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Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014 1 UN MONDO DI PROBLEMI, MA … MATEMATICI Spunti per insegnare.

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1 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio UN MONDO DI PROBLEMI, MA … MATEMATICI Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi matematici 8 aprile 2014

2 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio In questa immagine c'è una stella nascosta. Siete capaci di vederla? Soluzione Nel disegno si trova una stella a cinque punte. La stella in realtà non è nascosta, è sotto i vostri occhi. Concentratevi sulla figura ed osservatela con la mente libera e ricettiva. Alcune persone impiegano pochi minuti, altri alcune ore, per altri ancora è necessario qualche giorno, ma alla fine tutti trovano la stella. Di solito è un'illuminazione improvvisa dopo un periodo più o meno lungo di ricerche senza successo. Da quel momento in poi la stella sarà vostra e nessuno potrà più togliervela. Ogni volta che guarderete questo disegno la vedrete subito, con estrema chiarezza, per sempre.

3 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Questo è il segreto della matematica: un problema che all'inizio sembra difficile e forse impossibile, dopo aver ricevuto l'illuminazione, diventa facilissimo si ricorda per tutta la vita. Ma è importante non scoraggiarsi mai, non irritarsi e soprattutto arrivarci da soli. Ora calcola l’area della stella misurando ciò che ti serve con l’approssimazione al millimetro. Quante stelle uguali a quella che hai trovato puoi riprodurre, al massimo, nel disegno di Samuel Loyd?

4 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI (da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson) In uno schema a forma di piramide si deve inserire un numero in ogni mattone rispettando le seguenti regole: nessun mattone deve essere contrassegnato con il numero zero; i numeri sui mattoni della base della piramide devono essere diversi; ogni mattone che non forma la base della piramide deve essere contrassegnato con la somma dei numeri indicati sui due mattoni sui quali è posato. Completa le seguenti piramidi rispettando le regole Come hai proceduto a completare la piramide? … ………………………………….. Hai trovato difficoltà ad effettuare il completamento? …. Perché? …………………. A Per il completamento della piramide A sono assegnate più informazioni rispetto a quelle minime, in modo da dare agli alunni la possibilità di un autocontrollo nella comprensione e nella messa in opera della regole di compilazione delle piramidi.

5 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI (da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson) Completa le seguenti piramidi rispettando le regole. Come hai proceduto a completare la piramide? … ………………………………….. Hai trovato difficoltà ad effettuare il completamento? …. Perché? ………………… B Nella piramide B si chiede di applicare un passaggio inverso: nota la somma del valore di due mattoni e uno di tali valori, si deve ricavare l’altro per differenza

6 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio La piramide di mattoni Problema: se si scambiano fra loro i due mattoni in basso, il numero che figura nel mattone in alto cambia? 5445 Scrivere un numero in forma additiva in modi diversi La mia mini-piramide ha in cima un mattone in cui è rappresentato il numero 12. Sai dirmi quali numeri possono figurare nei mattoni sui quali esso appoggia? 12 Attività per le classi prime e seconde Posso usare tutti gli amici del 12?

7 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Dopo l’addizione Attraverso opportune situazioni problematiche ci si può avvicinare alla sottrazione. Giacomo ha costruito la sua piramide. A Rita piaceva e l'ha copiata, ma una macchia è caduta sul foglio. Sai dirmi cosa c'era scritto sotto la macchia? Ad alunni di quarta e quinta, con i quali si sia già incontrato l’uso della lettera al posto di un numero sconosciuto, si propone una rappresentazione diversa da quella della macchia: n15 28

8 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Seconda fase Conoscendo i numeri rappresentati nei mattoni del primo piano, completa la piramide

9 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Si propongono dei problemi nella cui soluzione è necessario ricorrere anche alla sottrazione

10 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Il problema può aprire il passaggio all’algebra. Si inizia conducendo la classe a capire che il problema sarebbe risolvibile se si conoscesse il numero nel mattone centrale della base. Piramidi a tre piani. Alcuni alunni rimangono bloccati ritenendo impossibile trovare una soluzione; la maggior parte però comincia a procedere per tentativi ponendo un numero nel mattone centrale della base e trovando i numeri del secondo piano, la cui somma dovrebbe essere uguale a 36. Da fare al corso Far vedere solo la piramide da risolvere poi i commenti

11 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio a 13+a a 36 Piramidi a tre piani. La relazione di uguaglianza che lega 36 con 13 + a e con 15 + a porta all’equazione: 13 + a a = 36 la cui soluzione consente di completare la piramide: 13 + a a = a = 36 2a = 36 – 28 2a = 8 a = 8:2 a = 4 Se lo si rappresenta quindi con una lettera (ad esempio ‘a’), i numeri nei due mattoni del secondo piano si possono indicare in questo modo:

12 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI Completa le seguenti piramidi rispettando le regole. Come hai proceduto a completare la piramide? … ………………………………….. Hai trovato difficoltà ad effettuare il completamento? …. Perché? …………………. Ecco alcune delle piramidi che chiedono un po’ più di abilità A Da fare al corso

13 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Abbastanza semplice risulta il completamento della metà di sinistra della piramide A della scheda 29b. La modalità di completamento si può differenziare per la parte a destra della piramide, in quanto può capitare che alcuni alunni procedano per tentativi dai mattoni della base fino a quello al vertice. È sicuramente più economico, invece, effettuare il completamento nel verso opposto, ossia dal vertice alla base; si ha:

14 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI Completa le seguenti piramidi rispettando le regole. Come hai proceduto a completare la piramide? … ………………………………….. Hai trovato difficoltà ad effettuare il completamento? …. Perché? ………………… B Per la piramide B è necessario osservare che il numero 80 al vertice è la somma di 23, 21 e del doppio del numero segnato nel mattone racchiuso tra i precedenti. Tale numero è, dunque, ottenibile con passaggi aritmetici sintetizzabili nell’espressione [80 – ( )] : 2 = 18 Il completamento della piramide è poi immediato. Da fare al corso

15 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI Completiamo la piramide inserendo il numero

16 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI Ecco alcune piramidi di mattoni che vengono affrontate solo dai soci più esperti del circolo “Enigmistica matematica”. Rispettando la regola, trova tutti i possibili completamenti diversi, riproducendo la piramide sul quaderno tutte le volte che ti è necessario. A Hai potuto completare la piramide in tanti modi diversi quanti ne avevi previsti? ……………. Perché? Confronta il tuo lavoro con quello di un tuo compagno e discutine con l’insegnante. Da fare al corso

17 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Il problema sotteso dal completamento della piramide A consiste nel determinare almeno uno dei numeri che contrassegnano i mattoni della base della piramide. Visti i numeri segnati sui mattoni della seconda fila, si devono trovare le coppie di numeri, diversi da 0, amici di 8 nell’addizione, quelle di 12 e quelle di 11. A Da quale numero iniziamo?

18 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Si può decidere di utilizzare tutte le coppie di numeri amici di 8, che sono le meno numerose, per tentare di compilare la piramide: le coppie da provare sono solo (1, 7), (2, 6), (3, 5), (5, 3), (6, 2), (7, 1), dato che (0, 8), (4, 4) e (8, 0) non rispettano le regole, e danno luogo alle piramidi che seguono (1, 7) dà una soluzione (2, 6) non dà una soluzione perché nella base ci sono due numeri uguali

19 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio (3, 5) dà una soluzione (5, 3) dà una soluzione (6, 2) dà una soluzione (7, 1) non dà una soluzione perché un mattone è contrassegnato con 0

20 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI Ecco alcune piramidi di mattoni che vengono affrontate solo dai soci più esperti del circolo “Enigmistica matematica”. Secondo te, quante sono le coppie di numeri (, ) che si possono scrivere al posto dei punti? ………… Perché? ……… Riproduci la piramide sul quaderno e completala in almeno cinque modi diversi. Confronta il tuo lavoro con quello di un tuo compagno e discutine con l’insegnante. B 6177 Da fare al corso

21 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI La piramide B ammette infiniti completamenti, dato che è soddisfatta da quasi tutte le coppie di numeri amici di 7 nella sottrazione: il primo termine della coppia dà il numero da mettere nella seconda fila, il secondo numero quello mancante nella prima fila; l’unica condizione è che questo secondo numero sia diverso da 0, da 6, da 7 e da 17. B 6177 Perché?

22 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI I soci del circolo “Enigmistica matematica” non si accontentano di completare le piramidi: vogliono capire quali regole matematiche si nascondono nei mattoni. Si sono posti un primo problema: se si cambia l’ordine in cui sono scritti i numeri sui mattoni della base di una piramide, cambia il numero sul mattone al vertice? I soci hanno fissato come piramide di partenza quella data nel disegno e ora sono tutti all’opera per costruire tutte le piramidi che si ottengono da questa cambiano il posto dei numeri nella prima riga

23 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI Il problema connesso alla prima piramide consiste nel cogliere come cambia il numero al vertice, modificando la disposizione dei numeri alla base. È possibile che gli alunni ipotizzino che il numero al vertice non cambia anche se i numeri alla base vengono scritti in ordine diverso, perché vale la proprietà commutativa dell’addizione. È, però, facile verificare che tale ipotesi non è vera. Per dare una risposta esaustiva si devono analizzare tanti casi quante sono le permutazioni dei quattro numeri alla base, ossia 24, nella tabella che segue sono indicate tutte le possibili quaterne e per ciascuna la somma al vertice Numero nelSomma al vertice 1° m.2° m.3° m.4° m

24 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Un punteggio particolare Sergio ha piantato le sue frecce su questo bersaglio. Ha ottenuto un totale di 100 punti. Tutte le frecce hanno colpito il bersaglio. Quante frecce ha dovuto lanciare Sergio per ottenere questo notevole risultato?

25 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Il problema si risolve facilmente se si imposta una tabella a doppia entrata relativa ai punteggi che si ottengono colpendo ciascuna zona 1, 2, 3, …n volte Numero frecce lanciate Naturalmente in ogni riga ci si ferma al numero maggiormente prossimo a 100 e successivamente si esamina ciascun numero della tabella e si cerca in essa il suo completamento a 100.

26 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Es.11il completamento a 100 è 89non c’è 22il completamento a 100 è 78c’è 33il completamento a 100 è 67non c’è …………………………………………………………………………. Esaurite le prove si conclude che l’unica soluzione è: = 100cioè 2 x x 13 = 100 (2 + 6) frecce = 8 frecce

27 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Un tirassegno particolare In un bersaglio la corona circolare più esterna vale 1 punto, la successiva vale 2 punti, le altre 4, 8, 16, punti e infine il centro vale 32. In quanti modi si possono totalizzare 51 punti tirando 5 freccette? Si tenga presente che non conta l’ordine in cui si tirano le freccette e che le freccette che sbagliano il bersaglio valgono 0 punti.

28 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Il problema diventa più interessante se si tiene conto della seguente osservazione: “qualunque numero naturale può essere scritto come somma di potenze di due”. Scuola secondaria di primo gradoScrittura dei numeri in base due In base due le cifre utilizzate sono 0 e 1 e, ciascun numero, come in tutte le basi, ha una e una sola codificazione. Es.: 27= 1x x x x x2 0 = Il 27 può anche essere scritto, come somma di potenze di due 27 = Possiamo però scrivere altre addizioni che diano 27 usando solo le potenze del due ripetute. 27 = Quando gli alunni hanno scritto alcuni numeri in questo modo possiamo proporre il problema “ Un tirassegno particolare

29 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio (Problema dato alle Olimpiadi di matematica del 1993, Gara Junior) Scriviamo il 51 come somma di potenze di 2: 51 = Poiché si devono usare cinque freccette possiamo aggiungere uno zero alla somma indicate oppure possiamo scomporre uno degli addendi in somma di potenze di 2. Si hanno le seguenti quattro possibilità; 51 = = = = Se non si vuole trattare la scrittura in base due gli alunni procedono per tentativi. Anche in questo caso devono trovare tutte le soluzioni.

30 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Dove era la pallina caduta? Collection DIAGONALE.- Math en fleche - ed. Nathan- Paris 1993 Una pallina si è staccata dal disco del tirassagno. Prima della caduta della pallina il totale dei punti marcati era 305. In quale zona si trovava la pallina che si è staccata? 305 – (5x3 + 10x3 + 50x ) = 305 – ( ) = = 305 – 295 = 10

31 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio IL BERSAGLIO (da Relly matematico 1999/2000 F.Jaquet …) Saverio ha ottenuto un totale di 11 punti lanciando le sue quattro freccette su questo bersaglio Egli sostiene che tirando ogni volta quattro freccette può ottenere tutti i possibili punteggi da 3 a 20 Che casa ne pensate? Per ogni punteggio trovato, indicate i calcoli (Un po’ più difficile) Le frecce sono 7 (5,5,3,3,3,0,0) per un totale di 19, e i possibili punteggi da 3 a 35

32 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio IL BERSAGLIO (da Relly matematico 1999/2000 F.Jaquet …) Ambito concettuale -Aritmetica -Inventare addizioni con quattro addendi Analisi del compito -Comprendere che 3=3 + (3 x 0) è il punteggio minimo 20=5 x 4 è il punteggio massimo - Verificare per tentativi la possibilità di ottenere i numeri compresi tra 3 e 20: Non si può ottenere né 4, né 7, né 17, né 19

33 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Il gioco dei birilli Dalla rivista : MATH ECOLE n.168, agosto 1995, pag.39. In questo gioco vi sono sette birilli che valgono: 28, 27, 19, 15, 25, 18 e 22 punti. Nel corso del gioco, come vedi nella figura, alcuni birilli sono caduti. Quelli che sono rimasti in piedi totalizzano 66 punti. Trovare il valore di ciascuno di questi birilli. Soluzione: 19 –

34 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Il gioco dei birilli … e se In questo gioco vi sono sette birilli che valgono: 28, 27, 19, 15, 25, 18 e 22 punti. Nel corso del gioco, come vedi nella figura, alcuni birilli sono caduti. Quelli che sono rimasti in piedi totalizzano 56 punti. Trovare il valore di ciascuno di questi birilli. Soluzione: 19 –

35 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Il divertimento di Tommaso ( Math-Ecole n.169, ottobre 1995, pag.12, n.1) A questo gioco si lanciano delle palle per far cadere delle scatole, tutte uguali e disposte come in figura. Quando una scatola cade trascina con sé, nella caduta, tutte le scatole che stanno sopra di essa. Alla fine del gioco si contano tutti i punti segnati sulle scatole cadute.

36 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio a)Tommaso ha ottenuto esattamente 33 punti. Quali scatole ha fatto cadere? ( Risposta: 7, 9, 4, 2, 6, 5) b)Tommaso dice che ha ottenuto i 33 punti lanciando solamente due palle. Quali sono le due scatole che ha toccato con le sue due palle? ( Risposta : 7, 5 )

37 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio La bilancia: un cubo è di troppo! (Math-Ecole n.192, giugno 2000, pag.29 - n.11) Giacomo ha nove cubi, di materiali differenti, che pesano: 1, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 13, e 15 grammi. Ne mette quattro sul piatto di destra di una bilancia e quattro su quello di sinistra. Per ristabilire l’equilibrio, sul piatto di destra deve aggiungere un peso di 30g. ? Quale può essere il cubo che non si trova sulla bilancia? Spiega il ragionamento che fai. E se mettessi 5 pesi sul piatto di sinistra e 3 su quello di destra, senza modificare le altre condizioni, potrei raggiungere l’equilibrio scartando un cubetto?

38 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio La bilancia: un cubo è di troppo! (Math-Ecole n.192, giugno 2000, pag.29 - n.11 ) ? 30g p.p.peso per piatto I pesi sono in grammi p.c.d.peso cubetti destra c.speso cubetto scartato 4c. ?4 cubetti? Peso in grammi dei cubetti 1, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 13 e 15 30g Peso totale in grammi: 103 Soluzione

39 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio  Avendo 7 addendi dispari potevamo prevedere che la somma fosse dispari! ( 1, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 13 e 15, 30)  103 è dispari quindi non può essere diviso in due parti uguali da mettere sulla bilancia. Perché l’equilibrio sia possibile dobbiamo: scartare un peso dispari controllare se i pesi rimanenti possono essere disposti come indicato nel disegno: quattro cubetti su ogni piatto più il peso da 30g  Esaminiamo tutti i casi possibili notando che il peso minimo di 4 cubetti è, in grammi, =16 Conviene fare uno schema: La bilancia: un cubo è di troppo! (Math-Ecole n.192, giugno 2000, pag.29 - n.11 )

40 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio La bilancia: un cubo è di troppo! (Math-Ecole n.192, giugno 2000, pag.29 - n.11 ) c.s. p.p.p.c.d. 4c.? 1102 : 2 = = no 3100 : 2 = = no 5 98 : 2 = = sì 7 96 : 2 = = no : 2 = = sì Inutile continuare perché avevamo notato che 16g era il più piccolo peso di cui disponevamo.

41 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio La bilancia: un cubo è di troppo! (Math-Ecole n.192, giugno 2000, pag.29 - n.11 ) E se mettessi 5 pesi sul piatto di sinistra e 3 su quello di destra, senza modificare le altre condizioni, potrei raggiungere l’equilibrio scartando un cubetto? Esaminiamo tutti i casi possibili notando che il peso minimo di 3 cubetti è, in grammi, 1+3+5= 9. c.s. p.p.p.c.d. 3 c. ? 1102 : 2 = = : 2 = = : 2 = = : 2 = = : 2 = = : 2 = = : 2 = = SCHEMA


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