MATEMATIZZAZIONE Con il termine “Matematizzazione” intendiamo quel processo attraverso il quale si tenta di “tradurre” nel formalismo matematico un problema.

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1 MATEMATIZZAZIONE Con il termine “Matematizzazione” intendiamo quel processo attraverso il quale si tenta di “tradurre” nel formalismo matematico un problema espresso nel linguaggio comune, generando un “modello matematico”.

2 Attenzione Non è detto che un problema, espresso nel linguaggio comune, possa essere sempre espresso nel linguaggio matematico; - Non è detto che il modello matematico sia unico; - Non è detto che il modello “funzioni” (con tutte le ambiguità ed imprecisioni che tale locuzione porta con sé).

3 Alcuni Punti Nodali Formulazione chiara e precisa, già nel linguaggio comune, di tutti i termini del problema; Idea di un possibile obiettivo (= soluzione accettabile, prevedibile ,…); Riconoscimento, anche solo parziale, di quelli che potrebbero essere i “costituenti” essenziali del problema, anche in funzione dell’obiettivo atteso; Analisi di alcune situazioni ideali/limite; Riconoscimento dei concetti matematici che possono tradurre i “costituenti” individuati;

4 Formalizzazione del Modello Matematico;
Studio del Modello: Qualità matematiche “a priori” della soluzione; Esistenza di soluzioni; Unicità della soluzione Rappresentazione della/e soluzioni Approssimazione della/e soluzioni Dipendenza dai dati Verifica delle soluzioni matematiche in termini di “predicibilità” .

5 Un esempio interno alla Matematica
La riduzione a problemi di Algebra e di Analisi di molti problemi di Geometria. In questi problemi si osserva anche una peculiarità della modellizzazione: La riduzione matematica, pur motivata da una situazione concreta e ben precisa, permette poi di estendere le informazioni ottenute ad una ampia classe di problemi che, a prima vista, potevano sembrare lontani da quello originario

6 Pregio dellla MATEMATIZZAZIONE
Il Problema concreto da cui si è partiti diviene uno dei tanti ai quali si può dare una qualche risposta studiando il modello. Spesso la modellizzazione rivela delle “vicinanze” insospettate tra problemi concreti riferibili a contesti umani lontanissimi tra di loro; la concretezza dei contesti, con la loro ricchezza di informazioni, non permette, generalmente, di osservare, utilizzando il solo linguaggio comune, la “vicinanza” dei problemi.

7 Analisi di un esempio Esercizio concreto di Geometria Controllo
Modello Algebrico-Analitico concreto Passaggio ad esercizio con parametri Classi di esercizi Controlli Modello parametrico

8 ALCUNE OSSERVAZIONI SUI MODELLI
ACQUISIRE UNO, O PIU’, DEI POSSIBILI SIGNIFICATI CONCRETI DEL MODELLO, PRIVILEGIANDO, SE POSSIBILE, UN PROBLEMA ANALIZZARE I PARAMETRI CONTENUTI NEL MODELLO, COMPRENDERNE IL SIGNIFICATO E STUDIARE IL COMPORTAMENTO DEL MODELLO PER VALORI SIGNIFICATIVI DEI PARAMETRI SUL PROBLEMA GUIDA CONFRONTARE IL MODELLO CON ALTRI CHE INTERESSANO IL PROBLEMA ED INDAGARE LE ANALOGIE CON ALTRI MODELLI MATEMATICI.

9 ESERCIZIO 1 Se 2x+1=8 quanto vale 4x+1 ? Risoluzione: x = 7/2 allora … Ma si può procedere anche così: 2x + 1 = 8  2(2x+1) = 16  4x+ 2 =16  4x+1 = 15

10 ESERCIZIO 2 Basta osservare che posto x = MN si ha:
Sia dato il triangolo rettangolo in figura; supponendo che AB = 12, CB = 5 e che inoltre AN = AB e CM = CB, determinare MN . A Basta osservare che posto x = MN si ha: –x = (AC =) 13 12 M N C B 5

11 ESERCIZIO 3 Quali termini togliere dalla somma seguente affinché la somma dei restanti sia 1 ? Risposta: Consideriamo il mcm; esso è 120; riscriviamo la somma riducendo tutti gli addendi allo stesso denominatore; si ottiene che la precedente somma si può scrivere così:

12 Siano a, b, c, d numeri reali diversi da zero e
ESERCIZIO 4 Siano a, b, c, d numeri reali diversi da zero e siano x,y per cui: ax+b=0 e cy+d=0. Allora dire x<y equivale a dire: bc < ad ad < bc ac < bd c/a < d/b d/c < b/a La risposta esatta è la n. 5. L’errore che spesso si commette, in situazioni di questo genere, è quello di ritenere che i coefficienti siano di segno assegnato.

13 Prendiamo i numeri dispari e disponiamoli in
ESERCIZIO 5 Prendiamo i numeri dispari e disponiamoli in cinque colonne come segue: …. In quale delle colonne comparirà il numero 1985 ( 2003 ) ?

14 Osservazione importante.
Considerando le cinque colonne si nota questo fatto: le prime due righe hanno la caratteristica di essere base per le successive modulo 16; cioè un numero sta in una colonna se il resto della divisione per 16 sta nella colonna. Pertanto la risposta è …

15 A = Numero punti interni -1 + ½ Numero dei punti sul bordo
ESERCIZIO 6 Consideriamo il seguente schema formato da quadrati unitari: Quanto è l’area del poligono ? Famosa Formula: A = Numero punti interni -1 + ½ Numero dei punti sul bordo

16 ESERCIZIO 7 Sei sacchetti di palline di cui uno solo di palline rosse; gli altri contengono palline di altro colore; Gianna sceglie tre sacchetti e Gianni due; rimane il sacchetto delle palline rosse. Contando le palline, Gianna ha il doppio delle palline di Gianni. Sapendo che i sei sacchetti contenevano 18, 19, 21, 23, 25, 34 palline, Quante sono le palline rosse ? Detto x il numero delle palline di Gianni ed y quelle rosse, si ha: 3x + y = 140; pertanto 140 – y deve essere un multiplo di 3. Se ne deduce, dopo breve verifica, che y = 23.

17 ESERCIZIO 8 Consideriamo il cerchio in figura ed il triangolo rettangolo ADC sul diametro AD; dal centro O si conduca la perpendicolare al diametro che incontra il cateto AC in B. Sapendo che OB = 5 e che gli angoli OBA e COD sono di 60°, calcolare BC. Osserviamo che gli angoli AOB e OAC sono entrambi di 30°; il triangolo COD è equilatero e quindi, essendo l’angolo DCA retto, anche l’angolo BCO è di 30°. Ne segue che il triangolo COB è isoscele sulla base OC. Pertanto BC=5. A B C 5 O D

18 x1 , a x1 , a2 x1 sono le tre lunghezze; dobbiamo sapere quanto vale
ESERCIZIO 9 Un parallelepipedo ha i lati in progressione geometrica ed il volume è di 8 cm3; La superficie totale è di 32 cm2; quanto vale la lunghezza di tutti i suoi spigoli ? x1 , a x1 , a2 x1 sono le tre lunghezze; dobbiamo sapere quanto vale S = 4(x1+x2+x3)=4x1(1+a+a2), sapendo : x1 x2 x3 = (x1a)3 = 8 e x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = 16 = (x1)2 ( a + a3 + a3 ). Si vede che x1 a = 2 ; pertanto 8 = x1 (1+a+a2). Dunque S = 32 x3 x1 x2

19 ESERCIZIO 10 Sia dato il triangolo ABC con l’angolo in C triplo dell’angolo in A; sia CB = 27 cm e AB = 48 cm; quanto è lungo AC ? Il triangolo CBD è isoscele sulla base CD e il triangolo CDA è isoscele sulla base AC. Ne segue che DB = 27; CD = AD = Nei triangoli rettangoli CKD e BHD, che sono simili, si ha subito che BH = ½ (2475)1/2 e, DB = CD = BH:CK = DH:DK. Possiamo così calcolare CK e DK e quindi applicare il teorema di Pitagora al triangolo AKC, per ricavare l’ipotenusa AC (=35). B 27 C H K D 48 A

20 ESERCIZIO 11 Data la parabola y = a x2 + b x + c , avente vertice V = (4,2) e passante per P = (2,0) determinare quanto vale abc. Il punto (6,0) sicuramente è punto della parabola, pertanto l’equazione della parabola sarà del tipo y = a (x-2)(x-6) Imponendo che V appartenga alla parabola si ottiene a = - ½; se ne deduce che, siccome b = -8a e c = 12 a, allora a b c = 12 (4,2) (2,0) (6,0)

21 m** = m  ((x + y)/2 + z)/2 = (x + y + z)/3
ESERCIZIO 12 Siano dati x < y < z e sia m = (x + y + z)/3; siano m* = (x + y)/2 ed m** = (m* + z)/2 . Sotto quali condizioni m** = m ? m** = m  ((x + y)/2 + z)/2 = (x + y + z)/3  (x + y + 2z)3 = (x + y + z)4  2z = (x + y)  z = (x + y)/2 …… quindi ……

22 Angoli: APC = APB ; PCA = PAB ; PAC = PBA .
ESERCIZIO 13 Sia dato il triangolo ABC, con AB = 8 cm, AC = 6 cm e BC = 7 cm. Prolungare CB dalla parte di C e fissare un punto P per cui i triangoli PAB e PCA siano simili. Quanto vale PC ? P Angoli: APC = APB ; PCA = PAB ; PAC = PBA . Proporzioni: 6:8 = PC:AP = AP:PB ; PB = 8 + PC Qualche conto e poi: PC = 9. C 6 7 A 8 B Una dimostrazione diretta del risultato ?!?

23 ESERCIZIO 14 Situazione: Stanza buia, cassetto con calzini di vari colori (100 rossi, 80 verdi, 60 blu, 40 neri); occorre prendere 10 paia di calzini. Quanti calzini almeno devo prendere per essere sicuro di avere le 10 paia ? 20 calzini devono essere presi (altrimenti non potrò considerare 10 paia); in questo modo almeno 16 sono appaiati e quindi abbiamo sicuramente 8 paia e i restanti 4 (colori) possono essere spaiati; alla 21 presa rimarranno spaiati 3 soli colori e avremo 9 paia; la 22 potrebbe essere dello stesso colore della precedente presa e quindi in definitiva occorre almeno prendere 23 calzini per essere sicuri di avere 10 paia di calzini.

24 Per note proprietà dell’esagono regolare:
ESERCIZIO 15 Sia dato un esagono regolare di lato 2 km. Partendo da un vertice V, in senso antiorario, si percorrano due lati e la metà del terzo e si consideri tale punto P; quanto vale VP ? P Per note proprietà dell’esagono regolare: TV = 4; TH = ½ ; PH = (3/4)1/2 Pertanto PV = (13)1/2 T V H 2

25 Sia a numero reale ed f : NxN → R tale che:
ESERCIZIO 16 Sia a numero reale ed f : NxN → R tale che: f(m,n) = a f(m, n-1) + (1-a) f(m-1, n-1) m, n ½0 f(0,0)= 1 f(m,0) = f(0,m) = 0. Trovare a per cui : |f(m,n)|  2003 per ogni n, m . f(p,1) = a f(p,0) + (1-a) f(p-1,0) = 0; f(1,1) = (1-a) ; f(2,2) = a f(2,1) + (1-a) f(1,1) = (1-a)2 ; e per induzione: f(m,m) = (1-a)m per ogni m. Siccome vogliamo che f sia limitata, deve essere |1-a|  1. Siccome è anche f(1,n) = (1-a) an-1 (ancora per induzione) deve essere anche |a|  1. Pertanto a  [0,1]. Supponiamo ora che |f(m,n)|  2003 allora, utilizzando la prima condizione: |f(m, n+1)|  a|f(m,n)| + (1-a) |f(m-1, n-1)|  (a + (1-a)) 2003 = 2003

26 Determinare tutte le funzioni F: [0, + ) → [0, + ) per cui
ESERCIZIO 17 Determinare tutte le funzioni F: [0, + ) → [0, + ) per cui F(u(Fv))F(v) = F(u+v) F(2) = 0 F(u) diverso da zero per 0 < u < 2. F(0) = 1 ; difatti per u = 0 si ha: F(0)F(v) = F(v); preso v in ]0,2[ consegue l’asserto. F(u+2) = 0 ; difatti preso v = 2, si ha F(u+2) = F(uF(2))F(2) = 0. Sia ora v in ]0,2[ allora v + u  2  u F(v)  2  u  2/F(v) per ogni u > 0. Pertanto 2 – v = 2/F(v); quindi F(v) = 2/(2-v) per v in ]0,2[

27 ESERCIZIO 18 Provare che non esiste f : N → N tale che f(f(n)) = n per ogni n. Intanto se una siffatta f esistesse si avrebbe che, per ogni n : f f(n ) = n = f(n) ; per induzione si prova che: f f(n k) = f(n) k , per ogni n e k. Allora possiamo definire una funzione tra le classi di N modulo 2003 ponendo F([n]) = [f(n)]. Si ha: F F = Identità Ne segue che esiste r per cui F([r]) = [r]; perciò r = f f(r) = f( r k) = f(r) k = r h k; assurdo. Si può dare una dimostrazione meno “tecnica” ?!?

28 ESERCIZIO 19 Se f: R → R verifica le seguenti proprietà
f(x + y)  f(x) + f(y) per ogni x, y; f(x)  0 per ogni x, allora f(x) = 0 per ogni x. Per ogni x fissato, si ha f(x + y )  f(x) + f(y)  f(x); pertanto ogni punto x è punto di minimo per la funzione; ne segue che essa deve essere costante; se in un punto avesse valore strettamente positivo si avrebbe f(x) = f(x + y)  f(x) + f(y) = 2 f(x) e quindi un assurdo.

29 Sia f: R → R verificante le seguenti proprietà
ESERCIZIO 20 Sia f: R → R verificante le seguenti proprietà f(x + y)  f(x) + f(y) per ogni x, y; f(x0) > 0 ; f continua in R. Allora esiste x* per cui f(x*) = 0. Per l’esercizio precedente non può essere f(x) 0 per ogni x in R, altrimenti dovrebbe coincidere con la funzione nulla contro la seconda condizione; allora esisterà un punto y per cui f(y) < 0; pertanto nell’intervallo di estremi x* ed y potremo applicare il teorema dell’esistenza degli zeri per le funzioni continue.

30 AUGURI SIAMO CON VOI AUGURI
PER LA VOSTRA PARTECIPAZIONE ALLE OLIMPIADI (Siate sportivi, ma con impegno) E PER GLI ESAMI PER LA SCELTA UNIVERSITARIA SIAMO CON VOI AUGURI