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Samuele Antonini Mirko Maracci Dipartimento di Matematica Università di Pavia Mondo sferico e mondo piano Progetto di Formazione e Ricerca “Oggetti, Forme,

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Presentazione sul tema: "Samuele Antonini Mirko Maracci Dipartimento di Matematica Università di Pavia Mondo sferico e mondo piano Progetto di Formazione e Ricerca “Oggetti, Forme,"— Transcript della presentazione:

1 Samuele Antonini Mirko Maracci Dipartimento di Matematica Università di Pavia Mondo sferico e mondo piano Progetto di Formazione e Ricerca “Oggetti, Forme, Misure” Fermo, 27 febbraio 2014

2 Insegnamento della geometria nel I ciclo: quali traguardi? TRAGUARDI INFANZIA L’alunno esplora la realtà, riflette sulle proprie esperienze descrivendole, rappresentandole, riorganizzandole con diversi criteri ponendo le basi per l'elaborazione dei concetti scientifici e matematici. Gioca in modo costruttivo e creativo con gli altri, sa argomentare, confrontarsi, sostenere le proprie ragioni con adulti e bambini.

3 Insegnamento della geometria nel I ciclo: quali traguardi? TRAGUARDI PRIMARIA Riconosce e rappresenta forme del piano e dello spazio, relazioni e strutture che si trovano in natura o che sono state create dall’uomo Descrive, denomina e classifica figure in base a caratteristiche geometriche, ne determina misure, progetta e costruisce modelli concreti di vario tipo Costruisce ragionamenti formulando ipotesi, sostenendo le proprie idee e confrontandosi con il punto di vista di altri. Produce semplici modelli o rappresentazioni grafiche del proprio operato utilizzando elementi del disegno tecnico o strumenti multimediali.

4 Insegnamento della geometria nel I ciclo: quali traguardi? TRAGUARDI SECONDARIA 1° GRADO Riconosce e denomina le forme del piano e dello spazio, le loro rappresentazioni e ne coglie le relazioni tra gli elementi Riconosce e risolve problemi in contesti diversi valutando le informazioni e la loro coerenza. Rafforza un atteggiamento positivo rispetto alla matematica attraverso esperienze significative e ha capito come gli strumenti matematici appresi siano utili in molte situazioni per operare nella realtà.

5 Traguardi in sintesi Sviluppare “significati geometrici” a partire da esperienze e oggetti concreti. Sviluppare abilità specifiche relative a forme di pensiero tipiche della geometria e della matematica. Sviluppare un “atteggiamento matematico”, far esperienza del lavoro del matematico. Come raggiungere tali obiettivi? Quali indicazioni dalle Indicazioni? Quali dalla ricerca in didattica?

6 Ipotesi didattiche e scelte metodologiche Come raggiungere tali obiettivi? Quali indicazioni dalle Indicazioni? Quali dalla ricerca in didattica? L'importanza dell'esperienza senso-motoria “La Geometria prende le mosse dall’esperienza spaziale, visiva e tattile, o anche motoria (noi ci muoviamo tra gli oggetti e li spostiamo)” (Speranza, 1988). Le esperienze di tipo senso-motorio sono fondamentali per la formazione di concetti anche astratti di matematica (Arzarello & Robutti, 2009; Gallese & Lakoff, 2005)

7 Ipotesi didattiche e scelte metodologiche Come raggiungere tali obiettivi? Quali indicazioni dalle Indicazioni? Quali dalla ricerca in didattica? L'uso di strumenti strutturano l'azione dell'individuo, orientano la percezione. L'uso di determinati strumenti da parte dell'alunno per risolvere problemi di matematica contribuisce a far sì che egli costruisca significati personali, potenzialmente “coerenti” con i significati matematici obiettivo dell'intervento didattico. (Bartolini Bussi & Mariotti, 2009)

8 Ipotesi didattiche e scelte metodologiche Come raggiungere tali obiettivi? Quali indicazioni dalle Indicazioni? Quali dalla ricerca in didattica? L'interazione sociale e il ruolo dell'insegnante Non si può pensare che “gli allievi [pur] in una situazione ricca e stimolante possano ricostruire da soli la quantità e varietà di strumenti matematici messi a punto dall'umanità nel corso dei secoli” (Bartolini Bussi, Boni & Ferri, 1995)

9 Ipotesi didattiche e scelte metodologiche Come raggiungere tali obiettivi? Quali indicazioni dalle Indicazioni? Quali dalla ricerca in didattica? L'interazione sociale e il ruolo dell'insegnante Organizza situazione problematica, gli strumenti, le modalità di interazione Favorisce l’esplicitazione dei sensi personali, la verbalizzazione Guida l’evoluzione di questi verso i significati matematici

10 Ipotesi didattiche e scelte metodologiche Come raggiungere tali obiettivi? L'importanza dell'esperienza senso-motoria L'uso di strumenti L'interazione sociale e il ruolo dell'insegnante “come momento in cui l’alunno è attivo, formula le proprie ipotesi e ne controlla le conseguenze, progetta e sperimenta, discute e argomenta le proprie scelte, impara a raccogliere dati, negozia e costruisce significati, porta a conclusioni temporanee e a nuove aperture la costruzione delle conoscenze personali e collettive” Laboratorio matematico

11 Consegna: Disegnate un quadrato su un pallone Un piccolo “esperimento”

12 Quadrato: un oggetto geometrico il cui significato è stabilito nell'ambito di una teoria, la geometria, che coglie e formalizza alcuni aspetti delle relazioni spaziali che l'individuo riconosce ed esperisce nella sua interazione con l'ambiente circostante. Disegno di un quadrato: un sistema di tratti grafici organizzati spazialmente che rappresenta l'oggetto geometrico teorico “quadrato” Disegnare un quadrato

13 Cosa è un quadrato? Un quadrilatero regolare Figura piana quadrangolare con quattro lati e quattro angoli uguali Un quadrilatero che ha tutti e quattro gli angoli retti e tutti e quattro i lati uguali Un quadrilatero con le diagonali uguali, perpendicolari che si bisecano tra loro Un quadrilatero con 4 assi di simmetria

14 Un quadrato! Dove? In che misura possiamo dire che il quadrilatero disegnato sulla sfera ha i lati uguali e gli angoli uguali? In che senso quelli tracciati possono considerarsi “lati”? I “lati” devono essere rettilinei, segmenti, porzioni di linee rette, dritti

15 E’ possibile andare dritti su una sfera? Dipende……….. …da cosa significa “andare dritti” Torniamo al piano. Cosa vuol dire andare drittto? Quali esperienze/idee sono collegate all'andare dritto?

16 Breve analisi dell’ “andare dritto” Proprietà dell’andare dritto: Minima lunghezza Simmetria Allineamento Decidiamo di considerare queste proprietà come caratterizzanti delle “linee dritte” su una superficie, anche non piana

17 “The geodesic lines, or geodesics, of a surface are a generalization of the straight lines of the plane. Like the straight lines, they are endowed with several important properties distinguishing them from all other curves on the surface. Hence they may be defined in various ways […] as shortest lines, as frontal lines, and as straightest lines.” “Le linee geodetiche di una superficie sono una generalizzazione delle rette nel piano. Come le rette, esse possiedono parecchie proprietà importanti che le distinguono dalle altre curve tracciate sulla superficie; perciò esse possono essere definite in diversi modi […] come le linee più brevi, le linee frontali, le linee più rette possibili.” (Hilbert e Cohn-Vossen, 1932/2001, p. 286/7, corsivo originale)

18 Breve analisi dell’ “andare dritto” Proprietà dell’andare dritto: Minima lunghezza Simmetria Allineamento Decidiamo di considerare queste proprietà come caratterizzanti delle “linee dritte” su una superficie, anche non piana Analisi teorica: Definizioni, teoremi, sistemazione in una teoria matematica Via sperimentale: ricerca di linee (simmetriche, di minima lunghezza, con proprietà dell’allineamento) con l’uso di opportuni strumenti Alla ricerca di strumenti che possono essere collegati a queste proprietà.

19 Gli strumenti dell’”andare dritto” Spago, elastici….. Nastro di carta, righe flessibili… Si tratta di strumenti di cui conosciamo il comportamento sul piano. Cosa succede sulla sfera? Minima lunghezza Simmetria AllineamentoOggetti da allineare (birilli, coni da palestra, alberelli di carta, …)

20 La retta sferica “Definizione”: chiamiamo rette sferiche quelle linee sulla sfera che soddisfano tre proprietà (minima lunghezza, simmetria, allineamento) dell’andare dritti; in altri termini sono linee sulle quali gli strumenti utilizzati si comportano come nel caso delle rette piane Proprietà geometrica: una retta sferica è una circonferenza di raggio massimo Definizione: una retta sferica è una circonferenza di raggio massimo Perché chiamarla “retta sferica” e non semplicemente “retta”? E in classe?

21 Il progetto PLS: alcuni dati 6 insegnanti 158 alunni 4 classi III 4 classi IV 2 classi V Anni scolastici 2012/2013 e 2013/ docenti universitari 4 istituti

22 L’attività didattica (o meglio: LE attività didattiche) 10 incontri con gli insegnanti: condivisione di obiettivi e della metodologia attività diverse nelle diverse classi

23 L’attività didattica Cosa significa “andare dritti” (sul piano): esperienze senso-motorie Uso di strumenti di controllo e tracciatura di linee piane Si può andare dritti sulla sfera? Uso degli strumenti sulla sfera (o meglio: LE attività didattiche) 10 incontri con gli insegnanti: condivisione di obiettivi e della metodologia attività diverse nelle diverse classi

24 Piano Sfera

25 Piano Sfera

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27 L’attività didattica Andare dritti sul piano

28 L’attività didattica Andare dritti sul piano

29 L’attività didattica Andare dritti sul piano

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31 L’attività didattica Andare dritti sulla lavagna

32 L’attività didattica Andare dritti sulla lavagna

33 L’attività didattica Andare dritti sulla sfera

34 L’attività didattica Andare dritti sulla sfera

35 L’attività didattica Andare dritti sulla sfera

36 Torniamo al quadrato E’ possibile disegnare un quadrato (un rettangolo, un triangolo) sulla sfera? Cosa è un segmento sferico? Domande correlate: e le rette sferiche parallele? perpendicolari? Cosa è un quadrato (un rettangolo, un triangolo)?

37 Rette sferiche parallele Non esistono rette sferiche parallele. Due rette sferiche distinte si incontrano sempre in due punti Esistono rette sferiche perpendicolari. In particolare ha senso parlare di angoli retti Rette sferiche perpendicolari Segmento e semiretta sferica Diverse possibilità…

38 Cos’è un quadrato? Proprietà del quadrato (piano): 4 lati uguali Lati a 2 a 2 paralleli 4 angoli uguali 4 angoli retti Diagonali uguali e perpendicolari Diagonali si incontrano nei punti medi …………… Esiste sulla sfera? Procedure per disegnare un quadrato Teoria: geometria sferica

39 Cos’è un quadrato? Proprietà del quadrato (piano):Procedure per disegnare un quadrato A partire da un lato, tracciando un lato uguale e perpendicolare, e così via. Problema sulla sfera 4 lati uguali Lati a 2 a 2 paralleli 4 angoli uguali 4 angoli retti Diagonali uguali e perpendicolari Diagonali si incontrano nei punti medi ……………

40 Cos’è un quadrato? Proprietà del quadrato (piano):Procedure per disegnare un quadrato A partire da diagonali uguali, perpendicolari e tali che si bisechino nei punti medi. Sulla sfera? 4 lati uguali Lati a 2 a 2 paralleli 4 angoli uguali 4 angoli retti Diagonali uguali e perpendicolari Diagonali si incontrano nei punti medi ……………

41 Cos’è successo? 4 lati uguali Lati a 2 a 2 paralleli 4 angoli uguali 4 angoli retti Diagonali uguali e perpendicolari Diagonali si incontrano nei punti medi …………… 4 lati uguali Lati a 2 a 2 paralleli 4 angoli uguali 4 angoli retti Diagonali uguali e perpendicolari Diagonali si incontrano nei punti medi …………… Piano Sfera 4 lati uguali Lati a 2 a 2 paralleli 4 angoli uguali 4 angoli retti Diagonali uguali e perpendicolari Diagonali si incontrano nei punti medi …………… Contraddizione !!! Non esistono quadrilateri con quattro angoli retti, non esistono rette parallele, …..

42 Cos’è successo? 4 lati uguali Lati a 2 a 2 paralleli 4 angoli uguali 4 angoli retti Diagonali uguali e perpendicolari Diagonali si incontrano nei punti medi …………… 4 lati uguali Lati a 2 a 2 paralleli 4 angoli uguali 4 angoli retti Diagonali uguali e perpendicolari Diagonali si incontrano nei punti medi …………… Piano Sfera 4 lati uguali Lati a 2 a 2 paralleli 4 angoli uguali 4 angoli retti Diagonali uguali e perpendicolari Diagonali si incontrano nei punti medi …………… 4 lati uguali Lati a 2 a 2 paralleli 4 angoli uguali 4 angoli retti Diagonali uguali e perpendicolari Diagonali si incontrano nei punti medi ……………

43 Cos’è successo? 4 lati uguali Lati a 2 a 2 paralleli 4 angoli uguali 4 angoli retti Diagonali uguali e perpendicolari Diagonali si incontrano nei punti medi …………… 4 lati uguali Lati a 2 a 2 paralleli 4 angoli uguali 4 angoli retti Diagonali uguali e perpendicolari Diagonali si incontrano nei punti medi …………… Piano Sfera 4 lati uguali Lati a 2 a 2 paralleli 4 angoli uguali 4 angoli retti Diagonali uguali e perpendicolari Diagonali si incontrano nei punti medi …………… 4 lati uguali Lati a 2 a 2 paralleli 4 angoli uguali 4 angoli retti Diagonali uguali e perpendicolari Diagonali si incontrano nei punti medi ……………

44 Il percorso didattico Idea centrale: Esplorazione diretta di modelli concreti di geometria piana e di geometria sferica, mediata dall’uso di specifici strumenti. Un oggetto o un sistema di oggetti che possono rappresentare agli occhi di un “esperto” enti geometrici astratti e alcune loro relazioni. Agli occhi degli alunni si tratta “solo” di oggetti che possono essere manipolati, descritti, ecc.

45 Il percorso didattico Idea centrale: Esplorazione diretta di modelli concreti di geometria piana e di geometria sferica, mediata dall’uso di specifici strumenti. Strumenti che possono evocare agli occhi di un “esperto” proprietà e relazioni geometriche. L'uso di strumenti contribuisce alla costruzione di significati personali potenzialmente “coerenti” con i significati matematici obiettivo.

46 Perché la geometria della sfera? Modello concreto di geometria della sfera Significati di geometria della sfera Costruzione di… osservare, individuare e descrivere regolarità; produrre congetture, testarle, validare le congetture prodotte; … Geometria del piano (esperienze personali & significati istituzionali)

47 Perché la geometria della sfera? Modello concreto di geometria della sfera Significati di geometria della sfera Geometria del piano (esperienze personali & significati istituzionali) Rielaborazione dei significati di geometria piana: In relazione alle esperienze senso-motorie alla base In relazione tra loro osservare, individuare e descrivere regolarità; produrre congetture, testarle, validare le congetture prodotte; … Costruzione di…

48 Grazie per l’attenzione

49 Bibliografia Arzarello F., e Robutti, O. (2009). Embodiment e multimodalità nell’apprendimento della matematica. L'Insegnamento della matematica e delle scienze integrate, pp Bartolini-Bussi M.G., Boni M. e Ferri M. (1995). Interazione sociale e conoscenza a scuola: la discussione matematica. Modena: CDE. _conoscenza_a_scuola.pdf Bartolini-Bussi, M.G. e Mariotti M.A. (2009). Mediazione semiotica nella didattica della matematica: artefatti e segni nella tradizione di Vygotskij. L'Insegnamento della matematica e delle scienze integrate, Vol. 32 A-B Gallese, V., & Lakoff, G. (2005).The brain’s concepts: the role of the sensory-motor system in conceptual knowledge. Cognitive Neuropsychology, 21, 1–25. Hilbert D., e Cohn-Vossen, S. (2001). Geometria intuitiva, Bollati Boringhieri Editore. (Originale pubblicato nel 1932). MIUR, (2012). Indicazioni nazionali per il curricolo della scuola dell’infanzia e del primo ciclo d’istruzione. Roma, Italia: MIUR. Speranza F. (1988). Salviamo la geometria! La matematica e la sua didattica, 3, pp.6-14


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