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I NUMERI INTERI Il secondo insieme che prenderemo in esame è quello dei numeri interi. Esso si indica con la lettera Z (dal tedesco Zahl = numero) e i.

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1 I NUMERI INTERI Il secondo insieme che prenderemo in esame è quello dei numeri interi. Esso si indica con la lettera Z (dal tedesco Zahl = numero) e i suoi elementi sono i numeri naturali, più i numeri negativi (interi): Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } Possiamo pensare a Z come ottenuto da N "aggiungendo" ad esso una "nuova copia" dei numeri 1,2,3,... che però si distingue da quella precedente per quel segno "-" posto in fronte ad essi; possiamo pensarli come numeri "rossi" se ci immaginiamo un conto in banca: infatti il primo uso dei numeri negativi è quello di rappresentare dei debiti (già in papiri egizi si trovano numeri che hanno questo significato).

2 Come si definiscono le operazioni in Z ?

3 La somma Dobbiamo definire come sommare due elementi a,b є Z: se a,b є N non ci sono problemi, eseguiamo la somma come facciamo in N; altrimenti procediamo così: - se a > 0 e b |b| : a+b = a - |b|; - se a > 0 e b < 0 con |a|< |b| : a+b = - (|b| - a) ; - se a > 0 e b < 0 con |a|= |b| : a+b = 0 ; - se a = 0: 0+b = b + 0 = b; - se a < 0 e b < 0 : a+b = - (|a|+ |b| ). L'idea intuitiva, pensando a quantità di denaro, è che sommare un numero negativo significa "acquisire un debito" e quindi equivale a sottrarre il corrispondente numero positivo.

4 In Z la somma ha una nuova proprietà : esistenza dellelemento inverso: per ogni a є Z, esiste un numero a' є Z, tale che a+a' = a+a' = 0. Infatti se a >0, basta prendere a' = -a, mentre se a < 0, a' = |a| (se invece a = 0, anche a' = 0). Poiché questa notazione è immediata per i numeri positivi, indicheremo l'inverso di un numero a є Z, con -a, ad esempio: -(-4)= 4.

5 Il Prodotto Il prodotto di due numeri interi relativi si calcola moltiplicando i valori assoluti dei numeri e associando il segno + al prodotto se i due fattori sono concordi (positivi o negativi) o il segno – se i due fattori sono discordi. Semplicemente possiamo riassumere: Più per più fa più, più per meno fa meno, meno per meno fa più.

6 La Sottrazione Questa è l'operazione per la quale abbiamo un cambiamento sostanziale: in un certo senso si può dire che abbiamo introdotto i numeri negativi proprio per rendere la sottrazione sempre possibile. Vediamolo, ricordiamo che si tratta dell'operazione inversa della somma: Definizione: Dati due numeri interi a, b є Z, si dice a - b quel numero intero x, che sommato a b dia a. Cioè : a - b = x se e solo se a = b + x. Questa operazione è ora definita su tutto Z poiché in Z esiste lelemento inverso rispetto alla somma: se denotiamo con b' l'inverso di b, avremo: a - b = a + b Quindi, in Z, "sottrarre è uguale a sommare l'opposto"; ad esempio: 4 - (-5) = = 9 ; = -3 + (-7) = -10 ; -2 - (-2) = = 0.

7 Il segno " - " E' importante notare che il segno "-", per come lo abbiamo usato in Z, assume ben tre significati diversi! -Usiamo il segno meno per indicare i numeri negativi, come -5, -4, In questa accezione il segno "-" non è usato per indicare un' operazione, ma solo una specie di "segnaposto", per caratterizzare i nuovi numeri, -"-" è usato come simbolo dell'operazione di sottrazione, -il segno meno si usa per indicare "l'opposto di " : - (-7) = " l'opposto di -7 " = 7 ; (In quel "- (-7)", il primo ed il secondo simbolo "meno" hanno due significati diversi: il primo sta per "l'opposto di", mentre il secondo è quello che abbiamo già notato, il "segnaposto" dei numeri negativi.)

8 La Divisione Per questa operazione, le cose non cambiano molto: come non la potevamo eseguire sempre in N, così non possiamo in Z. Notiamo soltanto che, quando si può effettuare la divisione, essa si esegue con regole fra i segni analoghe a quelle del prodotto. Ad esempio: 12 : (-3) = -(12 : 3) = -4 ; (-15) : 5 = - (15 : 5) = -3 ; (-28) : (-7) = 28 : 7 = 4.


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