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Cenni di relatività generale corso di fisica per la quinta g.

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1 cenni di relatività generale corso di fisica per la quinta g

2 Sommario n La relatività generale La relatività generale La relatività generale n Lo spazio-tempo Lo spazio-tempo Lo spazio-tempo n Il buco nero Il buco nero Il buco nero n Bibliografia Bibliografia

3 La relatività generale n Un dubbio di Newton XVII secolo:XVII secolo: n Natura ignota della interazione a distanza che avviene nello spazio vuoto (“Hypotheses non fingo”) n Massa gravitazionale e massa inerziale uguali n Traiettorie dei pianeti intorno al sole n Rifrazione della luce con piegamento del raggio nell’entrare in un secondo mezzo Newton vecchio comincia a riflettere sulla natura delle orbite planetarie in termini geometrici, non più in termini di forza a distanza. E’ in parte una concessione ai cartesiani d’Oltremanica.Newton vecchio comincia a riflettere sulla natura delle orbite planetarie in termini geometrici, non più in termini di forza a distanza. E’ in parte una concessione ai cartesiani d’Oltremanica.

4 n Red shift gravitazionale Fotone con E=h, dunque m=h /c 2 viaggia da A a B (ad altezza H nel campo gravitazionale)Fotone con E=h, dunque m=h /c 2 viaggia da A a B (ad altezza H nel campo gravitazionale) Lavoro necessario: W = (h /c 2 ) gH fatto a spese dell’energia del fotone, che ad altezza H si trova con energia:Lavoro necessario: W = (h /c 2 ) gH fatto a spese dell’energia del fotone, che ad altezza H si trova con energia: VerificheVerifiche n 1965, Pound e Rebka, da torre di 20 m con radiazione gH/c 2 = , errore dell’1% n 1965, Pound e Rebka, da torre di 20 m con radiazione  gH/c 2 = , errore dell’1% n Per la radiazione del Sole:

5 n Dilatazione dei tempi Un’onda e.m. sale da A a B:Un’onda e.m. sale da A a B: La frequenza non può effettivamente diminuire: nessuna cresta si perdeLa frequenza non può effettivamente diminuire: nessuna cresta si perde La durata del periodo dell’onda in A (letta dall’orologio A) è minore della durata del periodo della stessa onda quando arriva in B (orologio B)La durata del periodo dell’onda in A (letta dall’orologio A) è minore della durata del periodo della stessa onda quando arriva in B (orologio B) La durata del periodo è il “battito” dell’orologioLa durata del periodo è il “battito” dell’orologio Dunque il battito di A è più lento: il tempo per A scorre più lentamenteDunque il battito di A è più lento: il tempo per A scorre più lentamente La relazione tra T A e T B è anche la relazione tra i tempi segnati dai 2 orologi per uno stesso eventoLa relazione tra T A e T B è anche la relazione tra i tempi segnati dai 2 orologi per uno stesso evento Per una massa M di raggio R:Per una massa M di raggio R:

6 n Dilatazione dei tempi, verifica 1976, USA, Maryland University1976, USA, Maryland University Orologio atomico a terra O A scambia segnali con orologio atomico O B su un aereo per 14 h a 10,000 m di quotaOrologio atomico a terra O A scambia segnali con orologio atomico O B su un aereo per 14 h a 10,000 m di quota n Per relatività ristretta: O B più lento di 5.7 ns n Per relatività generale: O B più veloce di 52.8 ns Risultò un ritardo di O A a terra di 47.1 ns (errore < 1%)Risultò un ritardo di O A a terra di 47.1 ns (errore < 1%)

7 n Contrazione delle lunghezze La velocità c è un invarianteLa velocità c è un invariante Asta A vicino a M è più corta di asta B posta a distanza R:Asta A vicino a M è più corta di asta B posta a distanza R: Il valore di Il valore di  n Senza masse: n Con massa M i regoli vicino a M sono più corti e 2R risulta più lungo; per l’orbita terrestre:

8 n Contrazione lunghezze Altra interpretazione: i regoli sono tutti uguali, ma lo spazio è curvoAltra interpretazione: i regoli sono tutti uguali, ma lo spazio è curvo La geometria euclidea è falsa vicino alle masseLa geometria euclidea è falsa vicino alle masse 1965, USA, esperimento di Shapiro1965, USA, esperimento di Shapiro n Terra e Venere in opposizione; segnale radar misura: 2 TV =  orbita T +  orbita V n Se vale relatività i diametri (  /  ) sono maggiori di quelli euclidei n Infatti sono maggiori di 36 km (errore < 1%) –50% per curvatura spazio, 50% per dilatazione tempi vicino a S

9 n Altre verifiche Deviazione dei raggi luminosi vicino a M, misurata già dal 1919 da Eddington et al.:  =1.75”Deviazione dei raggi luminosi vicino a M, misurata già dal 1919 da Eddington et al.:  =1.75” Rotazione del perielio calcolata da Einstein per Mercurio, per il quale era già nota e non spiegata, in 43” per secoloRotazione del perielio calcolata da Einstein per Mercurio, per il quale era già nota e non spiegata, in 43” per secolo Immagini multiple delle quasarImmagini multiple delle quasar

10 n Altre verifiche

11 n Il principio di relatività galileiano: n Tutte le leggi della meccanica sono uguali rispetto a tutti gli osservatori inerziali n Il principio di relatività ristretta: n Tutte le leggi della fisica sono uguali rispetto a tutti gli osservatori inerziali n Il principio di relatività generale: n Tutte le leggi della fisica sono uguali rispetto a tutti gli osservatori.

12 Lo spazio-tempo n Dalla nave di Galileo all’ascensore di Einstein La relatività ristretta aveva descritto la cinematica in termini di geometria dello spazio-tempo (s-t)La relatività ristretta aveva descritto la cinematica in termini di geometria dello spazio-tempo (s-t) n E’ possibile descrivere anche la dinamica in modo analogo? Nell’ascensore di Einstein si osserva che, localmente, peso  inerziaNell’ascensore di Einstein si osserva che, localmente, peso  inerzia Localmente significa che su uno spazio sufficientemente ampio è possibile distinguere peso e inerziaLocalmente significa che su uno spazio sufficientemente ampio è possibile distinguere peso e inerzia Ma questo se si ammette uno s-t piatto. Se si suppone che intorno alle sorgenti gravitazionali lo s-t sia opportunamente curvo, allora l’identità è totale.Ma questo se si ammette uno s-t piatto. Se si suppone che intorno alle sorgenti gravitazionali lo s-t sia opportunamente curvo, allora l’identità è totale. Einstein postula che:Einstein postula che: n massa inerziale  massa gravitazionale n lo spazio-tempo in presenza di masse si incurva Non esiste più peso, solo inerzia (cioè resistenza alla tendenza imposta dallo s-t)Non esiste più peso, solo inerzia (cioè resistenza alla tendenza imposta dallo s-t)

13 n A sinistra non vi sono masse, lo s-t è piatto (sopra in 3 dimensioni, sotto in 2). L’osservatore P (piatto) vede le traiettorie libere come moti rettilinei uniformi.L’osservatore P (piatto) vede le traiettorie libere come moti rettilinei uniformi. n A destra una massa incurva lo s-t. L’osservatore vede le traiettorie libere incurvarsiL’osservatore vede le traiettorie libere incurvarsi

14 n Dunque la gravitazione può essere sostituita dall’inerzia se si considera che una massa è un oggetto capace di curvare lo s-t n A essere incurvato è però lo s-t, non solo lo spazio La curvatura dello spazio produce la deviazione dalla vecchia rettilinearità, cioè la curvatura delle traiettorie intorno alle masseLa curvatura dello spazio produce la deviazione dalla vecchia rettilinearità, cioè la curvatura delle traiettorie intorno alle masse La curvatura del tempo produce la deviazione dalla vecchia uniformità, cioè la variazione nel tempo del movimento: l’accelerazione (quando si scende in un avvallamento si accelera, quando si risale si decelera).La curvatura del tempo produce la deviazione dalla vecchia uniformità, cioè la variazione nel tempo del movimento: l’accelerazione (quando si scende in un avvallamento si accelera, quando si risale si decelera).

15 n Nella nuova legge di inerzia: n Ogni corpo tende a mantenere la sua traiettoria naturale se non intervengono forze esterne Le forze cui si fa riferimento non contengono più le forze gravitazionali, che scompaiono dalla scenaLe forze cui si fa riferimento non contengono più le forze gravitazionali, che scompaiono dalla scena In presenza di masse la traiettoria naturale è una curva e l’uniformità del moto viene “trascinata” a seconda di come è “curvo” il tempoIn presenza di masse la traiettoria naturale è una curva e l’uniformità del moto viene “trascinata” a seconda di come è “curvo” il tempo

16 n Non c’è più bisogno dell’azione a distanza gravitazionale. n La forza di gravità è un comodo modo di descrivere le cose, ma può essere cancellata dalle forze fondamentali.

17 ds 2 = c 2 dt 2 – dx 2 – dy 2 – dz 2 n “La Relatività Ristretta presuppone già l’esistenza di uno s-t: non va a toccarlo, a modificarlo. Tutti gli eventi hanno luogo all’interno dello s-t così com’è, e cambia solo il modo di vederli da parte di osservatori in moto relativo l’uno rispetto all’altro. Un osservatore misura distanze spaziali e temporali che hanno un certo valore, l’altro osservatore misura valori diversi sia di spazio che di tempo, ma entrambi hanno ragione in senso stretto, poiché la velocità relativa, unita alla finitezza e costanza della velocità della luce, rende diversi e relativi i loro punti di vista. Non esistendo però alcunché di assoluto, i punti di vista relativi sono tutto quello che si può avere e dunque ciascuno ha pieno diritto al suo proprio. Tanto più che i due osservatori, se lo desiderano, hanno la possibilità di mettersi d’accordo ricorrendo al famoso teorema di Pitagora in quattro dimensioni, con il segno negativo per quanto riguarda il quadrato del cateto temporale. La Relatività Generale, invece fa qualcosa in più. Si potrebbe dire che agisce attivamente sulla struttura stessa dello s-t nel momento in cui le impone una curvatura. Se lo s-t rappresenta una sorta di ragnatela, di traliccio (anche temporale) che scandisce punto per punto l’intero universo, la Relatività Generale non si contenta di prenderne atto e di farci passare attraverso gli oggetti secondo le direttrici già esistenti, ma si impadronisce del traliccio e lo deforma.” –Mazzitelli, pagg

18 n Se esiste una causa che lo modifica, lo s-t apparirà muoversi (gonfiarsi, sgonfiarsi, traslare, ruotare). Questo movimento sarà percepito come un movimento a tutti gli effetti tra gli oggetti (palloncino con due punti segnati sulla superficie) n “Dunque, per la Relatività Generale, esistono due tipi sostanzialmente diversi di movimento in senso lato e, per conseguenza, di velocità (sempre in senso lato). Esiste il moto degli oggetti rispetto allo s-t, ed esiste il moto generale dello s-t che trascina gli oggetti.” –Mazzitelli, pag. 92 Il primo movimento ha in c il limite di ogni velocità; il secondo movimento non ha limiti imposti.Il primo movimento ha in c il limite di ogni velocità; il secondo movimento non ha limiti imposti. La regola di composizione delle velocità dei due tipi è quella classica galileiana.La regola di composizione delle velocità dei due tipi è quella classica galileiana. –Superare c potrebbe permettere, in linea di principio, di viaggiare nel tempo. Questo non è possibile all’interno di un blocco di s-t, ma è possibile sfruttando il moto dello s-t (oltre l’Universo Causale o dentro un buco nero): tuttavia in entrambi i casi l’oggetto non può più interagire con il nostro mondo.

19 n Esempio di uno s-t che si gonfi indefinitamente la velocità percepita da due osservatori è legata solo alla modifica dello s-t (e può superare c)la velocità percepita da due osservatori è legata solo alla modifica dello s-t (e può superare c) Se la dilatazione dello s-t è lineare, chiamata d la distanza tra due osservatori, v la velocità di allontanamento reciproco e t il tempo con origine nel momento in cui i due osservatori erano infinitamente vicini (d 0 =0):Se la dilatazione dello s-t è lineare, chiamata d la distanza tra due osservatori, v la velocità di allontanamento reciproco e t il tempo con origine nel momento in cui i due osservatori erano infinitamente vicini (d 0 =0):

20 Se si osserva ancora il grafico si scopre che la velocità di allontanamento di due osservatori è maggiore quando questi si trovano lontani (in mezzo c’è più s-t che si dilata)Se si osserva ancora il grafico si scopre che la velocità di allontanamento di due osservatori è maggiore quando questi si trovano lontani (in mezzo c’è più s-t che si dilata) se k è il rapporto di omotetia nell’unità di tempo , chi si trova a distanza di 1 unità u viene visto con velocità 5 volte minore di chi è alla distanza 5u:se k è il rapporto di omotetia nell’unità di tempo , chi si trova a distanza di 1 unità u viene visto con velocità 5 volte minore di chi è alla distanza 5u:

21 Dunque, se i due osservatori misurano velocità e distanze reciproche, troveranno che le velocità sono direttamente proporzionali alle distanze e la costante di proporzionalità è il reciproco del tempo trascorso da quando sono stati vicini:Dunque, se i due osservatori misurano velocità e distanze reciproche, troveranno che le velocità sono direttamente proporzionali alle distanze e la costante di proporzionalità è il reciproco del tempo trascorso da quando sono stati vicini: Hubble nel 1929 ha trovato sperimentalmenteHubble nel 1929 ha trovato sperimentalmente

22 Il laboratorio del buco nero n Un’idea di Laplace sulla velocità di fuga. Oggetti simili non si possono vedere nel cieloOggetti simili non si possono vedere nel cielo n Karl Schwarzschild, prussiano, 1916, soluzione delle eqq. di Einstein per una massa concentrata in un punto. n Raggio di Schwarzschild: Per la Terra r= 9 mm; per il Sole r=3 kmPer la Terra r= 9 mm; per il Sole r=3 km Formula rapida: r=3M se r in km e M in masse solariFormula rapida: r=3M se r in km e M in masse solari

23 n Come si vede un buco nero: Nel modello dell’evoluzione stellare si prevede la formazione di un buco nero per stelle di M > 10 M Nel modello dell’evoluzione stellare si prevede la formazione di un buco nero per stelle di M > 10 M  Alone di luce dalla superficie di SchwarzschildAlone di luce dalla superficie di Schwarzschild Osservazioni di sistemi binari in cui una nana bianca assorbe materia dall’altra stella e diviene, con una forte esplosione, un buco neroOsservazioni di sistemi binari in cui una nana bianca assorbe materia dall’altra stella e diviene, con una forte esplosione, un buco nero Centri di galassie che assorbono materia che ruota a spirale e riscaldandosi emettono grandi quantità di luce.Centri di galassie che assorbono materia che ruota a spirale e riscaldandosi emettono grandi quantità di luce.

24 n Visto da fuori: verso l’orizzonte degli eventi Vediamo il campo come un risucchio dello s-t. Fuori dall’orizzonte, avvicinandoci ad esso, lo s-t accelera, ma con v s-t

25 n Visto da fuori: verso l’orizzonte degli eventi Una torcia, lasciata cadere dall’alto, rimanda luce verso di noi con red- shift (gravitazionale) finché la torcia raggiunge l’orizzonte degli eventi. Da qui la luce rimane ferma, come congelata, e non ci può più raggiungere.Una torcia, lasciata cadere dall’alto, rimanda luce verso di noi con red- shift (gravitazionale) finché la torcia raggiunge l’orizzonte degli eventi. Da qui la luce rimane ferma, come congelata, e non ci può più raggiungere. In realtà, poiché il periodo dell’onda luminosa è misura del tempo locale, osserviamo che per la torcia che cade nei punti appena sopra l’orizzonte il tempo scorre sempre più lentamente. L’oggetto ci appare raggiungere l’orizzonte in un tempo infinito, adagiarvisi sopra sempre più lentamente; per la luce che si trova all’orizzonte il tempo è fermo.In realtà, poiché il periodo dell’onda luminosa è misura del tempo locale, osserviamo che per la torcia che cade nei punti appena sopra l’orizzonte il tempo scorre sempre più lentamente. L’oggetto ci appare raggiungere l’orizzonte in un tempo infinito, adagiarvisi sopra sempre più lentamente; per la luce che si trova all’orizzonte il tempo è fermo. L’orizzonte è dunque il limite tra due spazi, da oltre il quale non abbiamo informazioni, ma è anche il limite a cui tende il moto di ogni oggetto in caduta.L’orizzonte è dunque il limite tra due spazi, da oltre il quale non abbiamo informazioni, ma è anche il limite a cui tende il moto di ogni oggetto in caduta.

26 n Visto da dentro: verso il centro Se ci lasciamo cadere, il nostro orologio funziona regolarmente, la nostra torcia ha sempre lo stesso colore. Vediamo un cerchio nero davanti.Se ci lasciamo cadere, il nostro orologio funziona regolarmente, la nostra torcia ha sempre lo stesso colore. Vediamo un cerchio nero davanti. Giunti all’orizzonte il cerchio nero diviene un semispazio, poi le immagini della realtà esterna ci giungono, alle spalle, da un cerchio sempre più piccolo (con deformazioni vicino ai bordi a causa della deviazione della luce delle stelle che ci segue oltre l’orizzonte).Giunti all’orizzonte il cerchio nero diviene un semispazio, poi le immagini della realtà esterna ci giungono, alle spalle, da un cerchio sempre più piccolo (con deformazioni vicino ai bordi a causa della deviazione della luce delle stelle che ci segue oltre l’orizzonte). Superato l’orizzonte cominciamo a vedere le parti più basse del nostro corpo sempre più rosse fino a scomparire alla vista (si sommano le due velocità degli strati di s-t, agli occhi e ai piedi, e la velocità della luce che risale e, per un po’, continuiamo a vedere i nostri piedi sempre più rossi e poi scuri)Superato l’orizzonte cominciamo a vedere le parti più basse del nostro corpo sempre più rosse fino a scomparire alla vista (si sommano le due velocità degli strati di s-t, agli occhi e ai piedi, e la velocità della luce che risale e, per un po’, continuiamo a vedere i nostri piedi sempre più rossi e poi scuri) C’è una forza che ci stira, dovuta alla differenza tra la forza applicata ai piedi e quella applicata alla testa. Questa forza ci spezzerà, poi spezzerà le cellule, gli atomi, i nuclei e infine i nucleoni.C’è una forza che ci stira, dovuta alla differenza tra la forza applicata ai piedi e quella applicata alla testa. Questa forza ci spezzerà, poi spezzerà le cellule, gli atomi, i nuclei e infine i nucleoni. Da questo punto la nostra fisica non è più in grado di proseguire e non si può rispondere alla domanda su cosa ci sia al centro: avvicinandoci la velocità di caduta dello s-t si avvicina all’infinito.Da questo punto la nostra fisica non è più in grado di proseguire e non si può rispondere alla domanda su cosa ci sia al centro: avvicinandoci la velocità di caduta dello s-t si avvicina all’infinito.

27 n Divergenza tra interno ed esterno Le storie dei due osservatori esterno e interno divergono.Le storie dei due osservatori esterno e interno divergono. I concetti di spazio e tempo, tra interno ed esterno, si ribaltanoI concetti di spazio e tempo, tra interno ed esterno, si ribaltano n Chi sta fuori è trascinato, “per forza”, nella stessa direzione temporale e con la stessa velocità (del tempo) n Chi sta dentro è trascinato, “per forza”, nella stessa direzione spaziale e con la stessa velocità All’esterno del buco nero siamo trascinati nel tempo, ma possiamo muoverci liberamente nello spazioAll’esterno del buco nero siamo trascinati nel tempo, ma possiamo muoverci liberamente nello spazio All’interno del buco nero siamo trascinati nello spazio, ma possiamo muoverci liberamente nel tempoAll’interno del buco nero siamo trascinati nello spazio, ma possiamo muoverci liberamente nel tempo Spostandoci lateralmente nel moto di caduta ci spostiamo avanti e indietro nel tempoSpostandoci lateralmente nel moto di caduta ci spostiamo avanti e indietro nel tempo Cosa ci salva dal “paradosso dell’assassinio dei nostri genitori da giovani”? Non è possibile tornare indietro ripassando dall’orizzonte (“ Censura cosmica ”)Cosa ci salva dal “paradosso dell’assassinio dei nostri genitori da giovani”? Non è possibile tornare indietro ripassando dall’orizzonte (“ Censura cosmica ”) In realtà c’è una possibilità legata alla rotazioneIn realtà c’è una possibilità legata alla rotazione

28 n L’anello centrale La stella da cui nasce il buco nero ruota. Il buco nero ruota anch’esso.La stella da cui nasce il buco nero ruota. Il buco nero ruota anch’esso. Il buco nero rotante produce la rotazione dello s-t (che ingoia)Il buco nero rotante produce la rotazione dello s-t (che ingoia) La rotazione produce una forza centrifugaLa rotazione produce una forza centrifuga Verso il centro la rotazione è così elevata che si forma una piccola regione ad anello in cui la forza centrifuga riesce a bilanciare l’attrazione fermando la cadutaVerso il centro la rotazione è così elevata che si forma una piccola regione ad anello in cui la forza centrifuga riesce a bilanciare l’attrazione fermando la caduta Si apre la possibilità che in quella regione un oggetto dotato di una forza propria possa addirittura tornare indietro allontanandosi di un po’ dal centro.Si apre la possibilità che in quella regione un oggetto dotato di una forza propria possa addirittura tornare indietro allontanandosi di un po’ dal centro. Spostandosi lateralmente l’osservatore viaggerebbe nel tempo. Senza accorgersene finché rimane all’interno; solo uscendo si accorgerebbe di essersi spostato nel tempoSpostandosi lateralmente l’osservatore viaggerebbe nel tempo. Senza accorgersene finché rimane all’interno; solo uscendo si accorgerebbe di essersi spostato nel tempo n “C’è però una possibilità estrema, che almeno finora sembra compatibile con tutte le teorie. All’aumentare della rotazione, si allarga la regione interna in cui si può manovrare e viaggiare nel tempo. Oltre un certo valore di rotazione, questa zona si espande al di fuori della superficie di Schwarzschild. Ciò vuol dire che, da qualsiasi parte dell’universo, un viaggiatore potrebbe avvicinarsi abbastanza al centro del buco nero, viaggiare a piacere nel tempo e poi, con la complicità della forza centrifuga, che bilancia e supera quella di gravità, fuggirsene via nel passato o nel futuro.” –Mazzitelli, p. 113 Un buco nero dunque sembra essere una macchina del tempoUn buco nero dunque sembra essere una macchina del tempo

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30 Bibliografia Testi e figure rubati a: n Eddington A.S., Spazio, tempo e gravitazione, Boringhieri 1971 n Mazzitelli I., Tutti gli universi possibili ed altri ancora, Liguori, 2002 n Halliday Resnick Walker, Fondamenti di fisica, Fisica moderna, Zanichelli n Sexl Raab Streeruwitz, Fisica 3, Zanichelli n Wilson Buffa, Fisica 3, Principato n Regge T., La relatività di Einstein, CD-ROM, Zanichelli


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