Logica Lez. 28, 27 aprile 2015. AVVISI ultimo compito per casa: Consegnarlo entro lunedì 4 maggio. Le soluzioni saranno nel sito il 5 maggio esame finale.

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1 Logica Lez. 28, 27 aprile 2015

2 AVVISI ultimo compito per casa: Consegnarlo entro lunedì 4 maggio. Le soluzioni saranno nel sito il 5 maggio esame finale per i frequentanti: 13 Maggio ore 11? Entro il 18 Maggio mettiamo il risultato finale nel sito. Potete decidere se accettare il voto e in questo caso venire all'appello solo per ufficializzare il voto (primo appello utile: 19 maggio) Non accettare il voto e fare l'esame orale.

3 ESAME FINALE Si raccomanda di venire con il libretto e di riportare il proprio numero di matricola nel compito. Il n. di matricola servirà a comunicare i voti nel sito senza compromettere la privacy

4 Antichi Forni - Piaggia della Torre 4 domani: ore 21.00 Caffè Filosofico L’intelligenza artificiale e il gioco dell’imitazione a cura del prof. Francesco Orilia docente di Filosofia del Linguaggio e Logica, Università di Macerata

5 Simmetria dell'identità Guardare es. 7.32, p. 214

6 Esercizio risolto 7.33 (transitività) Soluzione (errore alla riga 6: sostituire x con z)

7 Non-transitività della non identità Contro-esempi alla transitività: Superman  Batman, Batman  Clark Kent Eppure Superman = Clark Kent (2+2)  3, 3  (2x2), eppure (2+2) = (2x2) Esistono almeno tre cavalli  x  y  z(Cx & Cy & Cz & x  y & y  z & x  z) Non basta dire "x  y & y  z" perché la non identità non è transitiva. Quindi bisogna aggiungere "x  z"

8 "esattamente" C'è esattamente un cavallo Ci sono esattamente due cavalli Ci sono esattamente tre cavalli

9 C'è esattamente un cavallo = C'è almeno un cavallo e c'è al massimo un cavallo  xCx &  x  y((Cx & Cy)  x = y) Ci sono esattamente due cavalli = ci sono almeno due cavalli e ci sono al massimo due cavalli  x  y((Cx & Cy) & x  y) &  x  y  z((Cx & Cy & Cz)  (x = y v z = x v z =y)) Ecc.

10 Ma possiamo anche abbreviare così C'è esattamente un cavallo  x(Cx &  y(Cy  x = y))  x  y(Cy ↔ y = x) Ci sono esattamente due cavalli  x  y((Cx & Cy) & x  y) &  z(Cz  (z = x v z =y)) Ecc.

11 Le descrizioni definite Il libro le tratta a p. 321, § 11.7 Per "descrizione definita" (nella terminologia introdotta da Russell) intendiamo un termine singolare costituito da un articolo determinativo seguito da un predicato, di norma utilizzato per riferirsi ad un determinato individuo (anche se il riferimento può fallire). Per esempio "la moglie di Socrate chiamanta Santippe", "il cavallo alato", ecc. (ma non "la neve", "il leone", "la pasta", se utilizzati per riferirsi a un genere piuttosto che a un individuo)

12 Le 3 condizioni (Almeno secondo il punto di vista standard) perché sia vero un enunciato contenente una descrizione definita, come "il P è Q", devono darsi 3 condizioni: esistenza unicità attribuzione

13 Le 3 condizioni formalizzate il P è Q (1) esistenza: c'è almeno un oggetto con la proprietà P, ossia  xPx (2) unicità: c'è al massimo un oggetto con la proprietà P, ossia  x  y((Px & Py)  x = y) (3) attribuzione: qualsiasi cosa abbia la proprietà P (uno e un solo oggetto, se sono soddisfatte le condizioni (1) e (2)) ha anche la proprietà Q, ossia  x(Px  Qx)

14 In pratica quindi, dire "il P è Q" equivale a dire "esiste esattamente un P ed è Q" Abbiamo quindi già tutti gli strumenti per "tradurre" frasi di questo tipo:  x((Px &  y(Py  x = y)) & Qx) Oppure  x(  y(Px ↔ x = y)) & Qx)

15 Possiamo introdurre un simbolo,  (iota; Russell usava, come spesso si fa ancora, una iota rovesciata), corrispondente all'articolo determinativo, sulla base di questa definizione (v. p. 322): Q  xPx =Def  x((Px &  y(Py  x = y)) & Qx) Questa definizione andrebbe generalizzata utilizzando le metavariabili, ma non ce ne occuperemo. Negli esercizi di formalizzazione in cui vi sono descrizioni definite (per es. compito 5) non è richiesto l'uso di questo simbolo

16 Logica Lezioni 29-30, 28 aprile 2015

17 AVVISI ultimo compito per casa: Consegnarlo entro lunedì 4 maggio. Le soluzioni saranno nel sito il 5 maggio esame finale per i frequentanti: 13 Maggio ore 11 Entro il 18 Maggio mettiamo il risultato finale nel sito. Potete decidere se – accettare il voto e in questo caso venire all'appello solo per ufficializzare il voto (primo appello utile: 19 maggio); oppure – non accettare il voto e fare l'esame orale.

18 ESAME FINALE Si raccomanda di venire con il libretto e di riportare il proprio numero di matricola nel compito. Il n. di matricola servirà a comunicare i voti nel sito senza compromettere la privacy

19 Antichi Forni - Piaggia della Torre 4 oggi ore 21.00 Caffè Filosofico L’intelligenza artificiale e il gioco dell’imitazione a cura del prof. Francesco Orilia docente di Filosofia del Linguaggio e Logica, Università di Macerata

20 Esempi (1) Il presidente della R.I. è Mattarella (1a)  x((Px &  y(Py  x = y)) & x = m) (2) il cane che è stato nello spazio è nato a Mosca (2a)  x(((Cx & Sx) &  y((Cy & Sy)  x = y)) & Nxm) NB: usiamo "S" per "è stato nello spazio"; "lo spazio" non è qui trattato come una descrizione definita

21 Chiarimento sulla regola IE nella logica predicativa (i) Abbiamo usato IE (introduzione equivalenza) nella logica proposizionale. E nella logica dei predicati? Consideriamo per esempio  x~(Fx & Gx) Intuitivamente, per DM, ~(Fx & Gx) è equivalente a (~Fx v ~Gx) Tuttavia, a rigore ~(Fx & Gx) non è una fbf, perché contiene variabili "libere" (non "vincolate" da quantificatori) Possiamo usare la regola IE (caso specifico DM)?

22 Chiarimento sulla regola IE nella logica predicativa (ii) ~(Fx & Gx) otterremmo una fbf se sostituissimo le variabili con costanti. Queste formule le chiamiamo APERTE (rispettivamente a una certa variabile; v. p. 210) Assumeremo che la regola IE si può utilizzare anche per formule aperte (è una scorciatoia che il libro non considera!) Per esempio, consideriamo ~(Fx & Gx) ↔ (~Fx v ~Gx) un esempio per sostituzione di ~(P & Q) ↔ (~P v ~Q)

23 utilizziamo questa scorciatoia nell'uso di IE Esercizio risolto 7.25 1  x(Fx   Gx) A 2  x  (Fx &  Gx) 1, IM 3  x  (Fx & Gx) 2, DN 4  x (Fx & Gx) 3, SQ

24 Vediamo adesso come procede il Varzi senza questa scorciatoia

25 Esercizio risolto 7.25 Soluzione

26 Ripasso Esercizi di deduzione naturale Esercizi di traduzione

27 Esercizio risolto 7.1 Soluzione

28 Esercizio risolto 7.7 Soluzione

29 Esercizio risolto 7.9 Soluzione

30 Esercizio risolto 7.15 Soluzione

31 Prove di traduzione (1) ogni uomo ama una donna (2) Nessuna spia sta pedinando Roberto (3) Un gatto che il presidente adora sta dormendo (4) Roberta ama almeno due uomini (5) La sorella di Roberta ama al massimo un uomo (6) Ogni uomo che ama Roberta ama anche la sorella di Roberta

32 convenzione provvisoria nelle prossime diapositive userò "-" per la negazione "->" per il condizionale "Ex" per "esiste almeno un x" "(x)" per "per ogni x" Analogamente userò "(y)" ecc.

33 (1) ogni uomo ama una donna (1a) (x)(Ux -> Ey(Dy & Axy)) (1b) Ey(Dy & (x)(Ux -> Axy))

34 (5) La sorella di Roberta ama al massimo un uomo (5a) (x)(y)( (Ez(Szr & (w)(Swr -> w =z)) & Ux & Azx) -> x = y) Oppure, equivalentemente: Ez((Szr & (w)(Swr -> w =z)) & (x)(y)(Ux & Azx) -> x = y))

35 (3) Un gatto che il presidente adora sta dormendo (3a) Ex(Gx & (Ey((Py & (z)(Pz -> z = y)) & (Ayx & Dx)))

36 (4) Roberta ama almeno due uomini (4a) ExEy(  x = y & ((Ux & Uy) & (Arx & Ary)))

37 (2) Nessuna spia sta pedinando Roberto (2a) (x)(Sx -> -Pxr) (2b) -Ex(Sx & Pxr)