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Pierdaniele Giaretta Primi elementi di logica Nozioni fondamentali e linguaggio logico.

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Presentazione sul tema: "Pierdaniele Giaretta Primi elementi di logica Nozioni fondamentali e linguaggio logico."— Transcript della presentazione:

1 Pierdaniele Giaretta Primi elementi di logica Nozioni fondamentali e linguaggio logico

2 La definizione e lo studio della validità di uninferenza e la formulazione delle leggi logiche presuppongono lintroduzione e luso di un linguaggio appropriato e, innanzitutto, di simboli per i connettivi logici vero-funzionali

3 I CONNETTIVI VERO-FUNZIONALI sono espressioni mediante le quali a partire da enunciati o funzioni enunciative si possono ottenere altri enunciati o funzioni enunciative. Sono detti vero-funzionali perché il valore di verità dellespressione ottenuta dipende soltanto dai valori di verità delle espressioni da essi connesse. ~ non & e o se...,allora... se e solo se

4 Siano A, B, C, … lettere enunciative o variabili proposizionali che stanno per enunciati qualsiasi. (Varzi et al. usano allo stesso modo P, Q, R, … e presentano i connettivi come operatori logici.) Mediante le lettere enunciative, i connettivi e le parentesi si possono costruire le formule : ( ~A), (A & B), (A B), (A B), (A B). A pag. 59 di Varzi et al. (II ed.) vengono presentati il vocabolario e la definizione di formula ben formata (per un sistema) della logica proposizionale. A questo scopo Varzi et al. usano le variabili metalinguistische e, che - si noti bene - non sono lettere enunciative: rappresentano formule ben formate qualsiasi e, in particolare, anche lettere enunciative.

5 Esempi di formule ben formate (nei quali sono omesse alcune parentesi non necessarie per la lettura univoca della formula): A A A ~~A ~~A A (A & B) A A (A B) (A & (A B)) B (A & ( B A)) A A ((B ~A) ~A) ((A B) & (B C)) (A C) ~A & (A A) ~B ((B ~A) A) (A & ~A) B Le formule ben formate possono essere usate per rappresentare forme logiche di enunciati del linguaggio naturale. Vedi esercizi 3.5 e 3.7 di Varzi et al. Notare che il segno | _ non appartiene al linguaggio della logica proposizionale, ma al linguaggio con cui ne parliamo. Così anche e.

6 SIGNIFICATO DEI CONNETTIVI Varzi et al. usano e anche per introdurre il significato vero-funzionale (le tavole di verità) dei connettivi. Qui, per semplicità, userò le lettere enunciative. Negazione ~A è vero se e solo se A è falso. A ~A V F FV

7 A B è vero se e solo se A e B sono entrambi veri. A B A B V V V V F F F V F F F F Disgiunzione A B è vero se e solo se A è vero o B è vero. A B A B V V V V F V F V V F F F Congiunzione

8 Condizionale (Implicazione) A B è vero se e solo se A è falso o B è vero. Cioè l'enunciato A B è falso solo nel caso in cui A sia vero e B sia falso. A B A B V V V V F F F V V F F V A si dice antecedente, B conseguente del condizionale.

9 FORMULAZIONI EQUIVALENTI DI UN ENUNCIATO CONDIZIONALE Se A, allora B B se A A solo se B A è condizione sufficiente per B B è condizione necessaria per A

10 A B è vero se e solo se A e B sono entrambi veri o entrambi falsi. A BA B V V V V F F F V F F F V Bicondizionale (Equivalenza)

11 USO DELLE FORMULE BEN FORMATE PER RAPPRESENTARE ENUNCIATI DEL LINGUAGGIO NATURALE Come risulta dalla definizione di formula ben formata e dagli esempi fatti nella diapositiva 5, i connettivi possono essere applicati anche a formule ben formate qualunque, che in Varzi et al. sono indicate mediante le lettere greche,.... Le formule ben formate complesse possono rappresentare enunciati del linguaggio naturale. Ad esempio, nei seguenti esercizi sul condizionale abbiamo enunciati delle forme: A B A ~B ~A B

12 ESERCIZI SUL CONDIZIONALE Dicendo se ha una Regina, allora non ha un Re quale o quali dei seguenti casi vengono esclusi: ha una Regina e non ha un Re non ha una Regina e ha un Re non ha una Regina e non ha un Re ha una Regina e ha un Re Dicendo se non ha un Re, allora ha un Fante quale o quali dei seguenti casi vengono esclusi: ha un Re e ha un Fante ha un Re e non ha un Fante non ha un Re e non ha un Fante non ha un Re e ha un Fante

13 Dicendo ha una Regina solo se non ha un Re quale o quali dei seguenti casi vengono esclusi: ha una Regina e non ha un Re non ha una Regina e ha un Re non ha una Regina e non ha un Re ha una Regina e ha un Re Dicendo non ha un Re solo se ha un Fante quale o quali dei seguenti casi vengono esclusi: ha un Re e ha un Fante ha un Re e non ha un Fante non ha un Re e non ha un Fante non ha un Re e ha un Fante

14 Dicendo solo se ha un Re, ha un Fante si enuncia un condizionale (NON un bicondizionale). Specificare qual è lantecedente e quale il conseguente: Ant.: Cons.: Indicare quale o quali dei seguenti casi sono incompatibili con la sua verità: ha un Fante e ha un Re ha un Fante e non ha un Re non ha un Fante e non ha un Re non ha un Fante e ha un Re

15 Dicendo condizione necessaria per lammissione è avere una laurea in economia si enuncia un condizionale. Formulare tale condizionale con solo se. Indicare quale o quali dei seguenti casi sono incompatibili con la sua verità: è ammesso e ha una laurea in economia non è ammesso e non ha una laurea in economia è ammesso e non ha una laurea in economia non è ammesso e ha una laurea in economia

16 Dicendo condizione necessaria per lammissione è avere una laurea in economia si enuncia un condizionale. Formulare tale condizionale con se … allora. Indicare quale o quali dei seguenti casi sono incompatibili con la sua verità: è ammesso e ha una laurea in economia non è ammesso e non ha una laurea in economia è ammesso e non ha una laurea in economia non è ammesso e ha una laurea in economia

17 Dicendo condizione sufficiente per lammissione è avere una laurea in economia si enuncia un condizionale. Formulare tale condizionale con se … allora. Indicare quale o quali dei seguenti casi sono incompatibili con la sua verità: è ammesso e ha una laurea in economia non è ammesso e non ha una laurea in economia è ammesso e non ha una laurea in economia non è ammesso e ha una laurea in economia

18 CALCOLO DEL VALORE DI VERITA Le lettere enunciative si possono pensare come enunciati minimali, cioè enunciati che non sono costruiti a partire da altri enunciati mediante lapplicazione di connettivi. Se si conoscono i valori di verità delle lettere enunciative si può calcolare il valore di verità della formula composta servendosi delle tavole di verità dei connettivi nel modo qui sotto illustrato A B ~ A ~ B A ~ B ( A ~ B ) ~ A V V F F F F V F F V V V F V V F F V V V V

19 ALCUNE FORMULE LOGICO-PROPOSIZIONALI A A A A A (A & B) A(A & B) B A (A B) B (A B) (A & (A B)) B ((A B) & B) A (A B) ((A B) & (B A))

20 Le formule della diapositiva precedente sono tutte tali da risultare vere in ogni caso, cioè per ogni assegnazione di valori di verità alle lettere enunciative, comè mostrato, ad es., dalla seguente tavola di verità: A B ~ A ~ B A B ( A B ) & ~ B (( A B ) & ~ B ) ~ A V V F F V F V V F F V F F V F V V F V F V F F V V V V V Tali formule sono dette TAUTOLOGIE. Invece non tutte le formule che seguono sono tautologie. Alcune risultano false per ogni assegnazione di valori di verità alle lettere componenti, e sono dette CONTRADDIZIONI. Per esercizio trovare tra le formule che seguono almeno una tautologia, almeno una contraddizione e almeno una che non sia né una tautologia, né una contraddizione.

21 A ((B ~A) A) ~A ((B & ~A) A) (A (B A)) A A ((B & ~A) A) ~B ((B ~A) A) ~B & ((B ~A) A) ~(A & (B A)) A ~A & ((B ~C) A) ((A B) & (B C)) (A C) (A & ( B A)) A A ((B ~A) ~A) ~A & (~A A) (A (B & A)) ~A ~A (~A A) (A & (B A)) B (A ~B) (B A) (A & ~A) B B (A ~A)

22 Uninferenza formulata nel linguaggio naturale è valida se la sua forma inferenziale è valida. Ma cosa vuol dire che una forma inferenziale è valida? Se la forma inferenziale è formulata nel linguaggio della logica proposizionale, ciò significa che le lettere enunciative che occorrono in essa non possono assumere valori di verità tali che le premesse siano vere e la conclusione falsa. Relativamente al linguaggio della logica proposizionale, il metodo delle tavole di verità può essere usato per verificare la validità di una forma inferenziale. TAVOLE DI VERITÀ E VALIDITÀ INFERENZIALE

23 Come esempio consideriamo la seguente forma inferenziale: A B, B | _ A Costruiamo la tavola di verità di tutte le formule di questa forma inferenziale nel modo seguente: A B A B, B | _ A V VV V V FV FV V F V F F V F FV F V F V V FV VF F F F V F VF VF Quindi controlliamo che in tutte le righe nelle quali le premesse risultano vere anche la conclusione risulti vera. Nel nostro esempio le premesse sono vere in una sola riga e in essa anche la conclusione è vera. Dunque la forma inferenziale è valida.

24 Esempio La seguente forma inferenziale A B, B | _ A non è valida. Infatti, se costruiamo la tavola di verità di tutte le formule di questa forma inferenziale: A B A B, B | _ A V VV V V V V V F V F F F V F V F V V V F x F F F V F F F vediamo che non in tutte le righe nelle quali le premesse risultano vere anche la conclusione risulta vera. Nella terza riga le premesse sono vere e la conclusione è falsa.

25 P Q R R | _ P (P (P & Q)) V V V V V V V V V V V V V F F V V V V V V V V F V V V V V V V F F V F F F V V V V V F F F V V V F V F F F F V F V F F F V F F F F V F F V V F V F F F F F F F F F F V F F F F F Esempio: Poiché la conclusione è una tautologia, non si può dare il caso le premesse - la premessa, nel nostro caso - siano vere e la conclusione falsa, e dunque lo schema inferenziale è valido.

26 La seguente forma inferenziale A & A | _ B è valida. Se costruiamo la tavola di verità di tutte le formule di questa forma inferenziale: A B A & A | _ B V VV F FV V V F V F FV F F V F F VF V F F F F VF F vediamo che in nessuna riga la premessa risulta vera e la conclusione falsa e dunque la condizione di validità è soddisfatta.

27 Definizione: La formula X è logicamente equivalente (per brevità log-eq) alla formula Y se e solo se per ogni assegnazione di valori di verità alle lettere enunciative che occorrono in X o in Y, le formule X e Y hanno lo stesso valore di verità. Esempi: ( A & B ) log-eq ( A B) (I legge di De Morgan) ( A B ) log-eq ( A & B) (II legge di De Morgan) ( A & B ) log-eq ( A B) ( A B ) log-eq ( A & B) A B log-eq A B A B log-eq ( A & B ) RELAZIONI LOGICO-SEMANTICHE TRA FORMULE

28 A & B log-eq ( A B ) A B log-eq A B Teorema: La formula X è logicamente equivalente alla formula Y se e solo se X Y è una tautologia. Ne segue che sono tautologie: ( A & B ) ( A B) ( A B ) ( A & B) ( A & B ) ( A B) ( A B ) ( A & B) A B A B ( A & B ) ( A & B ) ( A B ) ( A B )

29 Invece di dire che una forma inferenziale è valida, si dice spesso che la conclusione segue logicamente dalle premesse, o è una conseguenza logica delle premesse. Relativamente al linguaggio della logica proposizionale la nozione di conseguenza logica si definisce come segue. Definizione La formula X è conseguenza logica della formula Y (o segue logicamente dalla formula Y, per brevità Y I= X) se e solo se per ogni assegnazione di valori di verità alle lettere enunciative che occorrono in X o in Y, se Y è vera, anche X è vera [equivalentemente: …se e solo se non cè alcuna assegnazione di valori di verità alle lettere enunciative che occorrono in X o in Y tale che Y sia vera e X sia falsa] Esempi: A I= A A & B I= A B

30 A & A I= B B I= A A A I= B A Teorema La formula X è conseguenza logica della formula Y se e solo se Y X è una tautologia. Perciò sono tautologie: A ( A & B ) ( A B ) ( A & A ) B B ( A A ) A ( B A )

31 Definizione generalizzata La formula X è conseguenza logica delle formule Y 1, …, Y n (o segue logicamente dalle formule Y 1, …, Y n, per brevità Y 1, …, Y n I= X) se e solo se per ogni assegnazione di valori di verità alle lettere enunciative che occorrono in Y 1 o …o in Y n o in X, se Y 1, …, Y n sono vere, anche X è vera. [Equivalentemente: …se e solo se non cè alcuna assegnazione di valori di verità alle lettere enunciative che occorrono in X o in Y 1 o …o in Y n tale che Y 1, …, Y n siano vere e X falsa] Esempi: A, B I= A & B A, A B I= B A B, B I= A

32 Teorema La formula X è conseguenza logica delle formule Y 1, …, Y n (o segue logicamente dalle formule Y 1, …, Y n, per brevità Y 1, …, Y n I= X) se e solo se la formula ( Y 1 … Y n ) X è una tautologia. Ne segue che sono tautologie: ( A & B ) ( A & ( A B )) B (( A B ) & B ) A OSSERVAZIONE IMPORTANTE: Il connettivo NON esprime la relazione di conseguenza logica. Solo quando è il connettivo principale di una tautologia, rappresenta il fatto che il conseguente segue logicamente dallantecedente.

33 ALBERI DI REFUTAZIONE Le tavole di verità sono, in generale, un metodo di verifica inefficiente della tautologità, della contraddittorietà e della validità inferenziale. In particolare sono inefficienti, quando occorrono molte lettere enunciative. Rispetto agli stessi obiettivi sono più efficienti gli alberi di refutazione. Data una lista di formule, un ALBERO DI REFUTAZIONE è una ricerca esaustiva dei modi in cui tutte le formule della lista possono essere vere. Per VERIFICARE LA VALIDITÀ DI UNA FORMA INFERENZIALE mediante gli alberi di refutazione, 1) si forma una lista composta dalle sue premesse e dalla negazione della conclusione;

34 2) si analizzano le formule della lista allo scopo individuare le sequenze di lettere enunciative o loro negazioni tali che se è possibile valutarle come vere, risultano vere anche le formule della lista iniziale. 3) Se mediante lanalisi si trova qualche assegnazione di verità o falsità alle lettere enunciative che rende vere tutte le formule della lista, allora, rispetto a quellassegnazione, le premesse della forma inferenziale sono vere mentre la conclusione è falsa, cioè si è dimostrato che la forma è invalida. Se invece la ricerca non permette di scoprire nessuna assegnazione di verità o falsità alle lettere enunciative che renda vere tutte le formule della lista, allora il tentativo di refutazione è fallito e la forma è valida.

35 Verifica della validità di A B, B | _ A (o di: A B, B |= A ) *A B B A ** AB Le formule scritte nella riga che comincia con ** si ricavano da A B, la formula preceduta da *, pensando alle condizioni sotto le quali questa formula è vera, cioè: A vero o B vero. Se seguiamo entrambi i rami che partono da *, vediamo che in ciascuno di essi non abbiamo mai una lettera enunciativa e la sua negazione. Abbiamo, invece, B e A che possono essere resi veri assegnando a B vero e ad A falso. Per questa assegnazione le formule A B, B e A risultano tutte vere, quindi risultano vere A B, B e falsa A. Ciò mostra che

36 la forma inferenziale A B, B | _ A non è valida o (equivalentemente) non è vero che A B, B |= A Verifica della validità di A&B | _ A (o di: A&B |= A ) * A&B + A ** A ** B ++ A In questo caso abbiamo un unico ramo, e in esso compare la lettera A e la sua negazione A. Quindi in tutti i rami abbiamo una lettera e la sua negazione. Ciò vuol dire che non esiste alcun modo di rendere vera la premessa A&B e falsa la conclusione A. Ciò mostra che

37 la forma inferenziale A&B | _ A è valida o (equivalentemente) A&B |= A Esempi più complessi si trovano nel testo di Varzi et al. (II ed.), pp Conviene esaminarli dopo aver letto e compreso le seguenti regole: Negazione ( ): Se un cammino aperto contiene sia una formula, sia la sua negazione, scrivere una 'X' in fondo al cammino. Negazione negata ( ): Se un cammino aperto contiene una formula non segnata della forma, segnarla e scrivere alla fine di ogni cammino aperto contenente la formula appena segnata.

38 Congiunzione (&): Se un cammino aperto contiene una formula non segnata della forma &, segnarla e scrivere e alla fine di ogni cammino aperto contenente la formula appena segnata. Disgiunzione ( ): Se un cammino aperto contiene una formula non segnata della forma, segnarla, tracciare due rami sotto ciascun cammino aperto contenente la formula appena segnata, e scrivere alla fine del primo ramo e alla fine del secondo. Condizionale ( ): Se un cammino aperto contiene una formula non segnata della forma, segnarla, tracciare due rami sotto ciascun cammino aperto contenente la formula appena segnata, scrivere ~ alla fine del primo ramo e alla fine del secondo. Bicondizionale ( ): Se un cammino aperto contiene una formula segnata della forma, segnarla e tracciare due rami sotto ciascun cammino aperto che contiene la formula appena segnata, scrivere e alla fine del primo ramo e scrivere e alla fine

39 del secondo. Congiunzione negata ( &): Se un cammino aperto contiene una formula non segnata della forma ( & ), segnarla e tracciare due rami sotto ciascun cammino aperto contenente la formula appena segnata, scrivere alla fine del primo e alla fine del secondo. Disgiunzione negata ( ): Se un cammino aperto contiene una formula non segnata della forma ( ), segnalarla e scrivere sia che alla fine di ogni cammino aperto contenente la formula appena segnata. Condizionale negato ( ): Se un cammino aperto contiene una formula non segnata della forma ( ), segnarla e scrivere sia che alla fine di ogni cammino aperto contenente la formula appena segnata.

40 Bicondizionale negato ( ): Se un cammino aperto contiene una formula non segnata della forma ( ), segnarla e tracciare due rami sotto ciascun cammino aperto contenente la formula appena segnata, scrivere e alla fine del primo ramo e scrivere e, alla fine del secondo. VERIFICA DELLA TAUTOLOGICITÀ Un albero di refutazione può essere costruito anche per verificare la tautologicità di una formula. Ad esempio il seguente albero prova che la formula A&B A è una tautologia. * A&B A * A&B * A A B A

41 Finora ci siamo occupati delle forme inferenziali e delle leggi logiche da un punto di vista semantico, utilizzando tecniche per testare la validità deduttiva di forme argomentative (o relazioni di conseguenza logica tra premesse e conclusione) e la tautologità di una formula. Queste tecniche sono basate sullinterpretazione intesa degli operatori logici. Tuttavia quando deduciamo procediamo in modo diverso. Senza controllare direttamente la validità, procediamo per piccoli passi fino a che otteniamo la conclusione che ci interessa. Ciascun passo può essere considerato il risultato dellapplicazione di una regola dinferenza. In generale

42 Una REGOLA DINFERENZA è uno schema che rappresenta una classe di passi inferenziali. Le regole dinferenza più semplici e usuali hanno la forma: Y 1. Y n X dove Y 1, …, Y n sono le premesse e X la conclusione della inferenza. Definizione Una regola dinferenza della logica enunciativa è logicamente valida se e solo se la conclusione X è conseguenza logica delle premesse Y 1, …, Y n.

43 Ci sono alcuni passi inferenziali molto elementari che sono governati da regole dinferenza (valide) basate sul significato dei connettivi. Eliminazione della negazione (~E): Da una formula della forma ~~ possiamo inferire. ~~ Eliminazione del condizionale ( E): Da un condizionale e dal suo antecedente possiamo inferire il suo conseguente.

44 Esempio di derivazione 1~A ~~BAss. 2~~~A Ass. 3~A2 ~E 4~~B1,3 E 5B4 ~E Questa derivazione mostra che la forma inferenziale ~A ~~B, ~~~A | _ B è valida poiché le regole dinferenza in essa applicate per ottenere la conclusione B dalle premesse ~A ~~B e ~~~A sono valide.

45 Introduzione della congiunzione (&I): Da formule qualsiasi e ψ, possiamo inferire la congiunzione &ψ. & Eliminazione della congiunzione (&E): Da una congiunzione possiamo inferire luno o laltro dei congiunti. & &

46 Esempio di derivazione 1(A & B) (C & D)Ass. 2~~A Ass. 3BAss. 4A2 ~E 5A & B 3, 4 &I 6C & D 1, 5 E 7D6 &E Questa derivazione mostra che la forma inferenziale (A & B) (C & D), ~~A, B | _ D è valida poiché le regole dinferenza in essa applicate per ottenere la conclusione dalle assunzioni sono valide.

47 Introduzione della disgiunzione ( I): Da una formula possiamo inferire la disgiunzione di con qualsiasi formula ( può essere sia il primo che il secondo disgiunto di questa disgiunzione). Eliminazione della disgiunzione ( E): Da formule della forma, χ, e χ possiamo inferire la formula χ. χ

48 Esempi di derivazioni 1AAss. 2A B 1 I 3A C 1 I 4(A B) & (A C) 2,3 &I Ciò dimostra: A | _ (A B) & (A C) 1A B Ass. 2A (C & ~C)Ass. 3B (C & ~C)Ass. 4C & ~C 1,2,3 E Ciò dimostra: A B, A (C & ~C), B (C & ~C) | _ C & ~C

49 Introduzione del bicondizionale ( I): Da due qualsiasi formule della forma ( ) e ( ) possiamo inferire. Eliminazione del bicondizionale( E): Da una qualsiasi formula della forma, possiamo inferire o.

50 Esempi di derivazioni 1A B Ass. 2(A B) (B A) Ass. 3B A 1,2 E 4A B 1,3 I Ciò dimostra: A B, (A B) (B A) | _ A B È facile comprendere, e anche ricordare, le regole riguardanti il bicondizionale tenendo conto che è logicamente equivalente a (( ) & ( )) e quindi introdurre ed eliminare un bicondizio_ nale è come, rispettivamente, introdurre ed eliminare una congiunzione.

51 Le regole dinferenza introdotte finora hanno tutte la forma hanno la forma: Y 1.. Y 1, …, Y n.o Y n X dove Y 1, …, Y n sono le premesse e X la conclusione della inferenza. Altre regole, quelle riguardanti lintroduzione di e di ~ hanno invece la seguente forma: [Y]. Z X

52 dove Y è unipotesi aggiuntiva che non compare tra le ipotesi già date, o assunte fin dallinizio. Se da essa si deriva Z allora si può concludere X, scaricando Y cosicché X non dipende da Y. Il ruolo dellipotesi Y è bene illustrato nelle pp. 87 e 88 di Varzi et al., dove regole che hanno questa forma sono presentate con il nome di REGOLE IPOTETICHE. Introduzione della negazione (~I): Data la derivazione di un assurdo da una ipotesi, scaricare lipotesi e inferire ~. [ ]. & ~ ~

53 Introduzione del condizionale ( I): Data la derivazione di una formula da una ipotesi, scaricare lipotesi e inferire. [ ]. Si osservi che lintroduzione della negazione rappresenta il modo in cui si ragiona per assurdo, mentre lintroduzione del condizionale rappresenta il modo in cui si dimostrano teoremi della forma Se A, allora B. Ricordiamo che in questo caso si procede assumendo lipotesi A e derivando B da A e dagli assiomi (o teoremi già dimostrati) e da altre ipotesi che si hanno a disposizione.

54 Esempi di derivazioni 1A BAss. 2~B Ass. 3 A [Ass.] 4 B1,3 E 5 B & ~B2,4 &I 6 ~A 3-5 ~I Ciò dimostra: A B, ~B | _ ~A (Modus tollens) 1A B Ass. 2B C Ass. 3 A [Ass.] 4 B 1,3 E 5 C2,4 E 6A C 3-5 I Ciò dimostra: A B, B C | _ A C


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