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1 UN MONDO DI PROBLEMI, MA … MATEMATICI Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi matematici 8 aprile 2014.

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1 1 UN MONDO DI PROBLEMI, MA … MATEMATICI Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi matematici 8 aprile 2014

2 2 IL BERSAGLIO (da Relly matematico 1999/2000 F.Jaquet …) Saverio ha ottenuto un totale di 11 punti lanciando le sue quattro freccette su questo bersaglio Egli sostiene che tirando ogni volta quattro freccette può ottenere tutti i possibili punteggi da 3 a 20 Che casa ne pensate? Per ogni punteggio trovato, indicate i calcoli (Un po’ più difficile) Le frecce sono 7 (5,5,3,3,3,0,0) per un totale di 19, e i possibili punteggi da 3 a 35 RISPOSTA OTTIMALE Non si può ottenere né 4, né 7, né 17, né 19 con la giustificazione dei casi possibili e dell’impossibilità di almeno 4 e 7.

3 3 IL BERSAGLIO (da Relly matematico 1999/2000 F.Jaquet …) Ambito concettuale -Aritmetica -Inventare addizioni con quattro addendi Analisi del compito -Comprendere che 3=3 + (3 x 0) è il punteggio minimo 20=5 x 4 è il punteggio minimo - Verificare per tentativi la possibilità di ottenere i numeri compresi tra 3 e 20: Non si può ottenere né 4, né 7, né 17, né 19

4 4 Il gioco dei birilli Dalla rivista : MATH ECOLE n.168, agosto 1995, pag.39. In questo gioco vi sono sette birilli che valgono: 28, 27, 19, 15, 25, 18 e 22 punti. Nel corso del gioco, come vedi nella figura, alcuni birilli sono caduti. Quelli che sono rimasti in piedi totalizzano 66 punti. Trovare il valore di ciascuno di questi birilli. Soluzione: 19 –

5 5 Il gioco dei birilli … e se In questo gioco vi sono sette birilli che valgono: 28, 27, 19, 15, 25, 18 e 22 punti. Nel corso del gioco, come vedi nella figura, alcuni birilli sono caduti. Quelli che sono rimasti in piedi totalizzano 56 punti. Trovare il valore di ciascuno di questi birilli. Soluzione: 19 –

6 6 Il divertimento di Tommaso ( Math-Ecole n.169, ottobre 1995, pag.12, n.1) A questo gioco si lanciano delle palle per far cadere delle scatole, tutte uguali e disposte come in figura. Quando una scatola cade trascina con sé, nella caduta, tutte le scatole che stanno sopra di essa. Alla fine del gioco si contano tutti i punti segnati sulle scatole cadute.

7 7 a)Tommaso ha ottenuto esattamente 33 punti. Quali scatole ha fatto cadere? ( Risposta: 7, 9, 4, 2, 6, 5) b)Tommaso dice che ha ottenuto i 33 punti lanciando solamente due palle. Quali sono le due scatole che ha toccato con le sue due palle? ( Risposta : 7, 5 )

8 8 NEL REGNO DI FLORA Matematica Senza Frontiere – Accoglienza 2007/2008 La regina Flora viveva in un paese magico. Una parte del reame era sotto l’influsso della strega Malefica. Flora sapeva che per sconfiggere Malefica era necessario combattere contro una pianta carnivora. Andò a chiedere consiglio ad un saggio che le disse: “Questa pianta ha tre fiori capaci di divorarti e tre foglie avvelenate. Tu puoi tagliare solo 1 o 2 fiori per volta; analogamente tu puoi tagliare solo 1 o 2 foglie contemporaneamente. Attenzione però: se tagli 1 foglia, ne spunteranno 2, se tagli 2 foglie in un sol colpo,esse non rispunteranno ma spunterà un nuovo fiore, se tagli 1 fiore, esso rispunterà, se tagli 2 fiori, allora non rispunterà alcunché. Agisci in modo logico e potrai vincere.” Quale strategia d’attacco dovrà usare Flora affinché la pianta non abbia più alcuna foglia né alcun fiore alla fine del combattimento? Illustrate il vostro ragionamento.

9 9 CATENELLA DI NUMERI Matematica Senza Frontiere – Accoglienza 2007/2008 Anna utilizza i numeri ad una cifra per formare una “catenella di numeri”: addiziona, come rappresentato nella figura, due numeri consecutivi per ottenere il successivo (se la somma supera 9 prende solo la cifra delle unità). Ecco come comincia la “catenella” di oggi: Ecco la catenella che ha fatto ieri 1 ? ? ? ? ? ? ? Individuate i numeri mancanti e scrivete la catenella completa illustrando il ragionamento che avete seguito.

10 10 I SASSI COLORATI Cinque bambini Marco, Lucio, Anna, Carla e Rosa hanno raccolto, lungo la spiaggia dei sassi colorati. Marco ha raccolto diciassette sassi Lucio ha raccolto otto sassi Anna ha raccolto dodici sassi Carlo ha raccolto tredici sassi Rosa ha raccolto diciotto sassi Chi ha raccolto più sassi? Chi ha raccolto meno sassi colorati? Ogni bambino ha messo in un sacchetto i sassi raccolti Carlo Disegna i sassi che sono nel sacchetto di Carlo Scrivi sotto al sacchetto giusto il nome degli altri bambini Vi sono più sassi nel secondo sacchetto o nel quinto? (Da sinistra a destra) Carlo dice a Rosa:”Se mettiamo insieme i sassi che noi abbiamo raccolto, avremo più di 32 sassi, ma meno di 34”. È vero? Perché? RMAL

11 11 Marco ha raccolto diciassette sassi Lucio ha raccolto otto sassi Anna ha raccolto dodici sassi Carlo ha raccolto tredici sassi Rosa ha raccolto diciotto sassi Il giorno dopo i bambini hanno deciso di distribuire in parti uguali i loro sassi in due sacchetti: Anna ha fatto due sacchetti, ognuno di essi contiene …. sassi (Continua tu) Due bambini, però, si trovano in difficoltà: Chi sono? Perché? Questi due bambini che cosa potrebbero fare per poter distribuire i loro sassi in parti uguali in due sacchetti?

12 12 CRIPTOARITMETICA Completare la seguente addizione in tutti i modi possibili 3 a 7 2 b c N.B. Lettere diverse non “nascondono” necessariamente numeri diversi. Sicuramente è c=4. Poiché le centinaia sono a posto la somma delle decine non deve avere riporto. Ragioniamo sulle decine : 1+a+b=4 allora a+b =3, cioé a,b sono gli ¨amici del 3 ¨ in addizione, precisamente: a = 0 b = 3 a = 3 b = 0 a = 1 b = 2 a = 2 b = 1 Le possibili addizioni sono quindi quattro: ______________

13 13 E se nell’addizione data inizialmente si eliminasse anche il 2 quante diventerebbero le soluzioni, se il secondo addendo resta di tre cifre? 3 a 7 d b c Per d= 2 valgono le quattro soluzioni già trovate. Se fosse d=1? Allora avremmo:1 + a + b = 14 quindi a + b = 13 a = 9b = 4a = 4 b = 9 a = 8b = 5a = 5 b = 8 a = 7b = 6a = 6 b = 7 In totale avremo dieci soluzioni che soddisfano i dati.

14 14 Caccia al tre Isidoro sta scrivendo la successione dei numeri a partire da 1: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 Ad un certo punto Isidoro scrive la cifra 3 per la venticinquesima volta. Quale numero sta scrivendo Isidoro a quel punto? Mostrate come lo avete trovato. 10° Rally Matematico Transalpino

15 15 Caccia al tre Ambito concettuale Numerazione: distinzione fra cifra e numero Analisi del compito Capire che si deve contare quante volte compare la cifra 3 nella successione dei numeri. Organizzare le ricerca: scrivere la successione dei numeri oppure scrivere solo i numeri contenenti la cifra 3 oppure procedere esaminando successivamente le diverse decine. Fermarsi al numero che contiene la venticinquesima cifra 3, e cioè a 131.

16 16 LA COMBINAZIONE DELLA CASSAFORTE Il signor Gianni Smemorini ha dimenticato la combinazione della sua cassaforte; chiama a raccolta tutta la famiglia per vedere se mettendo insieme i loro ricordi si riesce a ricostruire la combinazione. Il signor Gianni ricorda che il numero è formato da 5 cifre tra loro diverse la moglie dice che la prima cifra è 9 il figlio ricorda che l’ultima cifra è 8 la figlia è certa che la somma dei valori delle cifre della combinazione è 22. Con queste informazioni la famiglia Smemorini riesce a trovare alcune possibili combinazioni. * Scrivi tutte le possibili combinazioni che rispettano le informazioni date. Analisi del compito e dei possibili sviluppi Le informazioni date esplicitamente consentono di fissare la prima e l’ultima cifra della combinazione della cassaforte: 98 La somma dei valori delle cifre della combinazione è 22, quindi la somma dei valori delle cifre mancanti è 22 – (9 + 8) = 5. Tale somma deve essere ottenuta con tre addendi distinti; si hanno i casi

17 Nella seconda parte del problema viene data un’ulteriore informazione (l’ordine decrescente dei valori delle prime quattro cifre della combinazione) che permette di ridurre le soluzioni possibili alle due seguenti Dato che il signor Gianni ha a disposizione tre tentativi per aprire la cassaforte prima di fare scattare l’allarme, ora può provare entrambe le combinazioni senza correre rischi.

18 18 NUMERI "CROCIATI" (cat. 4, 5) 7 o RALLY MATEMATICO TRANSALPINO - PROVA II marzo - aprile 1999 Completate questo schema di numeri disponendo una cifra per ogni casella, in base alle seguenti indicazioni: Orizzontali 1. Multiplo di 4 2. Le tre cifre di questo numero sono numeri naturali consecutivi (che si susseguono in ordine crescente) 3. Le due cifre di questo numero sono numeri la cui differenza è un multiplo di 2 Verticali A. Le due cifre di questo numero sono numeri dispari consecutivi (che si susseguono in ordine crescente) B. Multiplo di 9 C. Multiplo di 7 e di 11 Spiegate come avete ragionato

19 19 NUMERI "CROCIATI" (cat. 4, 5) 7 o RALLY MATEMATICO TRANSALPINO - PROVA II marzo - aprile 1999 Campo concettuale: - aritmetica: numerazione, multipli - organizzazione dei dati Analisi del compito: - leggere tutte le definizioni e scegliere quella che permette di definire un numero in modo univoco: C verticale (77); - capire che, di conseguenza, anche il 2 orizzontale risulta definito in modo univoco (567) etc.; - formulare le ipotesi necessarie per individuare l'1 e il 3 orizzontale e il B verticale

20 20 IL RITARDATARIO Rally 1997/98 pag. 105 Nella classe di Luca molti bambini hanno preso la brutta abitudine di arrivare a scuola in ritardo. La maestra propone un patto per i 25 giorni di scuola che mancano alle vacanze di Pasqua. Alla fine del periodo stabilito darà ad ogni bambino 3 caramelle per ogni giorno in cui è arrivato puntuale e ne chiederà 12 per ogni giorno di ritardo. Luca, che è stato presente 25 giorni, non riceve nemmeno una caramella ma neanche ne deve dare alla maestra. Quanti giorni Luca è arrivato in ritardo a scuola? Spiegate il vostro ragionamento.

21 21 IL RITARDATARIO Rally 1997/98 pag. 105 Campo concettuale: - Aritmetica, logica. Analisi del compito: - Ipotizzare che per circa metà giorni (12 oppure 13) Luca sia arrivato in orario, per poi aumentare tale numero fino a trovare la soluzione: 20 giorni in orario e 5 giorni in ritardo. - Oppure considerare multipli di 3 e multipli di 12 fino a trovare il valore comune 60 - Oppure osservare che 1 giorno di ritardo "pareggia" 4 giorni di puntualità, e che tale situazione si può ripetere 5 volte in 25 giorni.

22 22 IL NASO DI PINOCCHIO Rally 1999/2000 pag. 140 Il naso di Pinocchio è lungo 5 centimetri. Quando Pinocchio dice una bugia la Fata dai capelli turchini glielo fa allungare di 3 centimetri, ma quando Pinocchio dà una risposta sincera la Fata glielo fa accorciare di 2 centimetri. Alla fine della giornata Pinocchio ha il naso lungo 20 centimetri e ha detto 7 bugie. Quante risposte sincere ha dato Pinocchio alla Fata nel corso della giornata? Spiegate come avete fatto a trovare la risposta.

23 23 Campo concettuale: -Aritmetica: linea dei numeri e spostamenti su di essa, le quattro operazioni Analisi del compito: - stabilire che per le 7 bugie dette il naso di Pinocchio si allunga di 21 cm (7x3), che aggiunti ai 5 iniziali porterebbero ad una lunghezza totale di 26 cm (21+5); se il naso di Pinocchio è lungo solo 20 cm, significa che si è accorciato di 6 cm a causa di 3 risposte sincere che ha dato (26-20) : 2 - disegnare una linea dei numeri e, partendo dal numero 5, procedere in avanti di 3 in 3 per 7 volte arrivando al numero 26; da qui tornare indietro di 2 in 2 fino al numero 20 (3 volte) - effettuare per tentativi spostamenti alternati per arrivare a 20 IL NASO DI PINOCCHIO Rally 1999/2000 pag. 140

24 24 Numeri in incognito (soluzione non unica) (da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson) (58   ) +  = 300 si deduce che - il numero che corrisponde al simbolo  deve essere un numero minore di 6, dato che 58  6  il prodotto 58   è un numero pari, che può essere 0, 58 o maggiore di 58 - il numero che corrisponde a  deve essere un numero pari, diverso da 0 e non maggiore di 300. Conviene procedere per sostituzioni a partire da , dato che il valore di  si ottiene semplicemente per differenza:  

25 25 E se fosse… (58   ) + 2   = 301 Non ho soluzioni perché la somma di due numeri pari non può essere un numero dispari

26 26 La bilancia: un cubo è di troppo! (Math-Ecole n.192, giugno 2000, pag.29 - n.11) Giacomo ha nove cubi, di materiali differenti, che pesano: 1, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 13, e 15 grammi. Ne mette quattro sul piatto di destra di una bilancia e quattro su quello di sinistra. Per ristabilire l’equilibrio, sul piatto di destra deve aggiungere un peso di 30g. ? Quale può essere il cubo che non si trova sulla bilancia? Spiega il ragionamento che fai. E se mettessi 5 pesi sul piatto di sinistra e 3 su quello di destra, senza modificare le altre condizioni, potrei raggiungere l’equilibrio scartando un cubetto?

27 27 La bilancia: un cubo è di troppo! (Math-Ecole n.192, giugno 2000, pag.29 - n.11 ) ? 30g p.p.peso per piatto I pesi sono in grammi p.c.d.peso cubetti destra c.speso cubetto scartato 4c. ?4 cubetti? Peso in grammi dei cubetti 1, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 13 e 15 30g Peso totale in grammi: 103 Soluzione

28 28  Avendo 7 addendi dispari potevamo prevedere che la somma fosse dispari! ( 1, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 13 e 15 30)  103 è dispari quindi non può essere diviso in due parti uguali da mettere sulla bilancia. Perché l’equilibrio sia possibile dobbiamo: scartare un peso dispari controllare se i pesi rimanenti possono essere disposti come indicato nel disegno: quattro cubetti su ogni piatto più il peso da 30g  Esaminiamo tutti i casi possibili notando che il peso minimo di 4 cubetti è, in grammi, =16 Conviene fare uno schema: La bilancia: un cubo è di troppo! (Math-Ecole n.192, giugno 2000, pag.29 - n.11 )

29 29 La bilancia: un cubo è di troppo! (Math-Ecole n.192, giugno 2000, pag.29 - n.11 ) c.s. p.p.p.c.d. 4c.? 1102 : 2 = = no 3100 : 2 = = no 5 98 : 2 = = sì 7 96 : 2 = = no : 2 = = sì Inutile continuare perché avevamo notato che 16g era il più piccolo peso di cui disponevamo.

30 30 La bilancia: un cubo è di troppo! (Math-Ecole n.192, giugno 2000, pag.29 - n.11 ) E se mettessi 5 pesi sul piatto di sinistra e 3 su quello di destra, senza modificare le altre condizioni, potrei raggiungere l’equilibrio scartando un cubetto? Esaminiamo tutti i casi possibili notando che il peso minimo di 3 cubetti è, in grammi, 1+3+5= 9. c.s. p.p.p.c.d. 3 c. ? 1102 : 2 = = : 2 = = : 2 = = : 2 = = : 2 = = : 2 = = : 2 = = SCHEMA

31 31 L’anno di nascita di Topolino Collection DIAGONALE - CE2- pag..74, ed. Nathan Scopri l’anno di nascita di Topolino per mezzo del messaggio che c’è nella busta. Mettiti sulla casella : PARTENZA Vai di casella in casella scegliendo uno dei cammini segnati: quello giusto!!! Ricopia i quattro numeri che incontrerai sul tuo cammino per mezzo delle informazioni che seguono:

32 32 1ª casella : il numero più piccolo 2ª casella : 92 centinaia, la cifra delle decine è 0 3ª casella : 2 migliaia, 6 centinaia, 5 unità e 1 decina 4ª casella : numero compreso tra 5 e 6 migliaia 5ª casella : la busta! Aprila... L’anno di nascita di Topolino Collection DIAGONALE - CE2- pag..74, ed. Nathan Leggi il messaggio misterioso. Nome : TOPOLINO Anno di nascita : A Fai la somma dei numeri rappresentati dalle cifre delle centinaia dei quattro numeri che hai scoperto. Questo è il numero delle centinaia di A. La cifra delle decine di A è il numero doppio di 1. La cifra delle unità di A è uguale alla cifra delle centinaia di A. A =

33 33 Etichette (cat. 3, 4, 5) 7 o RALLY MATEMATICO TRANSALPINO - PROVA II marzo - aprile 1999 Pasqualina confeziona uova di Pasqua nella fabbrica Coccoricò. Su ciascun uovo incolla un'etichetta rossa. Quando ha confezionato 10 uova, le mette in una scatola che chiude e sulla quale incolla un'etichetta gialla. Quando ha riempito 10 scatole, le mette in una cassa che chiude e sulla quale incolla un'etichetta verde. Ieri Pasqualina ha confezionato 256 uova. Quante etichette ha incollato in tutto? Spiegate il vostro ragionamento

34 34 Etichette (cat. 3, 4, 5) 7 o RALLY MATEMATICO TRANSALPINO - PROVA II marzo - aprile 1999 Campo concettuale: -aritmetica: numerazione, addizione, moltiplicazione, divisione Analisi del compito: -capire la regola del raggruppamento degli oggetti (che è la stessa del nostro sistema di numerazione): ogni scatola contiene 10 uova, ogni cassa contiene 10 scatole; ogni volta che si hanno 10 oggetti dello stesso genere si raggruppano nel recipiente di grandezza successiva; -capire che il numero delle etichette è la somma dei numeri delle uova, delle scatole e delle casse: = procedere mediante disegno degli oggetti e loro conteggio oppure attraverso il calcolo: 256 : 10 = 25 (scatole), 25 : 10 = 2 (casse).

35 35 L’ASINO DI TOBIA (Cat. 3) 15e RMT PROVA 1 (gennaio-febbraio 2007) Tobia è andato in paese ed ha acquistato 6 sacchi di provviste. Li vuole trasportare con il suo asino fino alla sua casa sulla cima del monte. Ecco i sacchi di provviste sui quali è indicato il loro peso in chili. Tobia vuole sistemare tutti i sacchi nelle due ceste poste sul dorso dell’asino in modo che le due ceste abbiano lo stesso peso. Come può fare Tobia? Descrivete tutti i modi in cui Tobia può sistemare i sacchi nelle ceste e spiegate come li avete trovati.

36 36 L’ASINO DI TOBIA ANALISI A PRIORI Ambito concettuale - Aritmetica: operazioni; scomposizione di un numero come somma Analisi del compito - Comprendere l’enunciato al fine di poterlo matematizzare. - Rendersi conto che, se le due ceste devono avere lo stesso peso, il peso di ciascuna di esse deve essere la metà di quello totale, cioè ( ): 2 = 28 in kg. - Cercare di ottenere 28 utilizzando i numeri a disposizione, dopo avere eventualmente notato che i due numeri dispari (7 e 5) devono quindi essere insieme.

37 37 L’ASINO DI TOBIA -Scoprire così che ci sono due modi di distribuire i sacchi nelle ceste, corrispondenti alle seguenti uguaglianze numeriche: = = (Per trovare il secondo modo di distribuire i sacchi, bisogna liberarsi della consegna immaginaria “3 sacchi in ciascuna cesta” e pensare che i sacchi possano essere ripartiti in numero diverso (4 e 2) senza influire sul peso delle ceste). Oppure: procedere per tentativi cercando ogni volta di formare con i numeri dati due addizioni che diano lo stesso risultato. Risposta : le due possibilità 12+16= e = con spiegazione

38 38 NUMERO DA INDOVINARE 15e RMT PROVA 1 (gennaio-febbraio 2007) (Cat. 3, 4) Giacomo pensa un numero. I suoi compagni lo devono indovinare. Per aiutarli egli dà loro le seguenti informazioni : –è un numero pari; –il suo doppio è più piccolo di 100; –è un numero più grande di 33; –in questo numero compare una sola volta la cifra 4; –se si scambiano fra loro le due cifre di questo numero, si ottiene un numero più piccolo di 70 ma più grande di 50. Qual è il numero pensato da Giacomo? Spiegate come avete fatto a trovarlo.

39 39 NUMERO DA INDOVINARE 15e RMT PROVA 1 (gennaio-febbraio 2007) (Cat. 3, 4) ANALISI A PRIORI Ambito concettuale Aritmetica: numerazione, relazione d’ordine, cifra e numero, notazione posizionale, doppio di un numero, numeri pari Analisi del compito Comprendere le differenti condizioni del problema. Tradurre ciascuna condizione con una proprietà delle cifre del numero cercato. Procedere in modo sistematico scartando i numeri che non soddisfano tali condizioni. Dedurre, dalle prime tre condizioni, che i numeri possibili sono i numeri pari compresi tra 34 e 49. Tra questi gli unici numeri compatibili anche con la quarta condizione sono il 34, il 40, il 42, il 46 ed il 48. Scartare il 34, il 40, il 42, e il 48 perché non compatibili con la quinta condizione. Concludere che il numero pensato è 46. Oppure: la seconda e terza condizione mostrano che i numeri possibili sono compresi tra 34 e 49; l’ultima condizione dà come cifra delle unità 5 o 6; la prima condizione impone 6 come cifra delle unità: a questo punto i numeri possibili sono 36 o 46; la quarta condizione porta al 46. Risposta corretta : 46 con spiegazione o verifica esplicita della coerenza con tutte le condizioni

40 40 Le bandiere Vedi le bandiere di sei Stati del mondo. Scrivi sotto ogni bandiera lo Stato cui appartiene.

41 41 Le bandiere Contrassegna: ogni zona rossa con un numero decimale compreso tra 2,6 e 2,75 ogni zona blu con un numero decimale compreso tra 0,01 e 0,1 ogni zona gialla con un numero decimale compreso tra 3,80 e 3,81 ogni zona bianca con un numero compreso tra 7,154 e 7,2 la zona nera con il più piccolo numero che, approssimato ai centesimi, è maggiore di 9. Il numero di ogni zona deve essere diverso dai numeri delle altre zone anche se hanno lo stesso colore. ?

42 42 Le bandiere Per controllare se hai lavorato bene ricopia le bandiere senza colorarle scrivi in ogni zona il numero che hai scelto copia la consegna relativa ai colori e chiedi a un tuo compagno di colorare le bandiere e di scrivere sotto ad ognuna lo Stato cui appartiene

43 43 UNA STORIA DI PUFFI Nel simpatico villaggio di Pufflandia, i Puffi abitano in graziose casette a forma di fungo, ve ne sono di grandi e di piccole. In ognuna delle 3 case grandi vivono 8 Puffi, in ognuna delle 14 case piccole vivono 4 Puffi. Quanti abitanti vivono a Pufflandia? Scrivi e risolvi l'espressione che ti permette di rispondere alla domanda:

44 44 ORGANIZZAZIONE DELLA SALA DA PRANZO Da qualche giorno i Puffi sono indaffaratissimi ad organizzare una festa in onore del compleanno di Puffetta. Puffo Brontolone e puffo Vanitoso, che hanno l'incarico di preparare il grande banchetto, parlottano fra loro: Che fatica “puffare” tutti questi tavoli! Almeno fossero tutti uguali, invece 9 sono da 3 posti, 7 da 6 posti e 5 da 8 Non preoccuparti con il mio ingegno “pufferemo il minor numero di tavoli, con tanti posti quanti sono gli abitanti del villaggio. Inoltre farò in modo che in nessuno dei tavoli occupati vi siano posti vuoti

45 45 RICERCA DEI TAVOLI Si consiglia di utilizzare una tabella per poter dominare la situazione numero di tavoli numero di persone per tavolo Numero Puffi : 80 numero tavoli occupati = 13 I Puffi sono 80. Se consideriamo di riempire 5 tavoli da 8, cioè diamo il posto a 40 Puffi, vediamo facilmente che i 40 Puffi che restano non possono essere sistemati nei tavoli da 6 e da 3 senza che restino posti vuoti. Possiamo allora riempire 4 tavoli da 8. In questo modo sistemiamo 32 Puffi. I restanti 48 Puffi possono essere distribuiti nelle tavole da 6 e da 3 in vari modi; quello che soddisfa il problema è:

46 46 INDOVINA CHI Marco e Giovanni stanno giocando ad indovinare i numeri pensati. Ora “tocca” a Marco indovinare il numero pensato da Giovanni in base a questi indizi. PRIMO INDIZIO Lo puoi trovare numerando per 0,02 partendo da 1,92 fino a 2,10. Può essere: 1,92 …… …… …… …… ……. …… …… ……. ……. SECONDO INDIZIO La cifra dei decimi è 0 Può essere: ……. ……. ……. ……. …….. TERZO INDIZIO Se lo dividi per 3 il resto della divisione è 0 Allora è: ………. 1,941,961,98 2,00 2,022,042,062,082,10 2,04 2,002,022,042,062,08

47 47 NUMERI DECIMALI DA SCOPRIRE Se mi moltiplichi per 100 ottieni un numero intero di 3 cifre. Se dividi la mia parte intera per 2 ottieni 4. La cifra dei centesimi è 1/3 di 9. La somma dei numeri rappresentati dalle mie cifre è 15. Che numero sono? 8,43

48 48 NUMERI DECIMALI DA SCOPRIRE pag. 341 Sono compreso tra 20 e 30 La cifra delle unità è il doppio della cifra delle decine Se mi moltiplichi per 10 ottieni un numero intero Il numero rappresentato dalla cifra dei decimi corrisponde ad 1/3 della parte intera. Che numero sono? 24,8

49 49 NUMERI DECIMALI DA SCOPRIRE Se mi moltiplichi per 100 ottieni un numero intero di 5 cifre: Se dividi la mia parte intera per 10 ottieni ancora un numero intero: Sono compreso tra 2 centinaia e 3 centinaia: La cifra dei centesimi è 1: Il numero che occupa il posto delle decine è il triplo del numero che rappresenta i decimi: La somma dei numeri rappresentati dalle mie cifre è 15: Che numero sono? 290,31

50 50 Una curiosa leggenda narra che un pescatore trovò lungo le rive del fiume Lo, un affluente del fiume Giallo, una tartaruga che portava incisi sul suo guscio degli strani segni geometrici. Il pescatore portò la tartaruga all’imperatore e i matematici al suo servizio studiando quei segni, scoprirono una imprevedibile struttura: un quadrato di numeri con somma costante 15 su ogni riga, colonna o diagonale. Lo Shu, così venne battezzato questo quadrato numerico, diventò uno dei simboli sacri della Cina, rappresentazione dei più arcani misteri della Matematica e dell’Universo. I segni sul guscio della tartaruga e la loro traduzione in numeri

51 51 I cinesi attribuirono alle sue proprietà matematiche un significato mistico, tanto da farne il simbolo che in sè riuniva i principi primi che formarono le cose, gli uomini e l'universo e che tuttora sono in esso presenti. Così i numeri pari vennero a simbolizzare il principio femminile dello yin, mentre i dispari quello maschile dello yang. Al centro vi è il numero 5 che appartiene alle due diagonali, alla colonna e alla riga centrali: esso rappresenta la Terra. Tutto attorno sono distribuiti i quattro elementi principali: i metalli simbolizzati dal 4 e dal 9, il fuoco indicato dal 2 e dal 7, l'acqua dall'1 e dal 6 e il legno dal 3 e dal 8. I quadrati magici probabilmente giunsero in Occidente attraverso gli Arabi.

52 52 Il matematico Cornelio Agrippa ( ) si dedicò alla costruzione dei quadrati magici di ordine superiore a due, infatti costruì quadrati magici di ordine 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e a essi attribuì un significato astronomico: rappresentavano i sette pianeti allora conosciuti (Saturno, Giove, Marte, il Sole, Venere, Mercurio e la Luna).

53 53 Dal Rinascimento in poi c’è sempre stato interesse per queste figure che, intagliate nel legno o in altri materiali, servivano come amuleti e sono tuttora in uso in alcune regioni dell’Oriente. Nel '500 e nel '600 si pensava che questi quadrati magici incisi su una piccola lastra d’argento potessero servire come amuleti contro la peste. L’alone di mistero e di magia che circonda queste figure geometriche è in parte comprensibile se si analizzano le loro sorprendenti possibilità combinatorie.

54 54 Bisogna attendere il 1300 per avere una prima vera analisi sui quadrati magici da un punto di vista meramente matematico. Analizzando il lavoro dell'arabo Al-Buni, l'erudito bizantino greco Manuel Moschopoulos (circa ) scrisse un trattato matematico a proposito dei quadrati magici, andando oltre il misticismo dei suoi predecessori. Si pensa che Moschopoulos fu il primo occidentale ad occuparsi dell'argomento. Intorno alla metà del XV secolo, l'italiano Luca Pacioli studiò queste strutture e raccolse tantissimi esempi. Si cominciava così a dare la giusta interpretazione della struttura logico-matematica di queste griglie di numeri. Manuel Moschopoulos Luca Pacioli

55 55 Nel 1599 Diego Palomino pubblicò a Madrid un'opera sui quadrati magici, ma non indicò alcun procedimento generale per costruirli. Un elegante metodo per trovare quelli di ordine dispari fu pubblicato nel 1612 da C. G. Bachet nei suoi Problèmes plaisant.C. G. Bachet Un procedimento per la costruzione dei quadrati di ordine pari fu dato da B. Frenicle De Bessy in un'opera pubblicata nel 1693B. Frenicle De Bessy Le pubblicazioni sui quadrati magici divennero, poi, sempre più frequenti ed è così che apparvero le Rècrèations di Ozanam, il Traitè des quarrès sublimes di Poignard (Bruxelles, 1704) e varie memorie di L. Eulero.OzanamL. Eulero Oggi, grazie anche a Martin Gardner che ne ha data ampia diffusione nei suoi articoli su "Scientific American" prima e nel suo Enigmi e giochi matematici poi, i quadrati magici sono diventati parte fondamentale di quella branca della Matematica che va sotto il nome di Matematica Ricreativa.Martin GardnerEnigmi e giochi matematici

56 56 Albrecht Dürer Melancolia I

57 57 Ecco il particolare dell’incisione: Addizionando tra loro i numeri di ogni colonna, ogni riga e ogni diagonale si ottiene sempre Il medesimo risultato, 34.

58 58 Albrecht Durer, 1514,"Melancolia" (da I QUADRATI MAGICI di Gianfranco Baleani Matematica Pristem) Percorsi magici su "Melancolia"

59 59 Basilica della Sagrada Familia a Barcellona, Si tratta del quadrato magico di Josep Maria Subirachs Sitjar. Nel crittogramma di Subirachs non sono presenti i numeri 12 e 16 (mentre i numeri 10 e 14 sono ripetuti due volte) e il risultato della somma dei numeri di ciascuna riga, colonna e diagonale è 33, gli anni della vita di Gesú.

60 60 Un quadrato magico è un quadrato diviso in nxn caselle quadrate Le caratteristiche di un quadrato magico sono le seguenti:  in ciascuna casella appare un numero naturale diverso da zero;  un dato numero non appare più di una volta;  se la somma dei numeri di una data riga è s, deve essere s la somma dei numeri:  di ogni riga  di ogni colonna  di ogni diagonale del quadrato Il numero s si dice “la chiave” del quadrato magico.

61 61 Nel quadrato magico della fig.1 la chiave è Fig. 1

62 62 Costruire quadrati magici 3x 7 Un criterio generale per costruire quadrati magici di ordine nxn non è facile da trovare. Nell’esempio che segue ci riferiamo ad un quadrato magico di ordine 3x3  la cui chiave è 24 (scelta a caso)  e nel quale abbiamo sistemato, sempre a caso: 3 e 7 Fig. 2 3x21-x 7x-1128-x 142x-25 Fig. 3

63 63 Costruire quadrati magici 3x21-x 7x-1128-x 142x-25 Fig. 3 1^ colonna: 3^ casella 24 – (3 + 7) = 14 1^ riga: 3^ casella 24 – (3 + x) = 21 – x diagonale: 2^ casella 24 – ( x) = x – 11 2^ riga: 3^ casella 24 – (7 + x - 11) = 28 – x 3^ colonna: 3^ casella 24 – (21 – x x) = 2x - 25 Abbiamo dati sufficienti per impostare un’equazione da cui trovare x. Tale equazione è data dall’altra diagonale: 3 + (x – 11) + (2x – 25) = 24 da cui si ha x = 19

64 64 Costruire quadrati magici Fig. 4 Nella fig.3, sostituendo ad x il numero 19, abbiamo il seguente quadrato magico. Abbiamo un numero negativo; ciò dice che la chiave scelta era incompatibile con i numeri assegnati. Cosa fare? Basta addizionare ad ogni numero del quadrato magico uno stesso numero in modo da rendere positivo (e quindi naturale) anche il numero -3. Dobbiamo addizionare un numero maggiore di 3

65 65 Costruire quadrati magici Fig.5 Per esempio se addizioniamo 4 otteniamo il quadrato magico della Fig.5. Questo quadrato non ha più chiave 24, ma ha chiave: 24 + (4 x 3) =

66 66 Costruire quadrati magici Fig. 6 Può darsi che il procedimento seguito ci porti ad un valore frazionario di x Cosa fare? Basta moltiplicare tutti i numeri del quadrato magico per 3 (o per un multiplo di 3). In tal modo otteniamo un quadrato magico dove appaiono solo numeri interi. Chiave 14

67 67 Costruire quadrati magici Fig.7 La chiave del quadrato di Fig.6 era 14, la nuova chiave è: 14 x 3 =

68 68 Costruire quadrati magici Per lo più i numeri che formano un quadrato magico sono scritti in progressione aritmetica (cioè formano una successione di numeri in cui la differenza tra un termine e quello successivo è costante), ma ciò non è necessario. Per semplicità si usa spesso una particolare progressione aritmetica costituita dalla serie ordinata dei numeri naturali a cominciare dall’unità. il problema allora è quello di disporre i primi nove, sedici, venticinque ecc… numeri naturali nelle caselle di un quadrato 3x3, 4x4, 5x5, … in modo che il quadrato sia magico.

69 69 I quadrati magici a scuola Problema: Nel quadrato a fianco disponi i numeri da 1 a 9 in modo che la somma dei numeri situati sulla stessa riga, sulla stessa colonna o sulla stessa diagonale del quadrato sia sempre 15. il quadrato che ottieni si chiama quadrato magico. Tentativi casualiTentativi guidati

70 70 Scrivere tutte le terne di numeri naturali (non ripetuti) la cui somma è

71 71 Abbiamo fatto notare che: a b c Il numero che occupa la posizione a appartiene a 4 terne Il numero che occupa la posizione b appartiene a 3 terne Il numero che occupa la posizione c appartiene a 2 terne

72 72 Osservando le terne scritte si nota che l’unico numero che appartiene a 4 terne è il 5. Il 5 si trova al centro del quadrato I numeri che appartengono a 3 terne sono: 4 – 2 – 8 – 6 e vanno scritti nei quattro angoli (due a caso e gli altri devono soddisfare le terne scritte) 6 4 Es.: Se nella prima casella della prima riga scrivo 4, nella terza casella del’ultima riga devo scrivere 6. Se nella prima casella dell’ultima riga scrivo 8, nella terza casella della prima riga devo scrivere

73 73 Ipotesi La disposizione dei nove numeri per formare un quadrato magico non è unica.

74 74 Isometrie del quadrato (otto) rotazioni Posizione di partenza 1/4 di giro a destra /4 di giro a destra /4 di giro a destra /4 di giro (a destra

75 75 Isometrie del quadrato (otto) Simmetrie assiali Posizione di partenza Asse a Asse b Asse c Asse d d a b c

76 76 La chiave del quadrato magico Quando i numeri sono in progressione aritmetica e il quadrato magico è di ordine tre, la chiave del quadrato è sempre il triplo del numero centrale. Si verifica su molti esempi diversi fino a dedurre che “è molto probabile” che ciò accada sempre.

77 77 La chiave del quadrato magico Se i numeri sono in progressione aritmetica la somma dei termini equidistanti dagli estremi è costante. Es.: nella progressione Si ha: = =3 + 7 = =10 Rispetto al 5, che è il numero centrale, si ha la seguente struttura: Approfondimento per la scuola sec. di primo grado

78 78 Approfondimento per la scuola sec. di primo grado Le terne diventano = (5 – 1) (5 + 1) = 5 x 3 = = (5 – 2) (5 + 2) = 5 x 3 = = (5 – 3) (5 + 3) = 5 x 3 = 15 ecc.

79 79 Approfondimento per la scuola sec. di primo grado In generale, se a è il numero della casella centrale, fissato a piacere, si costruiscono i numeri della progressione aggiungendo e togliendo ad a i multipli di uno stesso numero n, scelto in modo che le sottrazioni siano tutte possibili. I nove numeri della progressione sono allora: a – 4n, a – 3n, a – 2n, a – n, a + n, a +2n, a +3n, a +4n Ecco un possibile quadrato la cui chiave è 3a a-3na+4na-n a+2naa-2n a+na-4na+3n

80 80 Un po’ di esercizi Completate i seguenti quadrati magici Dahttp://utenti.quipo.it/base5/scuola/addites.htm

81 81 METODO NUMERICO PER TROVARE LE 8 POSSSIBILITÀ

82

83

84

85 85 La piramide di mattoni Attività per prima e seconda 54 9 no

86 86 La piramide di mattoni Problema: se si scambiano fra loro i due mattoni in basso, il numero che figura nel mattone in alto cambia? 5445 Scrivere un numero in forma additiva in modi diversi La mia mini-piramide ha in cima un mattone in cui è rappresentato il numero 12. Sai dirmi quali numeri possono figurare nei mattoni sui quali esso appoggia? 12 Posso usare tutti gli amici del 12?

87 87 Dopo l’addizione Attraverso opportune situazioni problematiche ci si può avvicinare alla sottrazione. Giacomo ha costruito la sua piramide. A Rita piaceva e l'ha copiata, ma una macchia è caduta sul foglio. Sai dirmi cosa c'era scritto sotto la macchia? Ad alunni di quarta e quinta, con i quali si sia già incontrato l’uso della lettera al posto di un numero sconosciuto, si propone una rappresentazione diversa da quella della macchia: n15 28

88 88 Seconda fase Conoscendo i numeri rappresentati nei mattoni del primo piano, completa la piramide

89 89 Si propongono dei problemi nella cui soluzione è necessario ricorrere anche alla sottrazione

90

91 È un problema con infinite soluzioni In che ordine “conviene” completare i mattoni? no

92 Il problema può aprire il passaggio all’algebra. Si inizia conducendo la classe a capire che il problema sarebbe risolvibile se si conoscesse il numero nel mattone centrale della base. Piramidi a tre piani. Alcuni alunni rimangono bloccati ritenendo impossibile trovare una soluzione; la maggior parte però comincia a procedere per tentativi ponendo un numero nel mattone centrale della base e trovando i numeri del secondo piano, la cui somma dovrebbe essere uguale a 36. Da far completare da loro Solo la piramide da risolvere

93 93 13 a 13+a a 36 Piramidi a tre piani. La relazione di uguaglianza che lega 36 con 13 + a e con 15 + a porta all’equazione: 13 + a a = 36 la cui soluzione consente di completare la piramide: 13 + a a = a = 36 2a = 36 – 28 2a = 8 a = 8:2 a = 4 Se lo si rappresenta quindi con una lettera (ad esempio ‘a’), i numeri nei due mattoni del secondo piano si possono indicare in questo modo:

94 94 ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI (da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson) In uno schema a forma di piramide si deve inserire un numero in ogni mattone rispettando le seguenti regole: nessun mattone deve essere contrassegnato con il numero zero; i numeri sui mattoni della base della piramide devono essere diversi; ogni mattone che non forma la base della piramide deve essere contrassegnato con la somma dei numeri indicati sui due mattoni sui quali è posato. Completa le seguenti piramidi rispettando le regole Come hai proceduto a completare la piramide? … ………………………………….. Hai trovato difficoltà ad effettuare il completamento? …. Perché? …………………. A Per il completamento della piramide A sono assegnate più informazioni rispetto a quelle minime, in modo da dare agli alunni la possibilità di un autocontrollo nella comprensione e nella messa in opera della regole di compilazione delle piramidi.

95 95 ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI (da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson) Completa le seguenti piramidi rispettando le regole. Come hai proceduto a completare la piramide? … ………………………………….. Hai trovato difficoltà ad effettuare il completamento? …. Perché? ………………… B Nella piramide B si chiede di applicare un passaggio inverso: nota la somma del valore di due mattoni e uno di tali valori, si deve ricavare l’altro per differenza

96 96 ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI Completa le seguenti piramidi rispettando le regole. Come hai proceduto a completare la piramide? … ………………………………….. Hai trovato difficoltà ad effettuare il completamento? …. Perché? …………………. Ecco alcune delle piramidi che chiedono un po’ più di abilità A Da fare al corso

97 97 Abbastanza semplice risulta il completamento della metà di sinistra della piramide A della scheda 29b. La modalità di completamento si può differenziare per la parte a destra della piramide, in quanto può capitare che alcuni alunni procedano per tentativi dai mattoni della base fino a quello al vertice. È sicuramente più economico, invece, effettuare il completamento nel verso opposto, ossia dal vertice alla base; si ha:

98 98 ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI Completa le seguenti piramidi rispettando le regole. Come hai proceduto a completare la piramide? … ………………………………….. Hai trovato difficoltà ad effettuare il completamento? …. Perché? ………………… B Per la piramide B è necessario osservare che il numero 80 al vertice è la somma di 23, 21 e del doppio del numero segnato nel mattone racchiuso tra i precedenti. Tale numero è, dunque, ottenibile con passaggi aritmetici sintetizzabili nell’espressione [80 – ( )] : 2 = 18 Il completamento della piramide è poi immediato. Da fare al corso

99 99 ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI Completiamo la piramide inserendo il numero

100 100 ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI Ecco alcune piramidi di mattoni che vengono affrontate solo dai soci più esperti del circolo “Enigmistica matematica”. Rispettando la regola, trova tutti i possibili completamenti diversi, riproducendo la piramide sul quaderno tutte le volte che ti è necessario. A Hai potuto completare la piramide in tanti modi diversi quanti ne avevi previsti? ……………. Perché? Confronta il tuo lavoro con quello di un tuo compagno e discutine con l’insegnante. Da fare al corso

101 101 Il problema sotteso dal completamento della piramide A consiste nel determinare almeno uno dei numeri che contrassegnano i mattoni della base della piramide. Visti i numeri segnati sui mattoni della seconda fila, si devono trovare le coppie di numeri, diversi da 0, amici di 8 nell’addizione, quelle di 12 e quelle di 11. A Da quale numero iniziamo?

102 102 Si può decidere di utilizzare tutte le coppie di numeri amici di 8, che sono le meno numerose, per tentare di compilare la piramide: le coppie da provare sono solo (1, 7), (2, 6), (3, 5), (5, 3), (6, 2), (7, 1), dato che (0, 8), (4, 4) e (8, 0) non rispettano le regole, e danno luogo alle piramidi che seguono (1, 7) dà una soluzione (2, 6) non dà una soluzione perché nella base ci sono due numeri uguali

103 (3, 5) dà una soluzione (5, 3) dà una soluzione (6, 2) dà una soluzione (7, 1) non dà una soluzione perché un mattone è contrassegnato con 0

104 104 ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI Ecco alcune piramidi di mattoni che vengono affrontate solo dai soci più esperti del circolo “Enigmistica matematica”. Secondo te, qual è la coppia (, ) di numeri più piccoli che posso scrivere al posto dei punti? ………… Perché? ……… Riproduci la piramide sul quaderno e completala in almeno cinque modi diversi. Confronta il tuo lavoro con quello di un tuo compagno e discutine con l’insegnante. B 6177 Da fare al corso

105 105 ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI La piramide B ammette infiniti completamenti, dato che è soddisfatta da tutte le coppie di numeri amici di 7 nella sottrazione: il primo termine della coppia dà il numero da mettere nella seconda fila, il secondo numero quello mancante nella prima fila; l’unica condizione è che questo secondo numero sia diverso da 6, da 7 e da 17. B 6177

106 106 ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI I soci del circolo “Enigmistica matematica” non si accontentano di completare le piramidi: vogliono capire quali regole matematiche si nascondono nei mattoni. Si sono posti un primo problema: se si cambia l’ordine in cui sono scritti i numeri sui mattoni della base di una piramide, cambia il numero sul mattone al vertice? I soci hanno fissato come piramide di partenza quella data nel disegno e ora sono tutti all’opera per costruire tutte le piramidi che si ottengono da questa cambiano il posto dei numeri nella prima riga

107 107 ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI Il problema connesso alla prima piramide consiste nel cogliere come cambia il numero al vertice, modificando la disposizione dei numeri alla base. È possibile che gli alunni ipotizzino che il numero al vertice non cambia anche se i numeri alla base vengono scritti in ordine diverso, perché vale la proprietà commutativa dell’addizione. È, però, facile verificare che tale ipotesi non è vera. Per dare una risposta esaustiva si devono analizzare tanti casi quante sono le permutazioni dei quattro numeri alla base, ossia 24, nella tabella che segue sono indicate tutte le possibili quaterne e per ciascuna la somma al vertice Numero nelSomma al vertice 1° m.2° m.3° m.4° m

108 108 ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI Dopo avere costruito tutte le piramidi ottenibili cambiando la posizione dei numeri di base, i soci del circolo hanno formato i gruppi di quelle che hanno lo stesso numero nel vertice. Ora stanno studiando i diversi gruppi di piramidi per ricavare, se c’è, una regola aritmetica che permette di ricavare il numero nel vertice, a partire da quelli alla base e senza completare tutti i mattoni delle righe centrali. Procedi anche tu come hanno fatto i soci del circolo “Enigmistica matematica”. * Scrivi la regola che hai individuato. Per verificare la validità della tua regola, prova a stabilire quanto vale in ciascuna delle seguenti piramidi il mattone segnato con un punto

109 109 ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI Confrontando tra loro le piramidi che hanno al vertice lo stesso numero, si può ipotizzare che la somma dipenda non tanto dalla posizione dei singoli numeri alla base, quanto dalle coppie di numeri che occupano i mattoni estremi o quelli centrali. Per esplicitare la regola che lega i numeri alla base con quello al vertice si può procedere manipolativamente. Si contrassegna ogni mattone alla base con un cubetto di un colore diverso dagli altri. Se, per esempio si usano mattoncini verdi (v), rossi (r), neri (n) e blu (b) si ottiene: v bnr v r brnnvrrn vrrnbrnn bn rn Nel vertice si trovano 1 mattoncino verde 3 mattoncini rossi 3 mattoncini neri 1 mattoncino blu.

110 110 ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI La regola può essere formalizzata algebricamente: a+3b+3c+d d cba b+2c+d b+c a+b a+2b+c c+d

111 111 ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI In base alla regola individuata è possibile completare le piramidi assegnate: il numero mancante nella prima riga della piramide a sinistra è: 45 – [5 + (3  8) + (3  3)] = 45 – 38 = 7 il numero mancante nella prima riga della piramide a destra è:  73 – [12 + (3  9) + 10]  : 3 =


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