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Corso di Matematica Discreta I Anno Gabriella Muratore.

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Presentazione sul tema: "Corso di Matematica Discreta I Anno Gabriella Muratore."— Transcript della presentazione:

1 Corso di Matematica Discreta I Anno Gabriella Muratore

2 Programma 1.Insiemi e Funzioni 2.Equivalenze ed ordinamenti 3.Numeri interi 4.Calcolo Combinatorio 5.Introduzione ai Grafi

3 Introduzione Connettivi logici E (AND) congiunzione O (OR) disgiunzione NON (NOT) negazione Connettivo condizionale Se ….. Allora…. P D ( connettivo implicazione) Se è vera P e se è vera P D allora è vera D La proposizione P D è falsa solo se P è vera e D è falsa P ipotesi - D tesi

4 Notazione N = Insieme dei numeri interi naturali 1,2,3,… (con o senza zero, 0) (N +, N 0. = Insieme dei numeri interi relativi (compreso lo zero) …-3,-2,-1,0,1,2,3 …. Z +, Z -. Q = Insieme dei numeri razionali …3/4, 2/3 … R o = Insieme dei numeri reali. C= Insieme dei numeri complessi E N Z Q R C

5 Introduzione Dimostrazione per assurdo: P ( ipotesi ) D (tesi) Assumere vera liposi e falsa la tesi. Se il ragionamento logico deduttivo ci porta ad una contraddizione abbiamo dimostrato che P ( ipotesi ) D (tesi). Doppia Implicazione (se e solamente se) P D equiv ( P D ) E ( D P ) P è condizione necessaria e sufficiente perché accada D. P D : P è sufficiente perché accada D e D P : P è condizione necessaria perché accada D P D è vera se e solamente se P e D sono entrambe vere o entrambe false

6 Introduzione Quantificatori (esiste) quantificatore esistenziale (per tutti- per ogni) quantificatore universale Connettori / oppure : tale che x / P (x) significa esiste almeno un x tale che il predicato P è vero x P (x) significa per tutti gli x il predicato P è vero Esempi: x / x 2 1 (è vera) mentre x x 2 1 (è falsa) x x 2 0 (è vera) mentre x / x 2 < 0 (è falsa)

7 Introduzione Importanza dell ordine dei quantificatori. Esempio Supponiamo che L (x,y) significhi: la persona x è in grado di svolgere il lavoro y y x / L (x,y) significa: qualunque sia il lavoro, esiste una persona in grado di svolgerlo x y / L (x,y) significa: esiste una persona che è in grado di svolgere qualunque lavoro

8 Introduzione Negazione e quantificatori non ( x P (x)) x / ( non P (x)) non ( x / P (x)) x ( non P (x)) Uguaglianza x=y Luguaglianza è una relazione (predicato tra due variabili) che esprime il fatto che x e y sono intercambiabili a tutti gli effetti.

9 Introduzione Uguaglianza Se R è un qualunque predicato in una variabile allora è vero che: x y / x=y ( R (x) R (y) ) Proprietà dellUguaglianza x x=x (proprietà riflessiva) x y x = y y = x (proprietà simmetrica) x y z (x=y) e (y=z) x=z (proprietà transitiva)

10 Insiemi Assumiamo il concetto di insieme come nozione primitiva. Es. Insieme degli alunni di questa classe; insieme dei numeri interi; insieme delle rette del piano; ecc. Sinonimi: aggregato, classe, famiglia, …

11 Insiemi Lespressione x T si legge: x appartiene allinsieme T o x è un elemento di T Scriveremo invece x T per negare lespressione precedente cioè per affermare che x non appartiene a (o non è un elemento di) T. Lintuizione ci suggerisce di considerare uguali due insiemi che abbiano gli stessi elementi. In simboli: ( x x A x B ) A=B

12 Insiemi Il significato che abbiamo dato al segno di uguaglianza ci assicura che due insiemi aventi gli stessi elementi devono avere il medesimo ruolo in tutte le enunciazioni che fanno parte della nostra teoria. Per indicare un insieme basterà (quando è possibile) elencarne gli elementi; converremo di elencarli entro parentesi graffe. Ad esempio 2,5,6 indica linsieme i cui elementi sono appunto i numeri 2,5 e 6. La notazione a indica linsieme costituito dal solo elemento a ; mentre con il simbolo indicheremo uno speciale insieme, detto insieme vuoto, che non contiene alcun elemento.

13 Insiemi Relazione di Inclusione Se ogni elemento di un insieme A è un elemento dellinsieme B, cioè: x: x A x B, allora diciamo che A è contenuto in B, oppure A è una parte o un sottoinsieme di B, e scriviamo A B. AB Notiamo che la relazione A B è verificata nel caso in cui A=B. Per esprimere il fatto che A B ma è A B, cioè esistono elementi di B che non sono elementi di A, si scrive A B. Si dice in questo caso che A è sottoinsieme proprio di B, ovvero A è propriamente contenuto in B

14 Costruzioni Insiemistiche Procedimenti che, partendo da insiemi assegnati, ci forniscono nuovi insiemi. Supponiamo che T sia un insieme e che P (x) sia una proprietà che ha senso per gli elementi di T. Scriviamo allora x: (x T) e P (x) per indicare il sottoinsieme di T formato dagli elementi per cui P (x) è vera. Es. x: (x R ) e ( sin x=0) rappresenta linsieme dei multipli interi di.

15 Operazioni insiemistiche Unione Lunione di due insiemi A e B è linsieme formato da quegli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi A,B. Esso viene indicato con A B. In simboli A B = x: (x A) o (x B). def A B Es. A= 1,3,5,7,9 B= 2,3,4,5,6,8 A B=C= 1,2,3,4,5,6,7,8,9

16 Operazioni insiemistiche Intersezione Lintersezione di due insiemi A e B è linsieme formato dagli elementi che appartengono sia ad A sia a B. Esso si indica con il simbolo A B. In simboli A B = x: (x A) e (x B). def A B Es. A= 1,3,5,7,9 B= 2,3,4,5,6,8 A B=C= 3,5 Può accadere che i due insiemi siano disgiunti (cioè non abbiano alcun elemento in comune. Allora si scrive A B= A B

17 Operazioni insiemistiche Differenza La differenza di B da A, che si indica con A\B oppure con A-B, è linsieme degli elementi di A che non appartengono a B. In simboli A-B= x: (x A) e (x B). def A B Es. A= 1,3,5,7,9 B= 2,3,4,5,6,8 A - B=C= 1,7,9

18 Operazioni insiemistiche Differenza simmetrica La differenza simmetrica A e B, che si indica col simbolo A B, è linsieme costituito dagli elementi che appartengono a uno solo degli insiemi A e B, cioè dagli elementi di A che non appartengono a B e dagli elementi di B che non appartengono ad A. In simboli A B=(A-B) (B-A) def A B Es. A= 1,3,5,7,9 B= 2,3,4,5,6,8 A B=C= 1,2,4,6,7,8,9

19 Insieme delle parti Dato un insieme T, ammettiamo di poter considerare un insieme i cui elementi sono tutte le parti o sottoinsiemi di T; questo insieme sarà detto Insieme delle parti di T e si indicherà con il simbolo P (T). Ad esempio, se è T= a,b,c si ha P (T)=, a, b, c, a,b, a,c, b,c, a,b,c. Le operazioni e, nellinsieme P (T), hanno proprietà formali molto interessanti.

20 Proprietà formali di e 1.A A = A Proprietà di Idempotenza A A = A 2.A B = B A Proprietà Commutativa A B = B A 3. (A B) C= Proprietà Associativa (A B) C= =A (B C) 4. A (B C)= Proprietà Distributiva A (B C)= =(A B) (A C) 5. A (A B)=A Proprietà di Assorbimento A (A B)=A

21 Operazioni insiemistiche Complementare Se A P (T), chiamiamo complementare di A rispetto a T linsieme di tutti gli elementi di T che non appartengono ad A. In simboli A = T-A. Valgono le seguenti proprietà. 6. (A ) =A 7. (A B) = A B 8. (A B) =A B def

22 Algebra di Boole Si dice Algebra di Boole la struttura che si ottiene assegnando in un insieme (nel nostro caso P (T)) tre operazioni:,, (unione, intersezione e complemento) aventi le proprietà 1-8 precedentemente definite. Notiamo che le proprietà 1-8 valgono anche per la logica delle proposizioni, pur di sostituire il simbolo con il connettivo logico o, il simbolo con il connettivo logico e, il simbolo con il connettivo logico non ed Infine il simbolo = con il connettivo logico di doppia implicazione

23 Famiglie Infinite di Insiemi Le operazioni di unione ed intersezione si possono estendere al caso di famiglie infinite di insiemi. Sia F una famiglia qualunque di insiemi. Si indica con linsieme costituito dagli elementi che appartengono a qualcuno degli insiemi X F. Questo insieme viene detto insieme unione della famiglia F. In simboli: = x: ( X / X F e x X). Similmente si indica con linsieme costituito dagli elementi che appartengono a ciascuno degli insiemi X F. Questo insieme viene detto insieme intersezione della famiglia F. In simboli: = x: ( X / X F x X).

24 Considerazioni Sia T un insieme e sia P (x) un predicato che abbia senso in T. Possiamo interpretare P (x) come unequazione posta in T. Linsieme P= x: (x T) e P (x) è evidentemente linsieme delle soluzioni di P (x) in T. Sia ora Q (x) un secondo predicato e sia Q= x: (x T) e Q (x). Se per ogni x T è vero P (x) Q (x) allora si ha P Q. Se invece, per ogni x T è vero P (x) Q (x) si ha P=Q. Es. Sia T= R ( retta reale).Supponiamo che P (x) significhi =2x e che Q (x) significhi x 2 +1=4 x 2. Allora per ogni x R è vero P (x) Q (x). Si ha quindi P Q. E poi Q= ; - ma poiché -non verifica P (x) si ha P=

25 Insieme prodotto Assumiamo come nozione primitiva la nozione di coppia ordinata. Per aiutare lintuizione possiamo pensare a due caselle (la prima e la seconda casella) e di inserire in esse,rispettivamente, due elementi, non necessariamente distinti, x e y. Per indicare la coppia così ottenuta useremo la notazione (x,y). E importante notare come la coppia (x,y) sia cosa ben diversa dall insieme x,y costituito dagli elementi x e y. Infatti si ha x,y = y,x (per gli insiemi non ha rilevanza lordine con cui sono elencati gli elementi), mentre per le coppie si ha: (x,y)=(x,y ) x= x e y= y.

26 Insieme prodotto Insieme Prodotto. Def. Siano dati due insiemi A e B. Diremo insieme prodotto di A per B, e lo indicheremo con A B, linsieme di tutte le coppie ordinate (x,y) con x A e y B. In simboli:A B = (x,y) / x A e y B. Notiamo che non abbiamo richiesto ai due insiemi A e B di essere diversi. Un ben noto esempio di prodotto è, dove indica la retta reale. La geometria analitica ci insegna a rappresentare il piano mediante linsieme di tutte le coppie ordinate di numeri reali, cioè mediante. def O x y (x,y) Perciò linsieme, che comunemente viene scritto come 2, viene detto anche piano (numerico).

27 Insieme prodotto Dati, in un certo ordine, tre insiemi A, B, C, si chiama loro prodotto, e si indica con A B C, linsieme di tutte le terne ordinate (x,y,z) con x A, y B, z C. La definizione si estende in modo ovvio al caso di un numero finito qualsiasi di spazi, A 1, A 2,… A n. Ad esempio si indica con n linsieme di tutte le n-uple ordinate (x 1, x 2 … x n ) di numeri reali. Il prodotto di più insiemi può essere introdotto, peraltro, utilizzando solo la nozione di prodotto di due insiemi. E facile vedere infatti che A B C si può introdurre indifferentemente come (A B) C oppure come A (B C).

28 Relazioni Con il termine relazione indichiamo un predicato in 2 variabili. Sia ora R (x,y) una relazione che abbia senso nella teoria degli insiemi. Possiamo allora considerare linsieme (x,y): (x,y) A B e R (x,y), cioè il sottoinsieme di A B costituito da tutte le coppie per cui la relazione è verificata. Esso viene detto grafico della relazione. Dato un sottoinsieme G di A B risulta individuata immediatamente una relazione di cui essa è il grafico: (x,y) G. Nella teoria degli insiemi, spesso, il termine relazione viene usato nel significato di grafico. Anche noi utilizzeremo spesso lo stesso simbolo per indicare una relazione ed il suo grafico: scriveremo perciò indifferentemente R (x,y) oppure (x,y) R.

29 Relazioni Esempi. a)In N N=N 2 si consideri la relazione R (m,n) che significa m è divisore di n. Il grafico di questa relazione è: b)In R 2 si consideri la relazione x 2 +y 2 1. Il suo grafico è rappresentato dal cerchio con centro nellorigine degli assi e raggio 1. n m

30 Funzioni (o applicazioni) Definizione di Funzione (o applicazione) Una relazione f definita in A B si dice applicazione o funzione di A in B se per ogni x A esiste uno ed un solo y B tale che (x,y) f. AB x y f Possiamo interpretare intuitivamente la nozione introdotta pensando che f porti i punti di A in punti di B. Linsieme A viene chiamato dominio di f, linsieme B codominio di f

31 Funzioni (o applicazioni) I termini funzione e applicazione sono equivalenti: tuttavia il termine funzione è più tradizionale e lo si impiega di preferenza quando dominio o codominio sono insiemi di numeri reali o complessi. Lespressione f: A B scritta anche come A B mette in evidenza il dominio e il codominio di f. Per ogni x A lunico elemento y B tale che (x,y) f si indica con f(x) e si dice valore assunto dalla funzione f in x. f A x B y y=f(x)

32 Funzioni (o applicazioni) Partendo dallespressione di f(x), la notazione completa che rappresenta lapplicazione f è la seguente: x f (x): A B. In questa espressione la lettera x è muta e può essere sostituita con unaltra lettera qualsiasi. Spesso, però, questa notazione (che è evidentemente ingombrante) può venire più o meno abbreviata, se non vi sono equivoci. Spesso la funzione si indica semplicemente con un espressione f(x), dove appunto è sottointeso che la lettera x ha il ruolo di variabile indipendente. Ad esempio si potrà parlare della funzione x 2 +1 in luogo di x x 2 +1 :.

33 Funzioni (o applicazioni) In certi casi si usa indicare il valore di unapplicazione scrivendo la variabile indipendente come indice: f x anziché f(x). Ad esempio se il dominio dellapplicazione è linsieme N degli interi naturali, lapplicazione viene detta successione; i valori di una successione a (ma più frequentemente si parla dei termini della successione) sono indicati con la notazione: a 0, a 1,… a n,… Le nozioni di funzione di variabile reale e di successione, che nei testi matematici più recenti sono comprese nella nozione generale di applicazione, venivano un tempo considerate come diverse: ciò spiega la difformità di notazione, che è rimasta.

34 Funzioni (o applicazioni) Esempi a)Dato un qualunque insieme A, l applicazione x x : A A si dice applicazione Identica di A e si indica con I A. b) Dato linsieme A ed un suo sottoinsieme B, lapplicazione x x : B A si dice applicazione di Inclusione di B in A. c) Siano A e B insiemi qualunque; lapplicazione (x,y) x : A B A si dice proiezione canonica su A. Similmente lapplicazione (x,y) y : A B B si dice proiezione canonica su B.

35 Funzioni (o applicazioni) Data unapplicazione f:A B e dato un sottoinsieme X di A si dice immagine di X il sottoinsieme di B costituito dagli elementi che provengono da qualche elemento di X. Questo sottoinsieme viene indicato con f(X). Pertanto: f(X)= y: y B e ( x X / f(x)=y. Si potrà anche scrivere, più brevemente: f(X)= f(x): x X. Linsieme f(A) si dirà immagine dellapplicazione f. Applicazione Costante Un applicazione f: A B si dice costante se la sua Immagine consta di un unico elemento (cioè x 1 A, x 2 A si ha f(x 1 )= f(x 2 ). def

36 Funzioni (o applicazioni) Definizione di Applicazione Surgettiva Un applicazione f:A B si dice Surgettiva se è f(A)=B cioè se limmagine di f coincide con B. Se f:A B è surgettiva si usa dire che f è unapplicazione di A su B. Esempi Lapplicazione identica in un qualunque insieme; le proiezioni canoniche del prodotto

37 Funzioni (o applicazioni) Definizione di Applicazione Iniettiva Un applicazione f:A B si dice Iniettiva se porta punti distinti in punti distinti. In altre parole: f è iniettiva ( x 1 A, x 2 A : f(x 1 )= f(x 2 ) x 1 = x 2 ) Esempi Lapplicazione identica in un qualunque insieme, lapplicazione di inclusione di un sottoinsieme in un insieme def

38 Funzioni (o applicazioni) Definizione di Applicazione Biiettiva Un applicazione f:A B si dice Biiettiva se è sia iniettiva sia surgettiva. Esempi. Lapplicazione identica in un insieme qualsiasi è biiettiva Lapplicazione x ax+b: R R è biiettiva se è a 0. Quando invece a =0 abbiamo unapplicazione costante che non è iniettiva né surgettiva.

39 Funzioni (o applicazioni) Molte volte non è necessario specificare il dominio ed il codominio di un applicazione, essendo sufficiente conoscere unespressione che la definisce. Certe volte, però, la precisazione del dominio e del codominio è essenziale: per esempio, ovviamente, quando ci si chiede se unapplicazione è iniettiva e/o surgettiva. Ad esempio (indicando con R + linsieme dei numeri reali non negativi, ) lapplicazione x x 2 : R R non è iniettiva né surgettiva, lapplicazione x x 2 : R R + è surgettiva ma non iniettiva, lapplicazione x x 2 : R + R è iniettiva ma non surgettiva ed infine lapplicazione x x 2 : R + R + è sia iniettiva sia surgettiva cioè è una biiezione.

40 Funzioni (o applicazioni) Spesso è comodo rappresentare gli insiemi come immagini di opportune applicazioni. Ad esempio linsieme degli interi naturali pari si potrà indicare con P = 2n : n N cioè P= g(N) dove g: N N n 2n. Sia ora F una famiglia di insiemi, J un insieme e supponiamo che esista unapplicazione j X j : J F surgettiva. Allora si possono impiegare le seguenti notazioni per indicare linsieme unione e linsieme intersezione di F : oppure ;oppure

41 Funzioni (o applicazioni) Definizione di Applicazione Composta Date due applicazioni f:A B e g:B C con B B si dice Applicazione composta di f e g lapplicazione g f così definita: g f= x g(f (x)) : A C. Nel simbolo g f (equivalentemente g(f (x)) si scrive a destra lapplicazione che viene eseguita per prima. def A B C x f(x) g(f(x)) f g

42 Funzioni (o applicazioni) Esempio: Lapplicazione x : R R si può considerare come composta con lapplicazione x x 2 +1 : R R + e lapplicazione y : R + R. Se è f:A B si ha f I A =f e I B f=f dove I A e I B sono le applicazioni identiche di A e di B rispettivamente.

43 Funzioni (o applicazioni) La composizione di applicazioni gode della proprietà associativa: se f e g sono componibili e se g e h sono componibili si ha h (g f )= (h g) f. Basta infatti notare che si ha (h (g f ))(x)=(h(g( f (x)))=((h g) f) (x) Se f è unapplicazione di un insieme A in sé si possono considerare le iterate di f, cioè le applicazioni f f, f f f, ecc. Si possono anche indicare con i simboli f 2, f 3, ecc.

44 Funzioni (o applicazioni) Definizione di Applicazione Inversa Data unapplicazione f:A B si chiama inversa della f un applicazione g:B A tale che g f = I A e f g= I B. Non sempre unapplicazione è invertibile cioè esiste la sua inversa Per esempio lapplicazione costante non è ovviamente invertibile. Daremo adesso una caratterizzazione delle applicazioni invertibili.

45 Funzioni (o applicazioni) Teorema Sia f unapplicazione f:A B. Allora f è invertibile se e solamente se f è biiettiva. Dim. Supponiamo che f ammetta inversa, g. Dimostriamo che f è surgettiva. Infatti y B si ha f(g(y))=y. Dunque esiste un elemento di A, x=g(y) tale che f(x)=y. Dimostriamo che f è iniettiva. Sia quindi f(x 1 )= f(x 2 )=y. Allora è x 1 = g(f(x 1 ))= g(y) e x 2 = g(f(x 2 ))= g(y). Dunque x 1 = x 2. Supponiamo adesso che f sia biiettiva. Essendo f surgettiva y B esiste qualche x tale che f(x)=y. Ma essendo f anche iniettiva questo x è unico. Quindi è ben individuata unapplicazione g:B A che fa corrispondere a y lunico

46 Funzioni (o applicazioni) elemento x A tale che f(x)=y. Dunque per ogni y B è f(g(y))=y cioè f g= I B. Inoltre per ogni x A è anche g(f(x))=x cioè g f = I A. cvd. Teorema Lapplicazione inversa di unapplicazione f:A B, se esiste, è unica. Dim. Supponiamo dunque che g e g siano applicazioni B A tali che g f = I A e f g= I B. e g f = I A e f g = I B..

47 Funzioni (o applicazioni) Per la proprietà associativa della composizione si ha: (g f) g = g ( f g). Ma è g f = I A e f g= I B. I A g = g I B. cioè g = g.cvd Lapplicazione inversa di f si indica con il simbolo f -1. E evidente che (f -1 ) -1 =f. Dunque se f è invertibile lo è anche la sua inversa. Dati due insiemi A e B, se esiste unapplicazione A B invertibile, diciamo che A e B ( senza più necessità di considerarli in ordine) si possono mettere in corrispondenza biunivoca.

48 Funzioni (o applicazioni) Definizione della restrizione di unapplicazione Data unapplicazione f:A B e dato un sottoinsieme C di A, si dice restrizione di f a C e si indica con f | C lapplicazione x f (x) : C B. In altre parole, indicando con j lapplicazione di Inclusione, C A, si ha f | C = f j def

49 Funzioni (o applicazioni) Data unapplicazione f:A B, abbiamo già definito limmagine f(X) di un sottoinsieme X di A. Lapplicazione X f(X) è unapplicazione P (A) P (B) che, benché impropriamente, verrà indicata con il medesimo simbolo f. Ovviamente è f( )=. Analogamente si potrà introdurre unapplicazione f -1 : P (B) P (A) ponendo, per ogni Y B: f -1 (Y)= x: x A e f (x) Y. Linsieme f -1 (Y) si dirà immagine inversa di Y. Osserviamo che questa applicazione, denotata (anchessa impropriamente f -1 ) esiste anche quando f non è invertibile. E evidente poi che, quando Y f(A) = è f -1 (Y) =. def

50 Funzioni (o applicazioni) Teorema Se f è unapplicazione f:A B e X e Y sono sottoinsiemi di A, si ha: 1.f(X Y)=f(X) f(Y) 2.f(X Y) f(X) f(Y) Dim. 1. Ricordiamo che f(X)= y: y B e ( x X / f(x)=y). Allora f(X Y)= y: y B e ( x X Y / f(x)=y) = y: y B e ( x X / f(x)=y) y: y B e ( x Y / f(x)=y) = =f(X) f(Y). cvd

51 Funzioni (o applicazioni) 2. w f(X Y) z X Y / f(z)=w. z X f(z)=w f(X) z Y f(z)=w f(Y). Quindi w f(X) f(Y) cioè f(X Y) f(X) f(Y). Cvd. Teorema (Esercizio) Sia f unapplicazione f:A B e siano X e Y sottoinsiemi di B. Si ha: f -1 (X Y)= f -1 (X ) f –1 (Y ) f -1 (X )= (f -1 (X)) dove X indica il complementare di X in B e, analogamente, (f -1 (X)) indica il complementare di f -1 (X) in A

52 Funzioni (o applicazioni) Dim: 1. f -1 (X Y)= a: a A / f (a) X Y = = a: a A / (f (a) X) o (f (a) Y) = = a: a A / (f (a) X) a: a A / (f (a) Y) = = f -1 (X) f -1 (Y). Cvd. 2. f -1 (X Y)= a: a A / f (a) X Y = = a: a A / (f (a) X) e (f (a) Y) = = a: a A / (f (a) X) a: a A / (f (a) Y) = = f -1 (X ) f –1 (Y ). Cvd

53 Funzioni (o applicazioni) 3. f -1 (X )= a: a A / f (a) X = a: a A / f (a) X = = a: a A e a f -1 (X) = a: a A e a (f -1 (X)) = = (f -1 (X)). Cvd.

54 Cardinalità di un insieme Preso un n N consideriamo linsieme degli interi che precedono n, cioè linsieme I n = 0,1,2,…n-1. Gli insiemi I n si prestano bene come insiemi campione. Definizione. Si dice che un insieme X è finito se esiste un n N tale che X si possa mettere in corrispondenza biunivoca con I n ; in questo caso si dice che X ha numero cardinale n e si scrive c(X)=n. Se non esiste alcun n per cui questo è possibile, si dice che X è infinito.

55 Cardinalità di un insieme La nozione di corrispondenza biunivoca sta alla base della nozione di numero: contare significa stabilire una corrispondenza biunivoca tra un insieme di oggetti ed un insieme campione. Risulta molto naturale la seguente Definizione Dati due insiemi, si dice che essi hanno lo stesso numero cardinale se essi possono essere posti in corrispondenza biunivoca. Per indicare che due insiemi X e Y hanno lo stesso numero cardinale scriveremo c(X)=c(Y). Questa relazione gode della proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.

56 Principi di Somma, Prodotto e Quoziente Il problema fondamentale che vogliamo affrontare è il seguente: dati certi insiemi finiti (anzi: dati semplicemente i loro numeri cardinali) calcolare il numero cardinale di insiemi che si ottengono da essi mediante le operazioni insiemistiche fondamentali. Principio della Somma Se X e Y sono insiemi finiti disgiunti si ha c(X Y)= c(X) + c(Y)

57 Principi di Somma, Prodotto e Quoziente Principio del Prodotto. Se X e Y sono insiemi finiti, si ha: c(X Y)= c(X) *c(Y) Principio del Quoziente. Nellinsieme X, sia R una relazione di equivalenza tale che tutte le classi di equivalenza abbiano il medesimo numero cardinale r. Allora si ha c(X)=r*c(X/ R ). Notiamo che i termini insieme prodotto ed insieme quoziente prendono nome proprio da questi principi.


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