità per 2k (ossia di una potenza di 2): un numero è divisibile per 2k, se le ultime k cifre sono multiple di 2k. Criterio di divisibilità per 5h (ossia di una potenza di 5): un numero è divisibile per 5h, se le ultime h cifre sono multiple di 5h. Criterio di divisibilità per 10n (ossia di una potenza di 10): un numero è divisibile per 10n, se le ultime n cifre sono tutte 0.

Talmud affermò che: Un numero della forma 100a+b è divisibile per 7  un numero della forma 2a+b è divisibile per 7. Esempio: 112= ; 14=2.1+12; 14 è divisibile per 7, quindi anche 112 lo è.

Secondo la matematica indiana: Un numero è divisibile per 9, se la somma delle sue cifre è anch’essa divisibile per 9. Questo criterio di divisibilità è oggi detto “prova del 9”

Fibonacci (1202): Criteri di divisibilità per 7 e per 11. Talkis di Ibn al Banna (circa 1250): Criteri di divisibilità per 7 e per 9. Nel XV secolo sono trovati criteri di divisibilità per 7 e per 9 per la verifica di operazioni aritmetiche.

Pierre Forcadel di Béziers (1556) affermò che: Scrivo il numero ed opero da sinistra verso destra. Moltiplico la prima cifra per 3 e sottraggo ad esso il più grande multiplo di 7 ( del prodotto ottenuto). Allora aggiungo al risultato la successiva cifra. Moltiplico di nuovo per 3, e così via. Se l’ultimo numero ottenuto è multiplo di 7, anche il numero preso in considerazione lo è.

Esempio: Proviamo per il numero 5845: 5.3=15, =1, 1+8=9, (a questo punto otteniamo il numero 945); 9.3=27, =6, 6+4=10, (a questo punto otteniamo il numero 105); 10.3= =2, 2+5=7. 7 è multiplo di 7, e quindi anche 5845 lo è.

Blaise Pascal (1654) raccoglie tutti i Criteri di divisibilità, definendo una regola che vale in generale (ne parlerò in seguito nello specifico); Per sapere se un numero sia divisibile per p, abbiamo bisogno di conoscere il resto della divisioni delle varie potenze di 10 con p.

Fontanelle (1728) affermò che: Moltiplicando la prima cifra per 3, si aggiunge, poi, ad essa la seconda cifra; Si sostituisce alle prime due cifre del numero la loro somma; Continuando in questo modo, se l’ultimo numero ricercato è 7, allora il numero è divisibile per 7.

Esempio: Provo per il numero 16807, la sequenza dei numeri ottenuta dai calcoli è: 16807, 9807, 3507, 1407, 707, 217, 77, 28, 14, 7. Essendo l’ultimo numero trovato 7, anche il numero cercato: è divisibile per 7.

Tucker (1889) affermò che: Separando il numero in due parti, nelle quali: Nella prima parte c’è tutto il numero, salvo l’ultima cifra; Nella seconda parte c’è l’ultima cifra del numero. Sottraggo alla prima parte del numero l’ultima cifra moltiplicata per 2. Si prosegue nel calcolo, finché non restino solo le ultime due cifre non siano multiple di 7. Se le ultime due cifre (ottenute nell’ultimo passaggio) sono multiple di 7, anche il numero lo è.

Esempio: Partendo dal numero 2401, si ha: =238; 23-2.8=7. 7 è divisibile per 7, e quindi anche 2401 lo è.

Blaise Pascal Criteri di divisibilità (in generale): Partendo dal criterio di divisibilità per 9, indica un criterio valido anche per gli altri numeri; Dandone anche una dimostrazione.

Dapprima sostituisce i numeri con le lettere e moltiplica la cifra numerica per la sua posizione, ossia per il resti di una potenza di 10 in quella base. Dopo aver operato questi prodotti basta sommare le sue cifre e si può verificare in tal modo la divisibilità.

Metodo di Pascal: Si scrive sulla stessa linea e in ordine decrescente la sequenza dei numeri naturali, in questo modo: K I H G F E D C B 1.

Dapprima scrivo la prima cifra e lo chiamo 1; Moltiplico questo numero (il numero 1) per 10 e sottraggo il massimo intero multiplo di A (la base della quale vorremmo conoscere la divisibilità) che lo contiene, scrivo il resto, lo chiamo B e lo metto sotto il numero 2; Moltiplico questo primo risultato (il numero B) per 10 e sottraggo il massimo intero multiplo di A che lo contiene, scrivo il resto, lo chiamo C e lo metto sotto il numero 3;

Moltiplico questo primo risultato (il numero C) per 10 e sottraggo il massimo intero multiplo di A che lo contiene, scrivo il resto, lo chiamo D e lo metto sotto il numero 4; E così via.

Esempio Scrivendo il numero TVNM, si opera così: M.1 N.B V.C T.D TVNM è divisibile per AM+NB+VC+TD è divisibile per A

Criterio di divisibilità per 7: Scrivo nella prima riga i primi 10 numeri in ordine decrescente e nella seconda riga i resti delle di 10 in base 7,

Per maggior chiarezza si ha: Ad 1=100 corrisponde 1; A 10 corrisponde 3, perché 10=1.7+3; A 102 corrisponde 2, perché 100=14.7+2, o anche 30=4.7+2; Al numero 103 corrisponde 6, perché 20=2.7+6; Al numero 104 corrisponde 4, perché 60=8.7+4; Al numero 105 corrisponde 3, perché 40=5.7+5; Al numero 106 corrisponde 1, perché 50=7.7+1; E così via, ritornando ai resti

Esempio: Verifichiamo se il numero S= è divisibile per 7. Scrivo le varie moltiplicazioni: 8.1=8; 7.3=21; 1.2=2; 2.6=12; 4.4=16; 5.5=25; 7.1=7; 8.3=14; 2.2=4. In seguito effettuo la somma: =119; Essendo 119 multiplo di 7, lo è anche il numero S.

Esempio: Verifichiamo se il numero Y= è divisibile per 37: Scrivo le varie moltiplicazioni: 6.1=6; =90; =234; 1.1=1; =50; =26. In seguito effettuo la somma: =407.

Il numero 407 è multiplo di 37, essendo 407=11.37. Quindi anche il numero Y è multiplo di 37.

Un numero è divisibile per: 2, se l’ultima cifra è 0, 2, 4, 6 o 8; 3 (oppure 9), se la somma delle cifre è un multiplo di 3 (oppure 9); 5, se l’ultima cifra è 0 o 5; 11, se la somma delle cifre pari meno la somma delle cifre dispari del numero è multiplo di 11

I resti delle potenze di 10 in base (scrivo in parentesi gli elementi periodici): 2 sono 1 (0); 3 sono (1); 4 sono 1 2 (0); 5 sono 1 (0); 6 sono 1 (4); 7 sono ( ); 8 sono (0); 9 sono (1); 10 sono 1 (0);

I resti delle potenze di 10 in base 11 sono (1 10); 12 sono 1 10 (4); 13 sono ( ); 14 sono 1 ( ); 15 sono 1 (10); 16 sono (0); 17 sono ( ); 18 sono 1 (10); 19 sono ( ); 20 sono 1 10 (0);

I resti delle potenze di 10 in base 21 sono ( ); 22 sono 1 (10 12); 23 sono ( ); 24 sono (16); 25 sono 1 10 (0); E così via.

Posso anche considerare le cifre corrispondenti agli inversi dei numeri, Al fine di confrontare e collegare la periodicità dei resti, la periodicità degli inversi e i criteri di divisibilità; (scrivo in parentesi gli elementi periodici).

Gli inversi dei numeri sono: 1/2=0,5; 1/3=0,(3); 1/4=0,25; 1/5=0,2; 1/6=0,1(6); 1/7=0,(142857); 1/8=0,125; 1/9=0,(1); 1/10=0,1; 1/11=0,(09);

1/12=0,08(3); 1/13=0,(076923); 1/14=0,0(714285); 1/15=0,0(6); 1/16=0,0625; 1/17=0,( ); 1/18=0,0(5); 1/19=0,( ); 1/20=0,05; 1/21=0,(047619); 1/22=0,0(45);

1/23=0,( ); 1/24=0,041(6); 1/25=0,04; 1/26=0,0(384615); 1/27=0,(037); 1/28=0,03(571428); 1/29=0,( ); 1/30=0,0(3); E così via.

La teoria della congruenza
Una diretta conseguenza del metodo di Pascal è la teoria della congruenza: Sia A>1, esistono due interi a e b, con a>b0, sono congrui modulo A, quando la loro differenza a-b è un multiplo di A. E si scrive: ab(mod.A).

Confronto Come si può vedere, il numero degli elementi periodici (ed aperiodici) coincidono in entrambe le rappresentazioni, quindi le due rappresentazioni sono equivalenti per tutti i numeri, fissato una dato sistema di numerazione.

Se a=Aq+b è la divisione euclidea di a per A, allora si ha: ab(mod.A).

Proprietà usuali: 1) Se ab(mod.A) e bc(mod.A), allora ac(mod.A). 2) Se ab(mod.A) e cd(mod.A), allora a+cd+d(mod.A) acbd(mod.A).

Tabella del resto ri in 10i=Aq+ri, Scrivendo sulla prima riga i numeri e nella prima colonna i resti: r10 r9 r8 r7 r6 r5 r4 r3 r2 r1

Essendo 10iri(mod.A), si ottengono i resti per ricorrenza, Moltiplicando ambo i membri per 10, si ha: 10i+110ri(mod.A), Ossia ri+110ri(mod.A), N=an10n+ an-110n-1+…+ a110+ a0+ anrn+ an-1ri-1+…+ a1r1+ a0(mod.A).

Piccolo teorema di Fermat: Se p è un numero primo ed a è un intero che non divide p, allora è vera l’equazione: ap-11(mod.p).

La funzione φ(x) è tale che: Se x è un numero primo p, allora φ(p) = p-1 Se x è potenza di numeri primi, ossia del tipo pn, con n>1 e intero, allora φ(x) = (p-1) . pn-1 Se x è prodotto di due numeri primi distinti, ossia del tipo p . q, allora φ(x) = (p-1) . (q-1)

La funzione φ(x) è tale che, in generale: Se x = p1n1.p2n2.….pknk , Allora φ(x) = φ(p1n1.p2n2.….pknk ) = φ(p1n1). φ(p2n2).….φ(pknk ) = (p1-1).pn1-1.(p2-1).pn2-1 .….(pk-1).pnk-1 O anche φ(x)= φ(p1n1.p2n2.….pknk ) = (p1-1).(p2-1).….(pk-1) . (p1n1.p2n2.….pknk ) / (p1.p2.….pk ), Che si può esprimere così: φ(x ) = Π (pini ) = (pi-1 ) . φ(pini ) / (pi), con i=1,…,k.

Equazione di Eulero (generalizzazione del Piccolo teorema di Fermat): Se x è un numero intero>1 ed a è un altro intero tale che MCD(x;a)=1, allora è vera l’equazione: aφ(x)1(mod.x). Ovviamente per x=p siamo nelle ipotesi del piccolo teorema di Fermat.

Residui quadratici Eulero (1754-55) definisce i residui quadratici.
Calcolare se un numero x è o meno un residuo quadratico modulo p è come risolvere l’equazione a2  x (mod. p). Ad esempio: 1, 2 e 4 sono residui quadratici modulo 7, mentre 3, 5 e 6 sono non-residui quadratici modulo 7. 1 e 4 sono residui quadratici modulo 5, mentre 2 e 3 sono non-residui quadratici modulo 5.

Residui quadratici Eulero (1783), ma senza dimostrazione e Legendre (1785), ma con una dimostrazione incompleta definiscono la legge di reciprocità quadratica. Gauss (1810) dimostra la legge di reciprocità quadratica, definendola il gioiello dell’aritmetica.

Residui quadratici Se p non divide a, allora a(p-1)/21(mod.p).
a è residuo quadraticoa(p-1)/21(mod.p); a è non residuo quadratico a(p-1)/2p-1(mod.p).

Simbolo di Legendre Legendre impone a/p per il resto della divisione di a(p-1)/2 per p. Si ha che(a/p)=1 se a è un residuo quadratico modulo p; Mentre (a/p)=p-1 altrimenti.

Legge di reciprocità quadratica
Siano p e q due numeri dispari, Se p e q sono entrambi della forma 4n+3, si ha (p/q)=-(q/p); Se p e q non sono entrambi della forma 4n+3, si ha (p/q)=(q/p). In generale si ha: (p/q)(q/p)=(-1)(p-1)(q-1)/4.

I tre casi del simbolo di Legendre
Se a è più grande di c, allora al posto di a, si scrive il resto della divisione di a con c; Se il numero a, così ridotto, l’espressione (a/c) cambierà (a seconda del resto di a e c mod.4) in (c/a) o in –(c/a), si può ridurre (c/a) con (c’/a), dove c’ è il resto della divisione di c con a; Se a non è primo, si può decomporre a nei suoi singoli fattori primi: a=αβγ…, allora (a/c)=(α/c)(β/c)(γ/c)…, in generale (α2/c)=(α/c)(α/c).

Test di primalità Sono vari i test per provare se un numero sia primo o meno. I test sono basati su risultati elementari della teoria della congruenza e della teoria dei residui quadratici. Ne descrivo 3 di essi, data la loro importanza storica. I primi due test richiedono la fattorizzazione di N+1 o di N-1.

Test di primalità I test sulla primalità sono stati usati per scomporre i numeri del tipo 2n±1, 10n1, e in generale an±1. In particolare i numeri di Fermat del tipo 2n+1, con n=2k (col test di Pépin) e i numeri di Mersenne del tipo 2n-1, con n=p (primo). Il “più grande numero primo conosciuto”, aggiornando la ricerca al 1998, è un numero di Mersenne, ossia , il quale possiede cifre.

L’inverso del Teorema di Fermat
Richiamo del piccolo teorema di Fermat: Se a e p sono interi primi tra loro, allora quando p è primo ap-11(mod.p). Ai cinesi era noto (500 a.C.) che se a=2, allora 2p-2 era divisibile col primo p.

Fattorizzazione di an-1
Ogni numero primo è sempre un fattore del precedente di una delle potenze di qualche progressione, se l’esponente di questa potenza è un divisore del precedente del numero primo.

Fattorizzazione di an-1
Esempi - Sia data la seguente progressione: ecc., Con il suo esponente scritto sopra. Prendo in considerazione il numero 13. 13 è un fattore di 26 = 33-1, 3 è uno dei fattori di 12, dove 12 = 13-1. Siccome 6 (l’esponente di 729) è multiplo di 3, Si ha che 13 è anche fattore di 728 = 36-1. Questa proprietà è vera in generale per tutte le progressioni e per tutti i numeri primi.

Numeri di Mersenne/Fermat
Si può rappresentare (genericamente) un numero in forma polinomiale, ossia: an-1. Se n=1, allora an-1=a-1; Se n=p (primo), allora an-1, ossia ap-1, e si può scomporre in: ap-1=(a-1).(ap-1+ap-2+…+a+1); Se n=b.c (con b e c interi), allora an-1=abc-1 = (ab-1).(ac-1+ac-2+…+a+1), o anche in: an-1=abc-1 = (ac-1).(ab-1+ab-2+…+a+1);

Numeri di Mersenne/Fermat
In particolare se n è un numero pari, ossia n=2k, allora: an-1=a2k-1=(a2k/2-1).(a2k/2+1)=(ak-1).(ak+1). In particolare, se a=2 ed n potenza di 2, si può ottenere dalla scomposizione di un numero del tipo di Mersenne, un numero del tipo di Fermat. Un numero del tipo ak+1 è sempre un caso particolare di un numero del tipo an-1.

Scomposizioni polinomiali
Dato un numero intero a>1, allora: an-1 = (a-1).(an-1+an-2+…+ a2+a+1), se n è un intero positivo qualsiasi. an-1 = ap-1 = (a-1).(ap-1+ap-2+…+ a2+a+1), con p numero primo, in tal caso il secondo fattore non è ulteriormente scomponibile in Z[x]. an+1 = (a+1).(an-1-an-2+…+ a2-a+1), se n è un intero positivo dispari. an+1 = ap+1 = (a+1).(ap-1-ap-2+…+ a2-a+1), con p numero primo dispari, in tal caso il secondo fattore non è ulteriormente scomponibile in Z[x]. an-1 = (an/2-1).(an/2+1), se n è un numero intero positivo pari. an-1 = (abc-1) = (ab-1).(ac-1+ac-2+…+ a2+a+1), se n=bc. an+1 = (abc+1) = (ab+1).(ac-1-ac-2+…+ a2-a+1), se n è dispari ed n=bc.

a1-1=a-1; a2-1=(a-1).(a+1); a3-1=(a-1).(a2+a+1); a4-1=(a-1).(a+1).(a2+1); a5-1=(a-1).(a4+a3+a2+a+1); a6-1=(a-1).(a+1).(a2-a+1).(a2+a+1); a7-1=(a-1).(a6+a5+a4+a3+a2+a+1); a8-1=(a-1).(a+1).(a2+1).(a4+1); a9-1=(a-1).(a2+a+1).(a6+a3+1); a10-1=(a-1).(a+1).(a4-a3+a2-a+1).(a4+a3+a2+a+1);

a11-1=(a-1).(a10+a9+a8+a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1); a12-1=(a-1).(a+1).(a2+1).(a2-a+1).(a2+a+1).(a4+a2+1); a13-1=(a-1).(a12+a11+a10+a9+a8+a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1); a14-1=(a-1).(a+1).(a6-a5+a4-a3+a2-a+1).(a6+a5+a4+a3+a2+a+1); a15-1=(a-1).(a2+a+1).(a4+a3+a2+a+1).(a8-a7+a5-a4+a3-a+1); a16-1=(a-1).(a+1).(a2+1).(a4+1).(a8+1); a17-1=(a-1).(a16+a15+a14+a13+a12+a11+a10+a9+a8+a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+ +1); a18-1=(a-1).(a+1).(a2-a+1).(a2+a+1).(a6-a3+1).(a6+a3+1); a19-1=(a-1).(a18+a17+a16+a15+a14+a13+a12+a11+a10+a9+a8+ +a7+a6 +a5+ +a4+a3+a2+a+1); a20-1=(a-1).(a+1).(a2+1).(a4-a3+a2-a+1).(a4+a3+a2+a+1) ).(a8+a7+a6+ a5+ +a4+a3+a2+a+1);

a21-1=(a-1).(a2+a+1).(a6+a5+a4+a3+a2+a+1).(a12-a11+a9-a8+a6-a4+a3-a+ +1); a22-1=(a-1).(a+1).(a10+a9+a8+a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1).(a10-a9+a8-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a+ +1); a23-1=(a-1).(a22+a21+a20+a19+a18+a17+a16+a15+a14+a13+a12+a11+a10+a9+ +a8+a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1); a24-1=(a-1).(a+1).(a2+1).(a2-a+1).(a2+a+1).(a4+1).(a4+a2+1).(a8+a4+1); a25-1=(a-1).(a4+a3+a2+a+1).(a20+a15+a10+a5+1); a26-1=(a-1).(a+1) .(a12-a11+a10-a9+a8-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a+1).(a12+a11+ +a10+a9+a8+a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1); a27-1=(a-1).(a2+a+1).(a6+a3+1).(a18+a9+1); a28-1=(a-1).(a+1).(a2+1).(a6-a5+a4-a3+a2-a+1).(a6+a5+a4+a3+a2+a+1). .(a12+a10+a8+a6+a4+ +a2+1); a29-1=(a-1).(a28+a27+a26+a25+a24+a23+a22+a21+a20+a19 a18+a17+a16+a15+a14+a13+a12+a11+ +a10+a9+a8+ +a7+a6 +a5+ +a4+a3+a2+a+1); E così via.

Come detto prima, se p è primo, allora: (ap-1)/(a-1) = (ap-1+ap-2+…+a2+a+1) Non è ulteriormente scomponibile in forma polinomiale, quindi: (an-1)/(a-1) è scomponibile in forma polinomiale solo se n non è primo, Quindi (an-1)/(a-1) può essere un numero primo, solo se n è primo, [ma non sempre risulta essere un numero primo].

Numeri di Mersenne Calcolo di (2n-1)/(2-1): Se n=1,
Si ha: (2-1)/(2-1) =1/1 = 1; Ma 1 è un numero invertibile. N.B.: d’ora in poi, essendo il denominatore pari ad 1, verrà omesso nel calcolo.

Si ha: (22-1)/(2-1) = 4-1 = 3; Ma 3 è un numero primo.

Si ha: (23-1)/(2-1) = 8-1 = 7: Ma 7 è un numero primo.

Si ha: (24-1)/(2-1) = 16-1 = 15: Ma 15 = 3 . 5, quindi è un numero composto. Perché (24-1) è multiplo di (22-1) = 3. N.B.: d’ora in poi, siccome è generale la situazione che 2bc-1 sia multiplo di 2b-1, l’ultima considerazione verrà omessa. Perché n numero composto => 2n-1 numero composto.

Si ha: (25-1)/(2-1) = 32-1 = 31: Ma 31 è numero primo.

Si ha: (26-1)/(2-1) = 64-1 = 63: Ma 63 = , quindi è un numero composto.

Si ha: (27-1)/(2-1) = 127: Ma 127 è un numero primo.

Si ha: (28-1)/(2-1) = 255: Ma 255 = , quindi è un numero composto.

Il numero suddetto, a quanto sembra, dovrebbe essere primo, perché 11, ossia n è primo, tuttavia occorre provarlo. 2n-1 primo => n primo, Ma non vale il viceversa, come si può vedere nella diapositiva successiva.

Numeri di Mersenne I numeri che possono dividere sono solo quelli del tipo k, con k numero intero positivo. I numeri di questo tipo sono i seguenti: 23, 45, 67, 89, …, 22k+1, …; Di essi solo 23 e 45 possono essere presi in considerazione, perché sono gli unici numeri [2047]=45. 23 è un numero primo e 2047 : 23 = 89, Quindi 23 è un numero primo che divide 2047. Perciò 2047 non è primo, perché 2047 =

Numeri di Mersenne In generale, alcuni numeri della forma:
O meglio, siccome 2-1=1, della forma: 2n-1 Sono descritti nella prossima diapositiva.

Scomposizione di 2n-1, al variare di n
3 7 4 3 . 5 5 31 6 32 . 7 127 8 9 7 . 73 10 11 12 13 8191 14 15 16 17 131071 18 19 524287 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125

126 127 128 … 156 193 204 256 257 512 521 E così via

2 23 3 2 . 13 4 24 . 5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

3 2 3 . 5 32 . 7 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

22 2 23 . 3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 24 25

5 2 5 . 7 3 5 . 43 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

2 . 3 2 24 . 3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

7 2 32 . 7 3 7 . 73 4 5 6 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

23 2 24 . 5 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 25

32 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Inverso del Teorema di Fermat
Il Teorema di Fermat ci permette di stabilire se un numero è composto. Il Teorema di Fermat non serve per stabilire se un numero è primo. Quindi, l’Inverso del Teorema di Fermat è falso, come mostro in un controesempio nella prossima diapositiva.

Esempio: Per a=2 e N=341, si ha 23401(mod.341), 341 non è primo, ma è il prodotto di 11 per 31. Dimostrazione: Siccome le successive potenze di 2 in base 11 sono: {2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6, 1}, si ha: 2101(mod.11), E, in particolare, essendo 340 multiplo di 10, si ha anche: 23401(mod.11), perché le successive potenze di 2 in base 31 sono: {2, 4, 8, 16, 1}, si ha: 251(mod.31), E, in particolare, essendo 340 multiplo di 5, si ha anche: 23401(mod.31); Quindi, si ha alla fine che: 23401(mod.[11.31]), o per meglio dire: 23401(mod.341).

Esempio: Per a=3 e N=341, allora 334056(mod.341). Dimostrazione: Le successive potenze di 3 in base 341 fino ad arrivare ad 1 sono: {3, 9, 27, 81, 243, 47, 141, 82, 246, 56, 168, 163, 148, 103, 309, 245, 53, 159, 136, 67, 201, 262, 104, 312, 254, 80, 240, 38, 114, 1}, Quindi il periodo di 3 in base 340 è 30, ma dividendo 340 con 30, si ha: 340= , e quindi: 3340=311x30+10=(330)11.310, Ma 3301(mod.341), e quindi anche (330)11111 =1(mod.341), inoltre, essendo e 31056(mod.341), anche 3340=(330 )11.31056(mod.341). Da ciò, 341 non è primo. Quando si verifica che un numero n è del tipo: 2n-11(mod.n), ed esiste un numero a, con a 2 per cui: an-1x(mod.n), x1; Si dice che il numero è pseudo-primo in base 2.

Pseudo-primi Si ha, quindi, che 341 è pseudo-primo alla base 2.
I numeri pseudo-primi sono rari, solo 1770 numeri più piccoli di sono pseudo-primi alle basi 2, 3, 5 e 7. L’Inverso del Teorema di Fermat serve per escludere dal test di primalità tutti quei numeri che non verificano la condizione dell’Inverso del Teorema di Fermat, poiché essi non possono essere in nessun caso primi.

Lucas (1876) Se ax-1: È divisibile per n, per x coincidente con n-1 Non è divisibile per n, per x uguale ad una parte aliquota di n-1, Allora, il numero n è primo.

Esempio: Sia a=3, n=65537=216+1; I divisori di n-1 sono: {1, 2, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216}. Se scrivo il resto delle divisioni tra le potenze di 3 con esponenti le successive potenze di 2, ottengo la sequenza, nella quale ciascun termine è il quadrato del precedente: {3, 9, 81, 6561, 54449, 61869, 19139, 15028, 282, 13987, 8224, 65529, 64, 4096, 65281, 65536, 1}. Dal fatto che 3 non ha il resto uguale a 1 prima dell’ultimo termine della sequenza ed ha resto pari ad uno nell’ultimo termine, si ha che n=65537=216+1 è un numero primo.

Test di Lucas Il Test di Lucas presenta l’inconveniente che richiede la fattorizzazione del numero n-1 ed una verifica per ciascuno dei fattori. La difficoltà è ridotta se il test è applicato ai numeri della forma n=pk+1, con p primo. Tuttavia, se il numero da considerare è grande, si richiedono noiosi calcoli.

Test di Lehmer Teorema 1. Se ax1(mod.N) per x=N-1, ma non per un divisore proprio di N-1, allora N è primo. Questo metodo richiede: La completa fattorizzazione di N-1; Il numero dei valori di x può essere esageratamente elevato; La condizione di primalità è sufficiente, ma non necessaria. Tali inconvenienti sono limitati, se N-1 è una potenza di 2.

Test di Lehmer Teorema 2. Se ax1(mod.N) per x=N-1, ma non per x, tale che x è quoziente di N-1 sulla divisione di alcuni suoi fattori primi, allora N è primo. Teorema 3. Se ax1(mod.N) per x=N-1 e se axr>1, per x=(N-1)/p, e se r-1 è primo con N, allora tutti i fattori primi di N sono della forma npα-1, dove α è la più alta potenza al quale i primi p occorrono come divisori di N-1.

Test di Lehmer Esempio: sia N=9999999900000001,
Questo numero è dato da (1024-1)/(108-1). Si ha, allora: N-1 = [(1024-1)/(108-1)]-1 = 108(1016-1)/(108+1) = 108(108-1) = I divisori di 28 e 58 (essendo 8 la potenza più elevata relativamente ai numeri primi) sono stati scelti come valori di pα e per testare l’operazione seguente: 7(N-1)/10 =r(mod.N), Allora r2=7(N-1)/5 (mod.N) E, finalmente, r5 =N-1(mod.N) e r101(mod.N), Essendo r2-1 primo con N, segue che ogni fattore di N è della forma: n28+1, ed anche della forma: n58+1, o meglio della forma: n108+1. Ma N1/2<108, così N è primo, così si ha la completa fattorizzazione del numero è: 1024+1=

Test di Lehmer John Selfridge (1975) semplifica il Teorema 2, il quale permette di cambiare il valore di a per qualche divisore di N-1. Egli stabilisce che se per qualche divisore primo p di N-1, esiste un a tale che: a(N-1)/p≡r(mod.N), con r>1, ma a(N-1)≡1(mod.N), allora N è primo.

Sequenza di Fibonacci Sequenza di Fibonacci (1282): 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, (i-1)+i, … . Simon Stevin (1634), osserva tale sequenza e la collega al problema circa il numero di conigli prodotti da una coppia di conigli. Robert Simson nota che tale sequenza e nota che è data da: (1+5)/2, radice dell’equazione quadratica X2-X-1=0. Tale successione ha suscitato interesse da parte di altri matematici a partire dal 1750. Lucas (1876) a partire dall’equazione X2-X-1=0, stabilisce le due sequenze definite da: Un=(an-bn)/(a-b) e Vn=an-bn=Un-1+Un+1.

Test di Lucas L’uso delle successioni:
Un=(an-bn)/(a-b) e Vn=an-bn=Un-1+Un+1, È utile per provare se un numero di Mersenne della forma 2m-1 sia primo, e Lucas stesso stabilì che fosse primo. Con questo metodo fu trovato nel 1988 il numero primo di Mersenne:

Test di Lucas La “sequenza di Lucas” generalizza la sequenza all’equazione quadratica al caso: x2-Px+Q=0, dove P e Q sono interi e coprimi, tramite le formule: U2n=UnVn, V2n=(Vn)2-2Qn, U2n+1=Un+1Vn-Qn e V2n+1=Vn+1Vn-PQn. Teorema (fondamentale) di Lucas. Se in una delle successioni ricorsive Un determina che Up-1 è divisibile per p, ad esclusione di ciascuno degli altri termini della serie, il cui rango è divisore di p-1 iniziando così, il numero p è primo; proseguendo allo stesso modo, se Up+1 è divisibile per p, ad esclusione di ciascuno degli altri termini della serie il cui rango è un divisore di p+1 iniziato così, allora il numero p è primo.

Test di Lucas Teorema 2. Sia p=24q+3-1 nel caso in cui 4q+3 è primo e 8q+7 è composto; noi produciamo la serie rn: 3, 7 , 47, 2207, … dal significato della relazione, per n>1, rn+1=rn2-2, Il numero p è primo, mentre il rango del primo termine divisibile per p occupa un rango tra 2q+1 e 4q+2; il numero p è composto se alcuno dei 4q+2 primi termini della serie è divisibile per p.

Test di Pépin Dal teorema di Pépin si trova un algoritmo per testare la primalità dei numeri di Fermat. Un numero di Fermat della forma Fn=2k+1, dove k=2n. Fermat asserì (erroneamente) che tutti i numeri di tale forma fossero primi.

Scomposizione dei numeri di Fermat Fn
Goldbach (1729) provò che F5=232+1 sia composto, dal fatto che F5= Verso la fine del 19° si cerca di trovare se F6 sia primo o composto. Il più grande numero di Fermat esplorato col test di Pépin è F22, che contiene cifre, esso è composto. Il più grande numero conosciuto essere composto è F23471. Il primo numero di Fermat sconosciuto è F24.

Test di Pépin Teorema. La condizione necessaria e sufficiente affinchè il numero an=2k+1, con k=2n sia primo, per n>1, è: che il numero 5(an-1)/2+1 sia divisibile per an.

Storia degli Algoritmi Numerici

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