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Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello 1 Teoria dei giochi 3. Forma Strategica e ricerca dellequilibrio.

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Presentazione sul tema: "Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello 1 Teoria dei giochi 3. Forma Strategica e ricerca dellequilibrio."— Transcript della presentazione:

1 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello 1 Teoria dei giochi 3. Forma Strategica e ricerca dellequilibrio

2 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello2 Incrocio di strategie Se A ha a disposizione le strategie A1, A2, A3 Se A ha a disposizione le strategie A1, A2, A3 B ha a disposizione le strategie B1, B2, B3 B ha a disposizione le strategie B1, B2, B3 Possiamo studiare il gioco costruendo la tavola dei payoff Possiamo studiare il gioco costruendo la tavola dei payoff B1B2B3 A1??? A2??? A3???

3 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello3 Matrice dei pagamenti: giochi a somma zero A sceglie la riga A sceglie la riga B la colonna B la colonna Il valore indica quanto B deve pagare ad A Il valore indica quanto B deve pagare ad A BAB1B2 A112 A20

4 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello4 Ricordiamo: Assioma di razionalità Un giocatore sceglie lazione che gli consente di ottenere i risultati migliori, qualunque sia la mossa dellavversario Che succede in questo caso ? Che succede in questo caso ? Situazione di equilibrio oppure no ? Situazione di equilibrio oppure no ? BAB1B2 A112 A20

5 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello5 Esempio 1 Che succede in questo caso ? Che succede in questo caso ? Situazione di equilibrio oppure no ? Situazione di equilibrio oppure no ? BAB1B2B3 A1246 A2170 A3107

6 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello6 Esempio 2 Che succede in questo caso ? Che succede in questo caso ? Situazione di equilibrio oppure no ? Situazione di equilibrio oppure no ? BAB1B2B3 A1123 A2250 A3400

7 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello7 Riduzione: esempio 1 Che succede in questo caso ? Che succede in questo caso ? Ha senso per B scegliere B3 ? No, perché B1 è migliore in tutti i casi. Ha senso per B scegliere B3 ? No, perché B1 è migliore in tutti i casi. BAB1B2B3 A1234 A2071 A3105

8 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello8 Riduzione: esempio 1, cont. Ha senso per A scegliere A3 ? No, perché A1 è migliore in tutti i casi. Ha senso per A scegliere A3 ? No, perché A1 è migliore in tutti i casi. BAB1B2 A123 A207 A310

9 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello9 Riduzione: esempio 1, cont. Ha senso per B scegliere B2 ? No, perché B1 è migliore in tutti i casi. Ha senso per B scegliere B2 ? No, perché B1 è migliore in tutti i casi. BAB1B2 A123 A207

10 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello10 Riduzione: esempio 1, cont. Ha questo punto B ha una sola strategia. Quindi A sceglie A1. ? No, perché B1 è migliore in tutti i casi. Ha questo punto B ha una sola strategia. Quindi A sceglie A1. ? No, perché B1 è migliore in tutti i casi. BAB1 A12 A20 BAB1A12 Soluzione del gioco Equilibrio

11 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello11 Riduzione: esempio 1 Ricapitoliamo Ricapitoliamo BAB1B2B3 A1234 A2071 A3105 Max-min Min-max

12 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello12 Equilibrio con max-min e min-max: esempio 1 Che succede in questo caso ? Che succede in questo caso ? Studiamo il gioco Studiamo il gioco BAB1B2B3 A1246 A2170 A3107

13 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello13 Equilibrio con max-min e min-max: esempio 2 Che succede in questo caso ? Che succede in questo caso ? Studiamo il gioco Studiamo il gioco BAB1B2B3 A1123 A2250 A3407

14 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello14 Esistenza dellequilibrio Se Max-min= Min-Max Se Max-min= Min-Max Ricordiamo: Ricordiamo: –Max-min = quanto A è in grado di garantirsi giocando contro B –Min-max = quanto B è disposto a pagare giocando contro A

15 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello15 Minimax Giocatori perfetti per giochi deterministici ad informazione perfetta Giocatori perfetti per giochi deterministici ad informazione perfetta Idea: scegli la mossa che porta alla posizione con il più alto minimax value = miglior risultato raggiungibile contro il miglior avversario Idea: scegli la mossa che porta alla posizione con il più alto minimax value = miglior risultato raggiungibile contro il miglior avversario Per esempio, gioco a 2 giocatori: A1A1 A2A2 A3A3 A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33 MAX MIN

16 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello16 Strategie miste: es. pari e dispari Utilità del gioco pari-dispari. A vince se esce pari. Utilità del gioco pari-dispari. A vince se esce pari. Nessun equilibrio. Nessuna informazione ulteriore. Nessun equilibrio. Nessuna informazione ulteriore. BAPD P1 D1

17 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello17 Strategie miste: es. pari e dispari Che succede se A sceglie pari il 30% delle volte e B sceglie dispari il 40% delle volte ? Che succede se A sceglie pari il 30% delle volte e B sceglie dispari il 40% delle volte ? Strategia mista. Strategia mista. Definizione di utilità attesa? Definizione di utilità attesa? BA P: q D: 1-q P: p 1 D: 1-p 1

18 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello18 Attenzione! Nel seguito dovremo usare un po di Matematica

19 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello19 Lotterie e Preferenze Un giocatore sceglie tra premi (A, B, etc.) e lotterie, cioè, situazioni con premi incerti Lotteria L = [p, A; (1-p), B] p 1-p L A B

20 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello20 Preferenze razionali Idea: le preferenze di un giocatore razionale devono obbedire a vincoli. Preferenze razionali comportamento descrivibile come massimizzazione dellutilità attesa

21 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello21 Preferenze razionali (cont.) La violazione dei vincoli conduce a evidenti contraddizioni La violazione dei vincoli conduce a evidenti contraddizioni Per esempio: un giocatore con preferenze intransitive può essere indotto a dare via tutto il suo denaro Per esempio: un giocatore con preferenze intransitive può essere indotto a dare via tutto il suo denaro

22 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello22 Massimizzando lutilità attesa Teorema (Ramsey, 1931; von Neumann e Morgenstern, 1944): Date le preferenze soddisfacenti i vincoli esiste una funzione a valori reali U tale che Principio MEU: Scegliere lazione che massimizza lutilità attesa Nota: un giocatore può essere interamente razionale (consistente con MEU) senza mai rappresentare o manipolare utilità e probabilità

23 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello23 Utilità Lutilità associa gli stati a numeri reali. Quali numeri ? Lutilità associa gli stati a numeri reali. Quali numeri ? Approccio standard per stabilire lutilità umana: Approccio standard per stabilire lutilità umana: –Comparare un dato stato A con una lotteria standard L p che ha: –miglior premio possibile u ^ con probabilità p –peggiore catastrofe possibile u ^ con probabilità (1-p) Aggiustare la probabilità della lotteria p fino a quando A è indifferente rispetto a L p Aggiustare la probabilità della lotteria p fino a quando A è indifferente rispetto a L p Continua come prima Morte istantanea Pagare 30 è indifferente a L

24 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello24 Denaro Il denaro non si comporta come una funzione di utilità Il denaro non si comporta come una funzione di utilità Data una lotteria L con valore monetario atteso di EMV(L), solitamente U(L) < U(EMV(L)), cioè, le persone sono avverse al rischio Data una lotteria L con valore monetario atteso di EMV(L), solitamente U(L) < U(EMV(L)), cioè, le persone sono avverse al rischio Curva di utilità: per quale probabilità p sono indifferente tra un premio fisso x e una lotteria [p, 1M; (1-p), 0] ? Curva di utilità: per quale probabilità p sono indifferente tra un premio fisso x e una lotteria [p, 1M; (1-p), 0] ? I dati si possono (o debbono estrapolare sperimentalmente) I dati si possono (o debbono estrapolare sperimentalmente)

25 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello25 Paradosso di S. Pietroburgo Vi viene chiesto di partecipare ad un gioco in cui una moneta viene lanciata in aria sino a quando il risultato non è testa. Vi viene chiesto di partecipare ad un gioco in cui una moneta viene lanciata in aria sino a quando il risultato non è testa. Se testa compare al lancio n, il giocatore vince 2 n. Se testa compare al lancio n, il giocatore vince 2 n. Quanto paghereste per giocare ? Quanto paghereste per giocare ? EMV(S.P.)= EMV(S.P.)= Disposto a pagare qualunque cifra ? Assurdo. Bernoulli (1738) propose di misurare lutilità del denaro su scala logaritmica: Disposto a pagare qualunque cifra ? Assurdo. Bernoulli (1738) propose di misurare lutilità del denaro su scala logaritmica: Quindi per giocare un giocatore razionale paga sino a 4 ! Quindi per giocare un giocatore razionale paga sino a 4 !

26 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello26 Valore dellinformazione Problema calcolare il valore di acquisire nuovi elementi decisionali. Problema calcolare il valore di acquisire nuovi elementi decisionali. Esempio: comperare dei diritti petroliferi Esempio: comperare dei diritti petroliferi –n blocchi A 1, …, A n, solo in uno è presente il petrolio, valore stimato k –Probabilità a priori 1/n ognuno, mutuamente esclusivi –Il prezzo corrente di ogni blocco è allora k/n –Il consulente offre una perizia sul blocco A 1. Costo della consulenza ?

27 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello27 Valore dellinformazione Soluzione: calcolare il valore atteso dellinformazione = Soluzione: calcolare il valore atteso dellinformazione = –valore atteso della miglior azione data linformazione meno il –valore atteso della miglior azione senza linformazione Potremmo dire petrolio in A 1 o niente petrolio in A 1, con probabilità rispettivamente 1/n e (n-1)/n, Potremmo dire petrolio in A 1 o niente petrolio in A 1, con probabilità rispettivamente 1/n e (n-1)/n, –[1/n * valore di comprare A 1 dato petrolio in A 1 + – (n-1)/n * valore di comprare un altro lotto dato niente petrolio in A 1 ] – 0 –=

28 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello28 Giochino probabilistico A tre amici condannati a morte, A, B, C è comunicata la decisione del re di graziare due di loro A tre amici condannati a morte, A, B, C è comunicata la decisione del re di graziare due di loro A questo punto A si rende conto di avere una probabilità su 3 di salvarsi. A questo punto A si rende conto di avere una probabilità su 3 di salvarsi. Quando arriva la guardia per portargli da mangiare (A è isolato dai suoi amici), A chiede di sapere il nome di uno dei suoi due amici che sicuramente sarà graziato. Quando arriva la guardia per portargli da mangiare (A è isolato dai suoi amici), A chiede di sapere il nome di uno dei suoi due amici che sicuramente sarà graziato. La guardia ci pensa su un attimo, capisce che non cè niente di illegale e gli comunica che B sarà graziato. La guardia ci pensa su un attimo, capisce che non cè niente di illegale e gli comunica che B sarà graziato. Qual è la probabilità che A sarà condannato ? (o se volete quanto vale questa informazione della guardia ?) Qual è la probabilità che A sarà condannato ? (o se volete quanto vale questa informazione della guardia ?)

29 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello29 Giochino logico Cera una volta un isola lontana popolata da fanti e cavalieri Cera una volta un isola lontana popolata da fanti e cavalieri –I Fanti mentivano sempre –I Cavalieri dicevano sempre la verità Aristotele arrivato nellisola, vuole sapere se il suo allievo Alessandro si trova lì. Aristotele arrivato nellisola, vuole sapere se il suo allievo Alessandro si trova lì. Il capo delle guardie lo sa di sicuro Il capo delle guardie lo sa di sicuro Aristotele gli chiede se Alessandro è nellisola. Aristotele gli chiede se Alessandro è nellisola. –La risposta è solamente un Si oppure un No Aristotele gli chiede quindi se lui ha visto Alessandro nellisola. Aristotele gli chiede quindi se lui ha visto Alessandro nellisola. –La risposta è di nuovo solamente un Si oppure un No. Aristotele non sa se il capo delle guardie è un fante o un cavaliere. Però a questo punto Aristotele è in grado di dedurre se Alessandro si trova nellisola. Aristotele non sa se il capo delle guardie è un fante o un cavaliere. Però a questo punto Aristotele è in grado di dedurre se Alessandro si trova nellisola.


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