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1 Storia degli Algoritmi Numerici UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI NAPOLI “Parthenope” Eseguito da: Nicola De Pasquale Matr. TEC/R003 Relatore: prof. Francesca.

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1 1 Storia degli Algoritmi Numerici UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI NAPOLI “Parthenope” Eseguito da: Nicola De Pasquale Matr. TEC/R003 Relatore: prof. Francesca Perla Anno Accademico 2004/05

2 2 Esiste una procedura per trovare tutti i numeri primi? Al momento non si è trovato alcuna procedura Si sa solo che i numeri primi sono infiniti, siccome MCD(n; n+1)=1

3 3 Numeri primi Ogni numero N>1 o è primo, oppure è prodotto di fattori primi distinti, ciascuno preso col suo esponente; La scomposizione in fattori primi è unica, a meno dell’ordine dei fattori.

4 4 Come trovare il Massimo Comune Divisore tra due numeri MCD=? Mediante l’Algoritmo di Euclide, Eseguendo divisioni successive (tra numeri interi) del tipo: a=bq+r, ponendo (per comodità) a>b>0.

5 5 Algoritmo di Euclide a=bq+r Chiamando a=r -1, b=r 0, r=r 1 e q=q 1, si ha: Al primo passo: r -1 =r 0 q 1 +r 1 ; Al secondo passo: r 0 =r 1 q 2 +r 2 ; Al terzo passo: r 1 =r 2 q 3 +r 3 ; Al penultimo passo: r n-2 =r n-1 q n +r n ; All’ultimo passo: r n-1 =r n q n+1, Perché r n+1 =0, allora MCD(a;b)=r n.

6 6 Algoritmo di Euclide Riepilogando: MCD(a;b) è l’ultimo resto non nullo della divisione iterativa tra i numeri a e b. In generale, si ha: r i-1 =r i q i+1 +r i+1 ; Per i=0,…,n e con r n+1 =0.

7 7 Algoritmo di Euclide Esempio: Trovare MCD(30030; 1224); Mediante l’Algoritmo di Euclide si opera al seguente modo: 30030= ; 1224= ; 654= ; 570= ; 84= ; 66= ; 18= ; 12=6. 2+0, o meglio 12=6. 2. L’ultimo resto non nullo è 6, quindi 6=MCD(30030; 1224).

8 8 Crivello di Eratostene Dato un numero N, per verificare che esso sia primo, basta che nessuno dei numeri primi minori o uguali della parte intera della sua radice quadrata divida N In simboli: N primo   p primo  N  : p/N

9 9 Crivello di Eratostene Eratostene è stato molto geniale, perché mediante il suo algoritmo non è necessario ricercare tra tutti i numeri  N se il numero N sia primo, ma solo in una parte più piccola, selezionando così la ricerca dei fattori che potrebbero scomporre il numero o i numeri da noi cercati.

10 10 Crivello di Eratostene Esempio: Cercare tra i numeri 2  N  100 quali sono primi:

11 11 Crivello di Eratostene Dapprima si segnano i numeri divisibili per 2 (escluso il numero 2 stesso):

12 12 Crivello di Eratostene Successivamente si segnano i numeri divisibili per 3 (escluso il numero 3 stesso) che non abbiamo già tolto:

13 13 Crivello di Eratostene Dopodiché si segnano i numeri divisibili per 5 (escluso il numero 5 stesso) che non abbiamo già tolto:

14 14 Crivello di Eratostene Al passo successivo si segnano i numeri divisibili per 7 (escluso il numero 7 stesso) che non abbiamo già tolto:

15 15 Crivello di Eratostene Ora potremmo fare la stessa operazione, per il numero 11, ma non ha senso perché  100=10, e quindi 11>10=  100 , perché tutti i fattori multipli di 11 che avremmo dovuto eliminare (22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99) sono già stati eliminati ai passi precedenti; La stessa cosa vale per i numeri 13, 17, ecc.

16 16 Crivello di Eratostene Depennando i numeri multipli di 2, 3, 5 e 7 (esclusi i numeri 2, 3, 5 e 7), si ottengono tutti i numeri primi  100 Essi sono, quindi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97.

17 17 Crivello di Eratostene Esempio: Provare se il numero 127 è primo:  127=11,269427…, e quindi  127  =11 Occorre, perciò, cercare solo tra i numeri primi  11, che sono: 2, 3, 5, 7 e 11; Dividere 127 per ciascuno di tali numeri; Se 127 non è multiplo di alcuno di questi numeri, allora 127 è primo.

18 18 Crivello di Eratostene 127= , quindi 127 non è divisibile per 2; 127= , quindi 127 non è divisibile per 3; 127= , quindi 127 non è divisibile per 5; 127= , quindi 127 non è divisibile per 7; 127= , quindi 127 non è divisibile per è quindi un numero primo non essendo multiplo di alcuno di questi numeri primi.

19 19 Crivello di Eratostene In teoria il Crivello di Eratostene ci permette di conoscere tutti i numeri primi, perché operando di quadrato in quadrato si trovano i numeri primi in quell’intervallo: Nel primo intervallo: 1

20 20 Crivello di Eratostene Nel terzo intervallo: 4

21 21 Crivello di Eratostene Nel quinto intervallo ne troveremmo altri, così come nel sesto, e così via. Tuttavia ad un certo punto ci dobbiamo fermare da un lato perché i numeri primi sono infiniti, dall’altro perché i calcoli con un numero elevato di cifre sono difficili, se non umanamente impossibili e, talvolta, noiosi.

22 22 Distribuzione dei numeri primi Prima dell’avvento dei Computer le tavole dei numeri primi impiegavano parecchie pagine, oggi sono immagazzinate in forma compatta. Si codificano i numeri dispari al seguente modo: 0 se il numero è composto, 1 se il numero è primo.

23 23 Distribuzione dei numeri primi Esempio: Scrivo nella riga di sopra la tavola dei numeri dispari da 1 a 50 e nella riga di sotto sotto indico a seconda dei casi la cifra 0 oppure 1:

24 24 Distribuzione dei numeri primi A questo punto ottengo le sequenze: 01110, 11011, 01001, e Per semplicità di rappresentazione posso eliminare da ciascuna delle sequenze ottenute il termine centrale (quello multiplo di 5) Ottengo così le sequenze: 0110, 1111, 0101, 1010 e 1110.

25 25 Distribuzione dei numeri primi Ciascuno dei numeri 0110, 1111, 0101, 1010 e 1110, può assumere un unico carattere in base 16, ossia 6, F, 5, A, E. In questo modo sono descritti in forma compatta i numeri primi.

26 26 Criteri di divisibilità Come si fa a sapere se un numero è divisibile per un altro, senza effettuare la divisione?

27 27 Criteri di divisibilità I criteri di divisibilità (in base 10) per alcuni numeri particolari sono facilmente esprimibili, o vedendone l’ultima cifra, o sommando le cifre del numero o contando alternativamente le cifre del numero, ne espongo alcuni semplici criteri. Criterio di divisibilità per 2: un numero è divisibile per due, se è pari; ossia se l’ultima cifra è pari; ovvero se l’ultima cifra è 0, 2, 4, 6, 8. Criterio di divisibilità per 3: un numero è divisibile per tre, se la somma delle sue cifre è ancora divisibile per tre. Criterio di divisibilità per 5: un numero è divisibile per cinque, se l’ultima sua cifra è 0 o 5. Criterio di divisibilità per 9: un numero è divisibile per nove, se la somma delle cifre è ancora multiplo di nove. Criterio di divisibilità per 10: un numero è divisibile per dieci, se l’ultima cifra è 0. Criterio di divisibilità per 11: un numero è divisibile per undici, se la somma delle cifre pari (a partire da destra) coincide con la somma delle cifre dispari, e se ciò non si verifica, se la differenza tra le cifre pari del numero e le cifre dispari è multiplo di undici.

28 28 Criteri di divisibilità Criteri di divisibilità (ricavabili dai criteri precedenti) Criterio di divisibilità per 4: un numero è divisibile per quattro, se le ultime due cifre (del numero) sono divisibili per quattro, ossia se la penultima cifra è pari l’ultima cifra deve essere 0, 4 o 8, mentre se la penultima cifra è dispari l’ultima cifra deve essere 2 o 6. Criterio di divisibilità per 6: un numero è divisibile per sei, se l’ultima sua cifra è pari e la somma delle sue cifre è multiplo di tre. Criterio di divisibilità per 8: un numero è divisibile per otto, se le ultime tre cifre (del numero) sono divisibili per otto. Criterio di divisibilità per 12: un numero è divisibile per dodici, se le ultime due sue cifre sono multiple di quattro e la somma delle cifre del numero è multiplo di tre. Criterio di divisibilità per 25: un numero è divisibile per venticinque se le ultime due sue cifre sono 00, 25, 50 o 75.

29 29 Criteri di divisibilità Per le potenze di 2, 5 e 10 si hanno dei criteri di divisibilità che valgono in generale: Criterio di divisibilità per 2 k (ossia di una potenza di 2): un numero è divisibile per 2 k, se le ultime k cifre sono multiple di 2 k. Criterio di divisibilità per 5 h (ossia di una potenza di 5): un numero è divisibile per 5 h, se le ultime h cifre sono multiple di 5 h. Criterio di divisibilità per 10 n (ossia di una potenza di 10): un numero è divisibile per 10 n, se le ultime n cifre sono tutte 0.

30 30 Criteri di divisibilità Talmud affermò che: Un numero della forma 100a+b è divisibile per 7  un numero della forma 2a+b è divisibile per 7. Esempio: 112= ; 14= ; 14 è divisibile per 7, quindi anche 112 lo è.

31 31 Criteri di divisibilità Secondo la matematica indiana: Un numero è divisibile per 9, se la somma delle sue cifre è anch’essa divisibile per 9. Questo criterio di divisibilità è oggi detto “prova del 9”

32 32 Criteri di divisibilità Fibonacci (1202): Criteri di divisibilità per 7 e per 11. Talkis di Ibn al Banna (circa 1250): Criteri di divisibilità per 7 e per 9. Nel XV secolo sono trovati criteri di divisibilità per 7 e per 9 per la verifica di operazioni aritmetiche.

33 33 Criteri di divisibilità Pierre Forcadel di Béziers (1556) affermò che: Scrivo il numero ed opero da sinistra verso destra. Moltiplico la prima cifra per 3 e sottraggo ad esso il più grande multiplo di 7 (  del prodotto ottenuto). Allora aggiungo al risultato la successiva cifra. Moltiplico di nuovo per 3, e così via. Se l’ultimo numero ottenuto è multiplo di 7, anche il numero preso in considerazione lo è.

34 34 Criteri di divisibilità Esempio: Proviamo per il numero 5845: 5. 3=15, =1, 1+8=9, (a questo punto otteniamo il numero 945); 9. 3=27, =6, 6+4=10, (a questo punto otteniamo il numero 105); 10. 3= =2, 2+5=7. 7 è multiplo di 7, e quindi anche 5845 lo è.

35 35 Criteri di divisibilità Blaise Pascal (1654) raccoglie tutti i Criteri di divisibilità, definendo una regola che vale in generale (ne parlerò in seguito nello specifico); Per sapere se un numero sia divisibile per p, abbiamo bisogno di conoscere il resto della divisioni delle varie potenze di 10 con p.

36 36 Criteri di divisibilità Fontanelle (1728) affermò che: Moltiplicando la prima cifra per 3, si aggiunge, poi, ad essa la seconda cifra; Si sostituisce alle prime due cifre del numero la loro somma; Continuando in questo modo, se l’ultimo numero ricercato è 7, allora il numero è divisibile per 7.

37 37 Criteri di divisibilità Esempio: Provo per il numero 16807, la sequenza dei numeri ottenuta dai calcoli è: 16807, 9807, 3507, 1407, 707, 217, 77, 28, 14, 7. Essendo l’ultimo numero trovato 7, anche il numero cercato: è divisibile per 7.

38 38 Criteri di divisibilità Tucker (1889) affermò che: Separando il numero in due parti, nelle quali: Nella prima parte c’è tutto il numero, salvo l’ultima cifra; Nella seconda parte c’è l’ultima cifra del numero. Sottraggo alla prima parte del numero l’ultima cifra moltiplicata per 2. Si prosegue nel calcolo, finché non restino solo le ultime due cifre non siano multiple di 7. Se le ultime due cifre (ottenute nell’ultimo passaggio) sono multiple di 7, anche il numero lo è.

39 39 Criteri di divisibilità Esempio: Partendo dal numero 2401, si ha: =238; =7. 7 è divisibile per 7, e quindi anche 2401 lo è.

40 40 Criteri di divisibilità Blaise Pascal Criteri di divisibilità (in generale): Partendo dal criterio di divisibilità per 9, indica un criterio valido anche per gli altri numeri; Dandone anche una dimostrazione.

41 41 Criteri di divisibilità Dapprima sostituisce i numeri con le lettere e moltiplica la cifra numerica per la sua posizione, ossia per il resti di una potenza di 10 in quella base. Dopo aver operato questi prodotti basta sommare le sue cifre e si può verificare in tal modo la divisibilità.

42 42 Criteri di divisibilità Metodo di Pascal: Si scrive sulla stessa linea e in ordine decrescente la sequenza dei numeri naturali, in questo modo: K I H G F E D C B 1.

43 43 Criteri di divisibilità Dapprima scrivo la prima cifra e lo chiamo 1; Moltiplico questo numero (il numero 1) per 10 e sottraggo il massimo intero multiplo di A (la base della quale vorremmo conoscere la divisibilità) che lo contiene, scrivo il resto, lo chiamo B e lo metto sotto il numero 2; Moltiplico questo primo risultato (il numero B) per 10 e sottraggo il massimo intero multiplo di A che lo contiene, scrivo il resto, lo chiamo C e lo metto sotto il numero 3;

44 44 Criteri di divisibilità Moltiplico questo primo risultato (il numero C) per 10 e sottraggo il massimo intero multiplo di A che lo contiene, scrivo il resto, lo chiamo D e lo metto sotto il numero 4; E così via.

45 45 Criteri di divisibilità Esempio Scrivendo il numero TVNM, si opera così: M. 1 N. B V. C T. D TVNM è divisibile per A  M+NB+VC+TD è divisibile per A

46 46 Criteri di divisibilità Criterio di divisibilità per 7: Scrivo nella prima riga i primi 10 numeri in ordine decrescente e nella seconda riga i resti delle di 10 in base 7,

47 47 Criteri di divisibilità Per maggior chiarezza si ha: Ad 1=10 0 corrisponde 1; A 10 corrisponde 3, perché 10=1. 7+3; A 10 2 corrisponde 2, perché 100= , o anche 30=4. 7+2; Al numero 10 3 corrisponde 6, perché 20=2. 7+6; Al numero 10 4 corrisponde 4, perché 60=8. 7+4; Al numero 10 5 corrisponde 3, perché 40=5. 7+5; Al numero 10 6 corrisponde 1, perché 50=7. 7+1; E così via, ritornando ai resti

48 48 Criteri di divisibilità Esempio: Verifichiamo se il numero S= è divisibile per 7. Scrivo le varie moltiplicazioni: 8. 1=8; 7. 3=21; 1. 2=2; 2. 6=12; 4. 4=16; 5. 5=25; 7. 1=7; 8. 3=14; 2. 2=4. In seguito effettuo la somma: =119; Essendo 119 multiplo di 7, lo è anche il numero S.

49 49 Criteri di divisibilità Esempio: Verifichiamo se il numero Y= è divisibile per 37: Scrivo le varie moltiplicazioni: 6. 1=6; 9. 10=90; 9. 26=234; 1. 1=1; 5. 10=50; 1. 26=26. In seguito effettuo la somma: =407.

50 50 Criteri di divisibilità Il numero 407 è multiplo di 37, essendo 407= Quindi anche il numero Y è multiplo di 37.

51 51 Criteri di divisibilità Un numero è divisibile per: 2, se l’ultima cifra è 0, 2, 4, 6 o 8; 3 (oppure 9), se la somma delle cifre è un multiplo di 3 (oppure 9); 5, se l’ultima cifra è 0 o 5; 11, se la somma delle cifre pari meno la somma delle cifre dispari del numero è multiplo di 11

52 52 Criteri di divisibilità I resti delle potenze di 10 in base (scrivo in parentesi gli elementi periodici): 2 sono 1 (0); 3 sono (1); 4 sono 1 2 (0); 5 sono 1 (0); 6 sono 1 (4); 7 sono ( ); 8 sono (0); 9 sono (1); 10 sono 1 (0);

53 53 Criteri di divisibilità I resti delle potenze di 10 in base 11 sono (1 10); 12 sono 1 10 (4); 13 sono ( ); 14 sono 1 ( ); 15 sono 1 (10); 16 sono (0); 17 sono ( ); 18 sono 1 (10); 19 sono ( ); 20 sono 1 10 (0);

54 54 Criteri di divisibilità I resti delle potenze di 10 in base 21 sono ( ); 22 sono 1 (10 12); 23 sono ( ); 24 sono (16); 25 sono 1 10 (0); E così via.

55 55 Criteri di divisibilità Posso anche considerare le cifre corrispondenti agli inversi dei numeri, Al fine di confrontare e collegare la periodicità dei resti, la periodicità degli inversi e i criteri di divisibilità; (scrivo in parentesi gli elementi periodici).

56 56 Criteri di divisibilità Gli inversi dei numeri sono: 1/2=0,5; 1/3=0,(3); 1/4=0,25; 1/5=0,2; 1/6=0,1(6); 1/7=0,(142857); 1/8=0,125; 1/9=0,(1); 1/10=0,1; 1/11=0,(09);

57 57 Criteri di divisibilità 1/12=0,08(3); 1/13=0,(076923); 1/14=0,0(714285); 1/15=0,0(6); 1/16=0,0625; 1/17=0,( ); 1/18=0,0(5); 1/19=0,( ); 1/20=0,05; 1/21=0,(047619); 1/22=0,0(45);

58 58 Criteri di divisibilità 1/23=0,( ); 1/24=0,041(6); 1/25=0,04; 1/26=0,0(384615); 1/27=0,(037); 1/28=0,03(571428); 1/29=0,( ); 1/30=0,0(3); E così via.

59 59 La teoria della congruenza Una diretta conseguenza del metodo di Pascal è la teoria della congruenza: Sia A>1, esistono due interi a e b, con a>b  0, sono congrui modulo A, quando la loro differenza a-b è un multiplo di A. E si scrive: a  b(mod.A).

60 60 Confronto Come si può vedere, il numero degli elementi periodici (ed aperiodici) coincidono in entrambe le rappresentazioni, quindi le due rappresentazioni sono equivalenti per tutti i numeri, fissato una dato sistema di numerazione.

61 61 La teoria della congruenza Se a=Aq+b è la divisione euclidea di a per A, allora si ha: a  b(mod.A).

62 62 La teoria della congruenza Proprietà usuali: 1) Se a  b(mod.A) e b  c(mod.A), allora a  c(mod.A). 2) Se a  b(mod.A) e c  d(mod.A), allora a+c  d+d(mod.A) ac  bd(mod.A).

63 63 La teoria della congruenza Tabella del resto r i in 10 i =Aq+r i, Scrivendo sulla prima riga i numeri e nella prima colonna i resti: r 10 r 9 r 8 r 7 r 6 r 5 r 4 r 3 r 2 r 1

64 64 La teoria della congruenza Essendo 10 i  r i (mod.A), si ottengono i resti per ricorrenza, Moltiplicando ambo i membri per 10, si ha: 10 i+1  10r i (mod.A), Ossia r i+1  10r i (mod.A), N=a n 10 n + a n-1 10 n-1 +…+ a a 0 +  a n r n + a n- 1 r i-1 +…+ a 1 r 1 + a 0 (mod.A).

65 65 La teoria della congruenza Piccolo teorema di Fermat: Se p è un numero primo ed a è un intero che non divide p, allora è vera l’equazione: a p-1  1(mod.p).

66 66 La teoria della congruenza La funzione φ(x) è tale che: Se x è un numero primo p, allora φ(p) = p-1 Se x è potenza di numeri primi, ossia del tipo p n, con n>1 e intero, allora φ(x) = (p-1). p n-1 Se x è prodotto di due numeri primi distinti, ossia del tipo p. q, allora φ(x) = (p-1). (q-1)

67 67 La teoria della congruenza La funzione φ(x) è tale che, in generale: Se x = p 1 n 1. p 2 n 2. …. p k n k, Allora φ(x) = φ(p 1 n 1. p 2 n 2. …. p k n k ) = φ(p 1 n 1 ). φ(p 2 n 2 ). …. φ(p k n k ) = (p 1 -1). p n (p 2 -1). p n …. (p k - 1). p n k -1 O anche φ(x)= φ(p 1 n 1. p 2 n 2. …. p k n k ) = (p 1 -1). (p 2 - 1). …. (p k -1). (p 1 n 1. p 2 n 2. …. p k n k ) / (p 1. p 2. …. p k ), Che si può esprimere così: φ(x ) = Π (p i n i ) = (p i -1 ). φ(p i n i ) / (p i ), con i=1,…,k.

68 68 La teoria della congruenza Equazione di Eulero (generalizzazione del Piccolo teorema di Fermat): Se x è un numero intero>1 ed a è un altro intero tale che MCD(x;a)=1, allora è vera l’equazione: a φ(x)  1(mod.x). Ovviamente per x=p siamo nelle ipotesi del piccolo teorema di Fermat.

69 69 Residui quadratici Eulero ( ) definisce i residui quadratici. Calcolare se un numero x è o meno un residuo quadratico modulo p è come risolvere l’equazione a 2  x (mod. p). Ad esempio: 1, 2 e 4 sono residui quadratici modulo 7, mentre 3, 5 e 6 sono non-residui quadratici modulo 7. 1 e 4 sono residui quadratici modulo 5, mentre 2 e 3 sono non-residui quadratici modulo 5.

70 70 Residui quadratici Eulero (1783), ma senza dimostrazione e Legendre (1785), ma con una dimostrazione incompleta definiscono la legge di reciprocità quadratica. Gauss (1810) dimostra la legge di reciprocità quadratica, definendola il gioiello dell’aritmetica.

71 71 Residui quadratici Se p non divide a, allora a (p-1)/2  1(mod.p). a è residuo quadratico  a (p-1)/2  1(mod.p); a è non residuo quadratico   a (p-1)/2  p-1(mod.p).

72 72 Simbolo di Legendre Legendre impone  a/p  per il resto della divisione di a (p-1)/2 per p. Si ha che(a/p)=1 se a è un residuo quadratico modulo p; Mentre (a/p)=p-1 altrimenti.

73 73 Legge di reciprocità quadratica Siano p e q due numeri dispari, Se p e q sono entrambi della forma 4n+3, si ha (p/q)=-(q/p); Se p e q non sono entrambi della forma 4n+3, si ha (p/q)=(q/p). In generale si ha: (p/q)(q/p)=(-1) (p-1)(q-1)/4.

74 74 I tre casi del simbolo di Legendre Se a è più grande di c, allora al posto di a, si scrive il resto della divisione di a con c; Se il numero a, così ridotto, l’espressione (a/c) cambierà (a seconda del resto di a e c mod.4) in (c/a) o in –(c/a), si può ridurre (c/a) con (c’/a), dove c’ è il resto della divisione di c con a; Se a non è primo, si può decomporre a nei suoi singoli fattori primi: a=αβγ…, allora (a/c)=(α/c)(β/c)(γ/c)…, in generale (α 2 /c)=(α/c)(α/c).

75 75 Test di primalità Sono vari i test per provare se un numero sia primo o meno. I test sono basati su risultati elementari della teoria della congruenza e della teoria dei residui quadratici. Ne descrivo 3 di essi, data la loro importanza storica. I primi due test richiedono la fattorizzazione di N+1 o di N-1.

76 76 Test di primalità I test sulla primalità sono stati usati per scomporre i numeri del tipo 2 n ±1, 10 n  1, e in generale a n ±1. In particolare i numeri di Fermat del tipo 2 n +1, con n=2 k (col test di Pépin) e i numeri di Mersenne del tipo 2 n -1, con n=p (primo). Il “più grande numero primo conosciuto”, aggiornando la ricerca al 1998, è un numero di Mersenne, ossia , il quale possiede cifre.

77 77 L’inverso del Teorema di Fermat Richiamo del piccolo teorema di Fermat: Se a e p sono interi primi tra loro, allora quando p è primo a p-1  1(mod.p). Ai cinesi era noto (500 a.C.) che se a=2, allora 2 p -2 era divisibile col primo p.

78 78 Fattorizzazione di a n -1 Ogni numero primo è sempre un fattore del precedente di una delle potenze di qualche progressione, se l’esponente di questa potenza è un divisore del precedente del numero primo.

79 79 Fattorizzazione di a n -1 Esempi - Sia data la seguente progressione: ecc., Con il suo esponente scritto sopra. Prendo in considerazione il numero è un fattore di 26 = , 3 è uno dei fattori di 12, dove 12 = Siccome 6 (l’esponente di 729) è multiplo di 3, Si ha che 13 è anche fattore di 728 = Questa proprietà è vera in generale per tutte le progressioni e per tutti i numeri primi.

80 80 Numeri di Mersenne/Fermat Si può rappresentare (genericamente) un numero in forma polinomiale, ossia: a n -1. Se n=1, allora a n -1=a-1; Se n=p (primo), allora a n -1, ossia a p -1, e si può scomporre in: a p -1=(a-1). (a p-1 +a p-2 +…+a+1); Se n=b. c (con b e c interi), allora a n -1=a bc -1 = (a b - 1). (a c-1 +a c-2 +…+a+1), o anche in: a n -1=a bc -1 = (a c -1). (a b-1 +a b-2 +…+a+1);

81 81 Numeri di Mersenne/Fermat In particolare se n è un numero pari, ossia n=2k, allora: a n -1=a 2k -1=(a 2k/2 -1). (a 2k/2 +1)=(a k -1). (a k +1). In particolare, se a=2 ed n potenza di 2, si può ottenere dalla scomposizione di un numero del tipo di Mersenne, un numero del tipo di Fermat. Un numero del tipo a k +1 è sempre un caso particolare di un numero del tipo a n -1.

82 82 Scomposizioni polinomiali Dato un numero intero a>1, allora: a n -1 = (a-1). (a n-1 +a n-2 +…+ a 2 +a+1), se n è un intero positivo qualsiasi. a n -1 = a p -1 = (a-1). (a p-1 +a p-2 +…+ a 2 +a+1), con p numero primo, in tal caso il secondo fattore non è ulteriormente scomponibile in Z[x]. a n +1 = (a+1). (a n-1 -a n-2 +…+ a 2 -a+1), se n è un intero positivo dispari. a n +1 = a p +1 = (a+1). (a p-1 -a p-2 +…+ a 2 -a+1), con p numero primo dispari, in tal caso il secondo fattore non è ulteriormente scomponibile in Z[x]. a n -1 = (a n/2 -1). (a n/2 +1), se n è un numero intero positivo pari. a n -1 = (a bc -1) = (a b -1). (a c-1 +a c-2 +…+ a 2 +a+1), se n=bc. a n +1 = (a bc +1) = (a b +1). (a c-1 -a c-2 +…+ a 2 -a+1), se n è dispari ed n=bc.

83 83 Scomposizioni polinomiali a 1 -1=a-1; a 2 -1=(a-1). (a+1); a 3 -1=(a-1). (a 2 +a+1); a 4 -1=(a-1). (a+1). (a 2 +1); a 5 -1=(a-1). (a 4 +a 3 +a 2 +a+1); a 6 -1=(a-1). (a+1). (a 2 -a+1). (a 2 +a+1); a 7 -1=(a-1). (a 6 +a 5 +a 4 +a 3 +a 2 +a+1); a 8 -1=(a-1). (a+1). (a 2 +1). (a 4 +1); a 9 -1=(a-1). (a 2 +a+1). (a 6 +a 3 +1); a 10 -1=(a-1). (a+1). (a 4 -a 3 +a 2 -a+1). (a 4 +a 3 +a 2 +a+1);

84 84 Scomposizioni polinomiali a 11 -1=(a-1). (a 10 +a 9 +a 8 +a 7 +a 6 +a 5 +a 4 +a 3 +a 2 +a+1); a 12 -1=(a-1). (a+1). (a 2+ 1). (a 2- a+1). (a 2 +a+1). (a 4 +a 2 +1); a 13 -1=(a-1). (a 12 +a 11 +a 10 +a 9 +a 8 +a 7 +a 6 +a 5 +a 4 +a 3 +a 2 +a+1); a 14 -1=(a-1). (a+1). (a 6 -a 5 +a 4 -a 3 +a 2 -a+1). (a 6 +a 5 +a 4 +a 3 +a 2 +a+1); a 15 -1=(a-1). (a 2 +a+1). (a 4 +a 3 +a 2 +a+1). (a 8 -a 7 +a 5 -a 4 +a 3 -a+1); a 16 -1=(a-1). (a+1). (a 2 +1). (a 4 +1). (a 8 +1); a 17 -1=(a-1). (a 16 +a 15 +a 14 +a 13 +a 12 +a 11 +a 10 +a 9 +a 8 +a 7 +a 6 +a 5 +a 4 +a 3 +a 2 +a+ +1); a 18 -1=(a-1). (a+1). (a 2 -a+1). (a 2 +a+1). (a 6 -a 3 +1). (a 6 +a 3 +1); a 19 -1=(a-1). (a 18 +a 17 +a 16 +a 15 +a 14 +a 13 +a 12 +a 11 +a 10 +a 9 +a 8 + +a 7 +a 6 +a 5 + +a 4 +a 3 +a 2 +a+1); a 20 -1=(a-1). (a+1). (a 2 +1). (a 4 -a 3 +a 2 -a+1). (a 4 +a 3 +a 2 +a+1) ). (a 8 +a 7 +a 6 + a 5 + +a 4 +a 3 +a 2 +a+1);

85 85 Scomposizioni polinomiali a 21 -1=(a-1). (a 2 +a+1). (a 6 +a 5 +a 4 +a 3 +a 2 +a+1). (a 12 -a 11 +a 9 -a 8 +a 6 -a 4 +a 3 -a+ +1); a 22 -1=(a-1). (a+1). (a 10 +a 9 +a 8 +a 7 +a 6 +a 5 +a 4 +a 3 +a 2 +a+1). (a 10 -a 9 +a 8 -a 7 +a 6 -a 5 +a 4 - a 3 +a 2 -a+ +1); a 23 -1=(a-1). (a 22 +a 21 +a 20 +a 19 +a 18 +a 17 +a 16 +a 15 +a 14 +a 13 +a 12 +a 11 +a 10 +a 9 + +a 8 +a 7 +a 6 +a 5 +a 4 +a 3 +a 2 +a+1); a 24 -1=(a-1). (a+1). (a 2 +1). (a 2 -a+1). (a 2 +a+1). (a 4 +1). (a 4 +a 2 +1). (a 8 +a 4 +1); a 25 -1=(a-1). (a 4 +a 3 +a 2 +a+1). (a 20 +a 15 +a 10 +a 5 +1); a 26 -1=(a-1). (a+1). (a 12 -a 11 +a 10 -a 9 +a 8 -a 7 +a 6 -a 5 +a 4 -a 3 +a 2 -a+1). (a 12 +a a 10 +a 9 +a 8 +a 7 +a 6 +a 5 +a 4 +a 3 +a 2 +a+1); a 27 -1=(a-1). (a 2 +a+1). (a 6 +a 3 +1). (a 18 +a 9 +1); a 28 -1=(a-1). (a+1). (a 2 +1). (a 6 -a 5 +a 4 -a 3 +a 2 -a+1). (a 6 +a 5 +a 4 +a 3 +a 2 +a+1).. (a 12 +a 10 +a 8 +a 6 +a 4 + +a 2 +1); a 29 -1=(a-1). (a 28 +a 27 +a 26 +a 25 +a 24 +a 23 +a 22 +a 21 +a 20 +a 19 a 18 +a 17 +a 16 +a 15 +a 14 +a 13 +a 12 +a a 10 +a 9 +a 8 + +a 7 +a 6 +a 5 + +a 4 +a 3 +a 2 +a+1); E così via.

86 86 Scomposizioni polinomiali Come detto prima, se p è primo, allora: (a p -1)/(a-1) = (a p-1 +a p-2 +…+a 2 +a+1) Non è ulteriormente scomponibile in forma polinomiale, quindi: (a n -1)/(a-1) è scomponibile in forma polinomiale solo se n non è primo, Quindi (a n -1)/(a-1) può essere un numero primo, solo se n è primo, [ma non sempre risulta essere un numero primo].

87 87 Numeri di Mersenne Calcolo di (2 n -1)/(2-1): Se n=1, Si ha: (2-1)/(2-1) =1/1 = 1; Ma 1 è un numero invertibile. N.B.: d’ora in poi, essendo il denominatore pari ad 1, verrà omesso nel calcolo.

88 88 Numeri di Mersenne Calcolo di (2 n -1)/(2-1): Se n=2, Si ha: (2 2 -1)/(2-1) = 4-1 = 3; Ma 3 è un numero primo.

89 89 Numeri di Mersenne Calcolo di (2 n -1)/(2-1): Se n=3, Si ha: (2 3 -1)/(2-1) = 8-1 = 7: Ma 7 è un numero primo.

90 90 Numeri di Mersenne Calcolo di (2 n -1)/(2-1): Se n=4, Si ha: (2 4 -1)/(2-1) = 16-1 = 15: Ma 15 = 3. 5, quindi è un numero composto. Perché (2 4 -1) è multiplo di (2 2 -1) = 3. N.B.: d’ora in poi, siccome è generale la situazione che 2 bc -1 sia multiplo di 2 b -1, l’ultima considerazione verrà omessa. Perché n numero composto => 2 n -1 numero composto.

91 91 Numeri di Mersenne Calcolo di (2 n -1)/(2-1): Se n=5, Si ha: (2 5 -1)/(2-1) = 32-1 = 31: Ma 31 è numero primo.

92 92 Numeri di Mersenne Calcolo di (2 n -1)/(2-1): Se n=6, Si ha: (2 6 -1)/(2-1) = 64-1 = 63: Ma 63 = , quindi è un numero composto.

93 93 Numeri di Mersenne Calcolo di (2 n -1)/(2-1): Se n=7, Si ha: (2 7 -1)/(2-1) = 127: Ma 127 è un numero primo.

94 94 Numeri di Mersenne Calcolo di (2 n -1)/(2-1): Se n=8, Si ha: (2 8 -1)/(2-1) = 255: Ma 255 = , quindi è un numero composto.

95 95 Numeri di Mersenne Calcolo di (2 n -1)/(2-1): Se n=9, Si ha: (2 9 -1)/(2-1) = 511: Ma 511 = 7. 73, quindi è un numero composto.

96 96 Numeri di Mersenne Calcolo di (2 n -1)/(2-1): Se n=10, Si ha: ( )/(2-1) = 1023: Ma 1023 = , quindi è un numero composto.

97 97 Numeri di Mersenne Calcolo di (2 n -1)/(2-1): Se n=11, Calcolo di ( )/(2-1) = 2047: Il numero suddetto, a quanto sembra, dovrebbe essere primo, perché 11, ossia n è primo, tuttavia occorre provarlo. 2 n -1 primo => n primo,2 n -1 primo => n primo, Ma non vale il viceversa, come si può vedere nella diapositiva successiva.

98 98 Numeri di Mersenne I numeri che possono dividere sono solo quelli del tipo k, con k numero intero positivo. I numeri di questo tipo sono i seguenti: 23, 45, 67, 89, …, 22k+1, …; Di essi solo 23 e 45 possono essere presi in considerazione, perché sono gli unici numeri  [  2047]= è un numero primo e 2047 : 23 = 89, Quindi 23 è un numero primo che divide Perciò 2047 non è primo, perché 2047 =

99 99 Numeri di Mersenne In generale, alcuni numeri della forma: (2 n -1)/(2-1) O meglio, siccome 2-1=1, della forma: 2 n -1 Sono descritti nella prossima diapositiva.

100 100 Scomposizione di 2 n -1, al variare di n

101 101 Scomposizione di 2 n -1, al variare di n

102 102 Scomposizione di 2 n -1, al variare di n

103 103 Scomposizione di 2 n -1, al variare di n

104 104 Scomposizione di 2 n -1, al variare di n

105 105 Scomposizione di 2 n -1, al variare di n …… …… …… …… …… …… E così via

106 106 Scomposizione di 3 n -1, al variare di n

107 107 Scomposizione di 3 n -1, al variare di n

108 108 Scomposizione di 4 n -1, al variare di n

109 109 Scomposizione di 4 n -1, al variare di n

110 110 Scomposizione di 5 n -1, al variare di n

111 111 Scomposizione di 6 n -1, al variare di n

112 112 Scomposizione di 7 n -1, al variare di n

113 113 Scomposizione di 8 n -1, al variare di n

114 114 Scomposizione di 9 n -1, al variare di n

115 115 Scomposizione di 10 n -1, al variare di n

116 116 Inverso del Teorema di Fermat Il Teorema di Fermat ci permette di stabilire se un numero è composto. Il Teorema di Fermat non serve per stabilire se un numero è primo. Quindi, l’Inverso del Teorema di Fermat è falso, come mostro in un controesempio nella prossima diapositiva.

117 117 Inverso del Teorema di Fermat Esempio: Per a=2 e N=341, si ha  1(mod.341), 341 non è primo, ma è il prodotto di 11 per 31. Dimostrazione: Siccome le successive potenze di 2 in base 11 sono: {2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6, 1}, si ha: 2 10  1(mod.11), E, in particolare, essendo 340 multiplo di 10, si ha anche:  1(mod.11), perché le successive potenze di 2 in base 31 sono: {2, 4, 8, 16, 1}, si ha: 2 5  1(mod.31), E, in particolare, essendo 340 multiplo di 5, si ha anche:  1(mod.31); Quindi, si ha alla fine che:  1(mod.[11. 31]), o per meglio dire:  1(mod.341).

118 118 Inverso del Teorema di Fermat Esempio: Per a=3 e N=341, allora  56(mod.341). Dimostrazione: Le successive potenze di 3 in base 341 fino ad arrivare ad 1 sono: {3, 9, 27, 81, 243, 47, 141, 82, 246, 56, 168, 163, 148, 103, 309, 245, 53, 159, 136, 67, 201, 262, 104, 312, 254, 80, 240, 38, 114, 1}, Quindi il periodo di 3 in base 340 è 30, ma dividendo 340 con 30, si ha: 340= , e quindi: =3 11x30+10 =(3 30 ) , Ma 3 30  1(mod.341), e quindi anche (3 30 ) 11  1 11 =1(mod.341), inoltre, essendo e 3 10  56(mod.341), anche =(3 30 )  56(mod.341). Da ciò, 341 non è primo. Quando si verifica che un numero n è del tipo: 2 n-1  1(mod.n), ed esiste un numero a, con a  2 per cui: a n-1  x(mod.n), x  1; Si dice che il numero è pseudo-primo in base 2.

119 119 Pseudo-primi Si ha, quindi, che 341 è pseudo-primo alla base 2. I numeri pseudo-primi sono rari, solo 1770 numeri più piccoli di sono pseudo-primi alle basi 2, 3, 5 e 7. L’Inverso del Teorema di Fermat serve per escludere dal test di primalità tutti quei numeri che non verificano la condizione dell’Inverso del Teorema di Fermat, poiché essi non possono essere in nessun caso primi.

120 120 Inverso del Teorema di Fermat Lucas (1876) Se a x -1: È divisibile per n, per x coincidente con n-1 Non è divisibile per n, per x uguale ad una parte aliquota di n-1, Allora, il numero n è primo.

121 121 Inverso del Teorema di Fermat Esempio: Sia a=3, n=65537= ; I divisori di n-1 sono: {1, 2, 2 2, 2 3, 2 4, 2 5, 2 6, 2 7, 2 8, 2 9, 2 10, 2 11, 2 12, 2 13, 2 14, 2 15, 2 16 }. Se scrivo il resto delle divisioni tra le potenze di 3 con esponenti le successive potenze di 2, ottengo la sequenza, nella quale ciascun termine è il quadrato del precedente: {3, 9, 81, 6561, 54449, 61869, 19139, 15028, 282, 13987, 8224, 65529, 64, 4096, 65281, 65536, 1}. Dal fatto che 3 non ha il resto uguale a 1 prima dell’ultimo termine della sequenza ed ha resto pari ad uno nell’ultimo termine, si ha che n=65537= è un numero primo.

122 122 Test di Lucas Il Test di Lucas presenta l’inconveniente che richiede la fattorizzazione del numero n-1 ed una verifica per ciascuno dei fattori. La difficoltà è ridotta se il test è applicato ai numeri della forma n=p k +1, con p primo. Tuttavia, se il numero da considerare è grande, si richiedono noiosi calcoli.

123 123 Test di Lehmer Teorema 1. Se a x  1(mod.N) per x=N-1, ma non per un divisore proprio di N-1, allora N è primo. Questo metodo richiede: La completa fattorizzazione di N-1; Il numero dei valori di x può essere esageratamente elevato; La condizione di primalità è sufficiente, ma non necessaria. Tali inconvenienti sono limitati, se N-1 è una potenza di 2.

124 124 Test di Lehmer Teorema 2. Se a x  1(mod.N) per x=N-1, ma non per x, tale che x è quoziente di N-1 sulla divisione di alcuni suoi fattori primi, allora N è primo. Teorema 3. Se a x  1(mod.N) per x=N-1 e se a x  r>1, per x=(N-1)/p, e se r-1 è primo con N, allora tutti i fattori primi di N sono della forma np α -1, dove α è la più alta potenza al quale i primi p occorrono come divisori di N-1.

125 125 Test di Lehmer Esempio: sia N= , Questo numero è dato da ( )/( ). Si ha, allora: N-1 = [( )/( )]-1 = 10 8 ( )/( ) = 10 8 ( ) = I divisori di 2 8 e 5 8 (essendo 8 la potenza più elevata relativamente ai numeri primi) sono stati scelti come valori di p α e per testare l’operazione seguente: 7 (N-1)/10  =r(mod.N), Allora r 2 =7 (N-1)/5  (mod.N) E, finalmente, r 5  =N-1(mod.N) e r 10  1(mod.N), Essendo r 2 -1 primo con N, segue che ogni fattore di N è della forma: n2 8 +1, ed anche della forma: n5 8 +1, o meglio della forma: n Ma N 1/2< 10 8, così N è primo, così si ha la completa fattorizzazione del numero è: =

126 126 Test di Lehmer John Selfridge (1975) semplifica il Teorema 2, il quale permette di cambiare il valore di a per qualche divisore di N-1. Egli stabilisce che se per qualche divisore primo p di N-1, esiste un a tale che: a (N-1)/p ≡r(mod.N), con r>1, ma a (N- 1) ≡1(mod.N), allora N è primo.

127 127 Sequenza di Fibonacci Sequenza di Fibonacci (1282): 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, (i-1)+i, …. Simon Stevin (1634), osserva tale sequenza e la collega al problema circa il numero di conigli prodotti da una coppia di conigli. Robert Simson nota che tale sequenza e nota che è data da: (1+  5)/2, radice dell’equazione quadratica X 2 -X-1=0. Tale successione ha suscitato interesse da parte di altri matematici a partire dal Lucas (1876) a partire dall’equazione X 2 -X-1=0, stabilisce le due sequenze definite da: U n =(a n -b n )/(a-b) e V n =a n -b n =U n-1 +U n+1.

128 128 Test di Lucas L’uso delle successioni: U n =(a n -b n )/(a-b) e V n =a n -b n =U n-1 +U n+1, È utile per provare se un numero di Mersenne della forma 2 m -1 sia primo, e Lucas stesso stabilì che fosse primo. Con questo metodo fu trovato nel 1988 il numero primo di Mersenne:

129 129 Test di Lucas La “sequenza di Lucas” generalizza la sequenza all’equazione quadratica al caso: x 2 -Px+Q=0, dove P e Q sono interi e coprimi, tramite le formule: U 2n =U n V n, V 2n =(V n ) 2 -2Q n, U 2n+1 =U n+1 V n -Q n e V 2n+1 =V n+1 V n -PQ n. Teorema (fondamentale) di Lucas. Se in una delle successioni ricorsive U n determina che U p-1 è divisibile per p, ad esclusione di ciascuno degli altri termini della serie, il cui rango è divisore di p-1 iniziando così, il numero p è primo; proseguendo allo stesso modo, se U p+1 è divisibile per p, ad esclusione di ciascuno degli altri termini della serie il cui rango è un divisore di p+1 iniziato così, allora il numero p è primo.

130 130 Test di Lucas Teorema 2. Sia p=2 4q+3 -1 nel caso in cui 4q+3 è primo e 8q+7 è composto; noi produciamo la serie r n : 3, 7, 47, 2207, … dal significato della relazione, per n>1, r n+1 =r n 2 -2, Il numero p è primo, mentre il rango del primo termine divisibile per p occupa un rango tra 2q+1 e 4q+2; il numero p è composto se alcuno dei 4q+2 primi termini della serie è divisibile per p.

131 131 Test di Pépin Dal teorema di Pépin si trova un algoritmo per testare la primalità dei numeri di Fermat. Un numero di Fermat della forma F n =2 k +1, dove k=2 n. Fermat asserì (erroneamente) che tutti i numeri di tale forma fossero primi.

132 132 Scomposizione dei numeri di Fermat F n Goldbach (1729) provò che F 5 = sia composto, dal fatto che F 5 = Verso la fine del 19° si cerca di trovare se F 6 sia primo o composto. Il più grande numero di Fermat esplorato col test di Pépin è F 22, che contiene cifre, esso è composto. Il più grande numero conosciuto essere composto è F Il primo numero di Fermat sconosciuto è F 24.

133 133 Test di Pépin Teorema. La condizione necessaria e sufficiente affinchè il numero a n =2 k +1, con k=2 n sia primo, per n>1, è: che il numero 5 (a n -1)/2 +1 sia divisibile per a n.


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