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Logica Matematica Seconda lezione Teoria Formale Assiomatica L Linguaggio formale per il calcolo proposizionale.

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Presentazione sul tema: "Logica Matematica Seconda lezione Teoria Formale Assiomatica L Linguaggio formale per il calcolo proposizionale."— Transcript della presentazione:

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2 Logica Matematica Seconda lezione

3 Teoria Formale Assiomatica L Linguaggio formale per il calcolo proposizionale.

4 È dato un insieme al più numerabile di simboli. In L i simboli sono : -connettivi primitivi, negazione, implicazione -parentesi (,) -lettere enunciative A 1, A 2,...A n. Una sequenza finita di simboli si chiama Espressione. 1

5 Le formule ben formate sono particolari espressioni individuate dalla definizione seguente: (a) Le lettere enunciative sono f.b.f. (b) Se A e B sono f.b.f. lo sono anche ( A ) e ( A B ). A : negazione di A; A B : A implica B. 2

6 Si privilegia un insieme di f.b.f. da chiamare Assiomi. La teoria si dice assiomatica se esiste un procedimento che permette di decidere effettivamente se una fbf è un assioma. Nel nostro caso gli assiomi (o, più precisamente, schemi di assiomi) sono : 3

7 Schemi di Assiomi di L A1 ( A ( B A )) Da A segue ( B implica A). A2 (( A ( B C )) (( A B ) ( A C )) ) Se da A segue (B implica C), da (A implica B) segue (A implica C). A3 (( B A ) (( B A ) B )). Se da (non B) segue (non A), da ((non B) implica A) segue B. RITORNO

8 Regole di inferenza Esiste un insieme finito di relazioni tra fbf dette regole di inferenza. In L abbiamo una sola regola di inferenza, il Modus Ponens ( M P ): - Date le fbf. A e A B, - B risulta conseguenza diretta di A e A B. 4

9 Dimostrazione Sequenza di formule ben formate i cui elementi sono assiomi o conseguenze dirette di fbf precedenti per mezzo di una delle regole di inferenza (M P).

10 Teorema Una fbf A con la proprietà che esiste una dimostrazione la cui ultima fbf è A.

11 Decidibilità La teoria si dice decidibile quando esiste un procedimento meccanico che permette di stabilire se una qualsiasi fbf è un teorema oppure no.

12 Conseguenza Una fbf A si dice conseguenza di un insieme di fbf. se A è lultima fbf di una sequenza che contiene assiomi, conseguenze dirette e fbf. di. Si ha, in tal caso, una deduzione di A da. Si usa scrivere: | A. Quando è linsieme vuoto, si scrive | A. In questultimo caso, A è un teorema.

13 Esempio di teorema in L Lemma 1.7 | A A. 1) ( ( A (( A A ) A ) ) ( ( A ( A A )) ( A A ) ) ) (A2) 2) ( A (( A A ) A )) (A1) 3) ( ( A ( A A )) ( A A ) ) 2), 1), MP 4) ( ( A ( A A )) (A1) 5) ( A A ) 4), 3), MP Nelle applicazioni degli schemi di assiomi si sostituisce B con (A A) Schemi di assiomi

14 Principio dinduzione finita Data una proposizione P n, si supponga che siano soddisfatte le seguenti condizioni: 1) P 1 è vera; 2) Supposta vera P n, si riesce a dimostrare che è vera anche P n+1. ___________________ Si può, allora, affermare che P n è vera per ogni n.

15 Principio dinduzione finita:esempio La somma dei primi n numeri dispari è n 2. Laffermazione è vera per n=1. Supposto, per ipotesi induttiva, che laffermazione sia vera per n numeri dispari (cioè che n-1= n 2 ), bisogna far vedere che essa risulta vera anche per n+1.

16 Principio dinduzione finita:esempio Infatti, l(n+1)esimo numero dispari si scrive 2(n+1)-1 = 2n+1 e, sommandolo a n 2, si ottiene n 2 +2n+1=(n+1) 2

17 Teorema di deduzione Se, A | B allora | A B. (Se B è una conseguenza delle ipotesi e A, allora A B è una conseguenza di ). In particolare, nel caso in cui è linsieme vuoto, si ha che: se A | B allora | A B. (Se B è una conseguenza di A, allora A B è un teorema).

18 Dimostrazione Sia B 1, B 2,... B n = B una deduzione di B da, A. Il teorema è vero per n=1: - Se B 1 è un assioma o B 1, poiché anche ( B 1 ( A B 1 )) è un assioma, per MP si ottiene | A B 1. - Se B 1 è A, per il lemma precedente si ha che | A A e, a maggior ragione, | A A. SCHEMI DI ASSIOMI

19 Per ipotesi induttiva, sia il teorema vero per ogni k

20 Se B i è ottenuto per MP da due elementi precedenti della sequenza, essi dovranno assumere la forma B j e ( B j B i ) e, per ipotesi induttiva, si avrà : | A B j e | A ( B j B i). Ma (( A ( B j B i ) ) ( ( A B j ) ( A B i ) )) è un assioma e, per MP applicato due volte, si otterrà, finalmente, | A B i.

21 Proposizione 1.11 Ogni teorema di L è una tautologia. Infatti, gli assiomi sono tautologie e lMP fa passare da tautologie a tautologie.

22 Corollario 1.9a) A B, B C | A C Dimostrazione 1) A B ip 2) B C ip. 3) A ip. 4) B 1, 3, MP 5) C 2, 4, MP _________________ A B, B C, A | C Per il teorema di deduzione A B, B C | A C RITORNO

23 Corollario 1.9b) A ( B C ), B | A C Dimostrazione 1) A ( B C ) ip 2) A ip. 3) B ip. 4) B C 1, 2, MP 5) C 3, 4, MP _________________ A ( B C ), B, A | C Per il teorema di deduzione A ( B C ), B | A C RITORNO

24 Lemma 1.10 a) | B B. 1) ( B B ) (( B B ) B ) A3 2) ( B B ) lemma 1.7 3) ( B B ) B 1, 2, cor. 1.9b 4) B ( B B ) A1 5) B B 3, 4, cor. 1.9a Corollario 1.9a)Corollario 1.9b)Assiomi

25 Lemma 1.10 b) | B B. 1) ( B B ) (( B B ) B ) A3 2) ( B B ) Lemma1.10a 3) ( B B ) B 1, 2, MP 4) B ( B B ) A1 5) B B 3,4,cor. 1.9a RITORNOASSIOMI

26 C) | A ( A B ). 1) A ip. 2) A ip. 3) A ( B A ) A1 4) A ( B A ) A1 5) B A 2, 3, MP 6) B A 1, 4 MP 7) ( B A ) (( B A ) B ) A3 8) ( B A ) B 6, 7, MP 9) B 5, 8, MP ________________________________________ Perciò A, A | B e, per il teorema di deduzione, | A ( A B ). RITORNO

27 d) | ( B A ) ( A B ) 1) B A ip. 2) A ip. 3) ( B A ) ( B A ) B A3 4) A ( B A ) A1 5) ( B A ) B 1, 3, MP 6) A B 4, 5, cor. 1.9a 7) B 2, 6, MP Perciò ( B A ), A | B ) e, con due successive applicazioni del teorema di deduzione | ( B A ) ( A B )

28 e)| ( A B ) ( B A ) 1) A B ip. 2) A A parte a) 3) A B 1, 2, cor.1.9a) 4) B B parte b) 5) A B 3, 4, cor.1.9a) 6)( A B ) ( B A ) parte d) 7)( B A ) 5, 6. MP _____________________________________ Perciò A B | B A e, per il teorema di deduzione | ( A B ) ( B A ).

29 f) | A ( B ( A B ) 1) A ip. 2) A B ip. 3) B 1, 2, MP Perciò A, A B | B e, per il teorema di deduzione, | A (( A B ) B ). 4) A (( A B ) B ) 5)(( A B ) B ). ( B ( A B )) Lemma 1.10 e) 6) A ( B ( A B ) 4, 5, cor.1.9a RITORNO

30 g) | ( A B ) (( A B ) B ) 1) ( A B ) ip. 2) A B ip. 3) ( A B ) ( B A ) parte e) 4) B A 1, 3, MP 5) ( A B ) ( B A ) parte e) 6) B A 2, 5, MP 7) ( B A ) ( B A ) B A3 8) ( B A ) B 6, 7, MP 9) B 4, 8, MP Perciò A B, A B| A e, per il t. di deduzione | ( A B ) (( A B ) B ). RITORNO

31 Lemma 1.12 Sia A una fbf e B 1,..., B k le lettere enunciative che occorrono in A. Per una data assegnazione di valori di verità a B 1,..., B k, siano B 1,..., B k tali che B i sia B i se B i assume il valore di verità V, B i sia Bi se B i assume il valore F. In maniera analoga A sarà A se questultima assume il valore V, A sarà A se A assume il valore F. Allora B 1,..., B k | A.

32 Esempio di applicazione del lemma 1.12

33 Dimostrazione del lemma 1.12 Se n=0 allora A è una lettera enunciative B 1 e il lemma si riduce a B 1 | B 1 e B 1 | B 1. Supponiamo che il lemma valga per tutte le fbf con un numero di connettivi primitivi j < n :

34 1 ) A è B. B ha meno occorrenze di A. a) B ha il valore V e A ha il valore F. B è B e A è A. Per ipotesi induttiva B 1,..., B k | B e, poiché B B ** si ha, per MP, B 1,..., B k | B, cioè B 1,..., B k | A ** lemma 1.10b LEMMA 1.10

35 b) B ha il valore F e A il valore V. B è B e A è A. Per ipotesi induttiva B 1,..., B k | B, cioè B 1,..., B k | A

36 2) A è ( B C ). Poiché B e C hanno meno occorrenze di A per ipotesi induttiva si avrà B 1,..., B k | B e B 1,..., B k | C. a) B ha il valore F e A il valore V. B 1,..., B k | B e B 1,..., B k | ( B C ) ***. Ma ( B C ) è A, per cui B 1,..., B k | A *** Lemma 1.10c)

37 b ) C ha il valore V e, quindi, A il valore V. B 1,..., B k C e, per lo schema dassiomi A1 e MP, B 1,..., B k B C. Quindi, B 1,..., B k A.

38 c) C ha il valore F e B il valore V, quindi A ha il valore F. B 1,..., B k | C, quindi, B 1,..., B k | ( B C ) ****. Poiché ( B C ) è A, si ha la tesi. **** Lemma 1.10f)

39 Teorema di completezza Se una formula ben formata è una tautologia, allora essa è un teorema di L.

40 Dimostrazione : essendo A una tautologia, essa ha sempre il valore V. Il lemma 1.12 dà le due relazioni di deduzione: B 1,...,B k-1, B k | A B 1,...,B k-1, B k | A. Per il teorema di deduzione si ha B 1,...,B k-1 | B k A B 1,...,B k-1 | B k A. Si ha, quindi, B 1,...,B k-1 | A. ***** Applicando k volte questo procedimento si ottiene | A. ***** Lemma 1.10g)

41 Corollario 1.15 Il sistema L è consistente, cioè non esiste alcuna fbf. A tale che tanto A quanto A siano teoremi di L. Dimostrazione. Ogni teorema di L è una tautologia e, dato che la negazione di una tautologia non può essere, a sua volta, una tautologia, si ottiene la tesi.

42 Si osservi che L è consistente se e solo se non tutte le sue fbf sono teoremi. Infatti, se L è consistente, le negazioni dei teoremi sono fbf che non sono teoremi..

43 Viceversa, se L è inconsistente (cioè, se ammette come teoremi una fbf e la sua negazione), allora, 1) A ip. 2) A ip. 3) A ( A B ) lemma 1.10c 4) A B 1, 3, MP 5) B 2, 4, MP

44 Perciò, se L è inconsistente, qualsiasi formula ben formata B è un teorema di L. Una teoria nella quale non tutte le fbf sono teoremi è detta assolutamente consistente..

45 Indipendenza di assiomi Proposizione Ogni schema di assiomi A1-A3 è indipendente. Dimostrazione. Indipendenza di A1. Si considerino le seguenti tavole :

46 Negazione A A

47 Condizionale

48 Se una formula ben formata A assume sempre il valore 0, diciamo che A è una scelta. LMP fa passare da fbf scelte a fbf scelte. Gli schemi di assiomi A2 e A3 sono scelti, mentre A1 non è scelto. Con tecniche analoghe si fa vedere lindipendenza degli altri schemi di assiomi.


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