La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

AUTRONICA14.1 Autronica LEZIONE N° 14 ALGEBRA BOOLEANA PostulatiPostulati Principio di dualitàPrincipio di dualità Teoremi fondamentaliTeoremi fondamentali.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "AUTRONICA14.1 Autronica LEZIONE N° 14 ALGEBRA BOOLEANA PostulatiPostulati Principio di dualitàPrincipio di dualità Teoremi fondamentaliTeoremi fondamentali."— Transcript della presentazione:

1 AUTRONICA14.1 Autronica LEZIONE N° 14 ALGEBRA BOOLEANA PostulatiPostulati Principio di dualitàPrincipio di dualità Teoremi fondamentaliTeoremi fondamentali insieme funzionalmente completo NAND e NORinsieme funzionalmente completo NAND e NOR Funzione XORFunzione XOR Reti logiche combinatorie e sequenzialiReti logiche combinatorie e sequenziali SimboliSimboli Concetto di cicloConcetto di ciclo Concetto di minimizzazione (funzione costo)Concetto di minimizzazione (funzione costo) Realizzazioni diverse della stessa funzioneRealizzazioni diverse della stessa funzione Half Adder e Full AdderHalf Adder e Full Adder Sommatori di due word di n bitSommatori di due word di n bit

2 AUTRONICA14.2 Richiami Insieme di elementiInsieme di elementi Variabili, costantiVariabili, costanti Insieme di operazioniInsieme di operazioni Insieme di postulatiInsieme di postulati Espressioni algebricheEspressioni algebriche Tabella di veritàTabella di verità

3 AUTRONICA14.3 Postulati di HUNTINGTON Algebra Booleana Algebra Booleana

4 AUTRONICA14.4 Osservazioni Alcune proprietà dell’algebra booleana sono vere anche nell’algebra normalmente usata:Alcune proprietà dell’algebra booleana sono vere anche nell’algebra normalmente usata: –Proprietà commutativa –Proprietà distributiva del prodotto logico Altre proprietà non sono vere :Altre proprietà non sono vere : –Proprietà distributiva della somma logica L’operazione complemento logico esiste solo nell’algebra booleanaL’operazione complemento logico esiste solo nell’algebra booleana La sottrazione e la divisione non esistono nell’algebra booleanaLa sottrazione e la divisione non esistono nell’algebra booleana

5 AUTRONICA14.5 Principio di DUALITÀ Da un’osservazione dei postulati precedenti si osserva che quelli “b” si ottengono da “a”Da un’osservazione dei postulati precedenti si osserva che quelli “b” si ottengono da “a” –Scambiando i due operatori binari fra loro, (+) con (  ) e (  ) con (+) –Scambiando fra loro i due elementi identità, 1 con 0 e 0 con 1

6 AUTRONICA14.6 TEOREMI FONDAMENTALI Tecniche di dimostrazione dei teoremiTecniche di dimostrazione dei teoremi –Impiego dei postulati fondamentali –Uso di teoremi precedentemente dimostrati –Dimostrazione per assurdo (si ipotizza verificata l’ipotesi opposta a quella desiderata e si conclude che non è possibile che sia vera)(si ipotizza verificata l’ipotesi opposta a quella desiderata e si conclude che non è possibile che sia vera) –Dimostrazione per induzione (se una ipotesi è vera per k variabili e per k+1 variabili allora è vera per qualunque n)(se una ipotesi è vera per k variabili e per k+1 variabili allora è vera per qualunque n)

7 AUTRONICA14.7 Osservazione La tabella di verità consente di provare la veridicità di una relazione logica, poiché verifica se la relazione è vera per TUTTE le possibili combinazioni dei valori delle variabiliLa tabella di verità consente di provare la veridicità di una relazione logica, poiché verifica se la relazione è vera per TUTTE le possibili combinazioni dei valori delle variabili Tale metodo prende il nome diTale metodo prende il nome di Metodo dell’INDUZIONE PERFETTEMetodo dell’INDUZIONE PERFETTE

8 AUTRONICA14.8 TEOREMI

9 AUTRONICA14.9 Esempio di dimostrazione Teorema di De Morgan (8a e 8b)Teorema di De Morgan (8a e 8b) xyxy x + y (x + y) x · yx · yx · yx · y c.v.d.

10 AUTRONICA14.10 Osservazioni 1.I teoremi di destra si possono ottenere da quelli di sinistra scambiando OR con AND e “0” con “1” 2.Principio di dualità 3.Molti dei teoremi visti sono veri anche nell’algebra che conosciamo 4.Particolarmente significativi sono i teoremi di De Morgan e la proprietà distributiva 5.Molti teoremi, in particolare quelli di De Morgan, sono veri anche per “n” variabili

11 AUTRONICA14.11 Esempio 1 Semplificare la seguente espressione:Semplificare la seguente espressione: In base ai teoremi visti si ha:In base ai teoremi visti si ha: P 4b P 5b P 2a

12 AUTRONICA14.12 Esempio 1’ Per altra via; posto:Per altra via; posto: si ha:si ha: P 4b P 4a P 3b

13 AUTRONICA14.13 Premessa 1 OsservazioniOsservazioni –le funzioni AND, OR e NOT costituiscono un insieme funzionalmente completo di operatori logici –In base al teorema di De Morgan si ha: –ovvero la funzione OR si può realizzare con le funzioni AND e NOT quindi: –le funzioni AND e NOT costituiscono un insieme funzionalmente completo di operatori logici

14 AUTRONICA14.14 Premessa 2 OsservazioniOsservazioni –Sempre in base al teorema di De Morgan si ha: –ovvero la funzione AND si può realizzare con le funzioni OR e NOT quindi –le funzioni OR e NOT costituiscono un insieme funzionalmente completo di operatori logici –le funzioni OR e AND non costituiscono un insieme funzionalmente completo di operatori logici perché non è possibile realizzare la funzione NOT

15 AUTRONICA14.15 Definizione Le funzioni NAND e NOR sono definite dalle seguenti tabelle di veritàLe funzioni NAND e NOR sono definite dalle seguenti tabelle di verità xyu xyu

16 AUTRONICA14.16 Osservazioni NAND e NOR sono contrazioni di NOT-AND e NOT-ORNAND e NOR sono contrazioni di NOT-AND e NOT-OR la funzione NAND costituisce un insieme funzionalmente completo di operatori logicila funzione NAND costituisce un insieme funzionalmente completo di operatori logici la funzione NOR costituisce un insieme funzionalmente completo di operatori logicila funzione NOR costituisce un insieme funzionalmente completo di operatori logici

17 AUTRONICA14.17 Funzioni “complesse” 1 L’operatore “XOR”, OR ESCLUSIVO è:L’operatore “XOR”, OR ESCLUSIVO è: DefinizioneDefinizionexyu

18 AUTRONICA14.18 Funzioni “complesse” 2 L’operatore “XNOR”, NOR ESCLUSIVO è:L’operatore “XNOR”, NOR ESCLUSIVO è: DefinizioneDefinizionexyu

19 AUTRONICA14.19 Reti Logiche Sistema elettronico che ha in ingresso segnali digitali e fornisce in uscita segnali digitali secondo leggi descrivibili con l’algebra BooleanaSistema elettronico che ha in ingresso segnali digitali e fornisce in uscita segnali digitali secondo leggi descrivibili con l’algebra Booleana R.L. è unidirezionaleR.L. è unidirezionale R. L.   a b nw y x

20 AUTRONICA14.20 Tipi di reti Reti COMBINATORIEReti COMBINATORIE In qualunque istante le uscite sono funzione del valore che gli ingressi hanno in quell’istanteIn qualunque istante le uscite sono funzione del valore che gli ingressi hanno in quell’istante Il comportamento (uscite in funzione degli ingressi) è descritto da una tabellaIl comportamento (uscite in funzione degli ingressi) è descritto da una tabella Reti SEQUENZIALIReti SEQUENZIALI In un determinato istante le uscite sono funzione del valore che gli ingressi hanno in quell’istante e i valori che hanno assunto precedentementeIn un determinato istante le uscite sono funzione del valore che gli ingressi hanno in quell’istante e i valori che hanno assunto precedentemente La descrizione è più complessaLa descrizione è più complessa Stati InterniStati Interni Reti dotate di MEMORIAReti dotate di MEMORIA

21 AUTRONICA14.21 Simboli Simboli Rete Logica =>scomponibile in blocchiRete Logica =>scomponibile in blocchi Blocchi base = simboli degli operatori elementariBlocchi base = simboli degli operatori elementari Rappresentazione delle funzioni logiche mediante schemiRappresentazione delle funzioni logiche mediante schemi RAPPRESENTAZIONE SCHEMATICARAPPRESENTAZIONE SCHEMATICA

22 AUTRONICA14.22 Porte logiche Rappresentazione circuitale delle funzioni logicheRappresentazione circuitale delle funzioni logiche –AND –OR –NOT X1X1 X2X2 X3X3 Y X1X1 X2X2 Y XY

23 AUTRONICA14.23 Esempio Schema simbolico della funzioneSchema simbolico della funzione –RETE LOGICA RETELOGICARETELOGICA X1X1 XnXn X2X2 U = f(X 1, X 2,…., X n ) X2X2 X1X1 X3X3 U

24 AUTRONICA14.24 Altre porte logiche NANDNAND NORNOR X Z Y X Z Y XZY XZY

25 AUTRONICA14.25 Proprietà della porta NAND (NOR) Utilizzando solamente porte NAND (NOR) è possibile realizzare qualunque rete logicaUtilizzando solamente porte NAND (NOR) è possibile realizzare qualunque rete logica NOTNOT ANDAND OROR X Y = X X Z Y = XZ X Z Y = X+Z

26 AUTRONICA14.26 OR Esclusivo Realizzazione dell’OR EsclusivoRealizzazione dell’OR Esclusivo X Y X Y U XYU U

27 AUTRONICA14.27 Ciclo DefinizioneDefinizione Ciclo: Percorso chiuso che attraversa k blocchi (k ≥ 1) tutti nella loro direzione di funzionamentoCiclo: Percorso chiuso che attraversa k blocchi (k ≥ 1) tutti nella loro direzione di funzionamento OsservazioniOsservazioni Tutte le reti viste sono prive di cicliTutte le reti viste sono prive di cicli I blocchi base combinatori sono privi di cicliI blocchi base combinatori sono privi di cicli Le funzioni descrivibili dalle tabelle di verità sono tutte prive di cicli (le uscite sono funzione dei solo ingressi)Le funzioni descrivibili dalle tabelle di verità sono tutte prive di cicli (le uscite sono funzione dei solo ingressi) ConclusioneConclusione Tutte le reti logiche composte di blocchi combinatori e prive di cicli sono rei combinatorieTutte le reti logiche composte di blocchi combinatori e prive di cicli sono rei combinatorie

28 AUTRONICA14.28 Sintesi di reti combinatorie SintesiSintesi data la descrizione ai terminali di una rete combinatoriadata la descrizione ai terminali di una rete combinatoria ottenere la struttura in blocchi logici e le relative interconnessioniottenere la struttura in blocchi logici e le relative interconnessioni OsservazioniOsservazioni il funzionamento della rete deve essere possibile descriverlo mediante una tabella di veritàil funzionamento della rete deve essere possibile descriverlo mediante una tabella di verità non esiste una sola realizzazionenon esiste una sola realizzazione per poter scegliere fra le varie soluzioni è necessario definire il parametro da ottimizzareper poter scegliere fra le varie soluzioni è necessario definire il parametro da ottimizzare Funzione COSTOFunzione COSTO (numero di blocchi base, ritardo ingresso uscita, uso di particolari blocchi, ……..)(numero di blocchi base, ritardo ingresso uscita, uso di particolari blocchi, ……..) VEDERE ESEMPI SUCCESSIVIVEDERE ESEMPI SUCCESSIVI

29 AUTRONICA14.29 Esempio di funzione Data la funzione definita dalla Tabella di Verità:Data la funzione definita dalla Tabella di Verità: abcz Si ha:

30 AUTRONICA14.30 Schemi relativi 1 a b c z a a b b c c

31 AUTRONICA14.31 Schemi relativi 2 a b c z

32 AUTRONICA14.32 Schemi relativi 3 a b c z

33 AUTRONICA14.33 Schemi relativi 4 a b c z a b c z

34 AUTRONICA14.34 Half Adder Somma di due bitSomma di due bit aiaiaiai bibibibi sisisisi c i aiai bibi sisi H A aiai bibi sisi c i+1

35 AUTRONICA14.35 Full Adder 1 Somma di due bit compreso il CarrySomma di due bit compreso il Carry cicicici aiaiaiai bibibibi sisisisi c i cici sisi a i,b i cici

36 AUTRONICA14.36 Full Adder 2 Lo schema risultaLo schema risulta aiai bibi sisi c i+1 cici F A aiai bibi sisi c i+1 cici aiai bibi sisi cici F A

37 AUTRONICA14.37 Sommatore a riporto seriale (Ripple-Carry Adder) Somma di due parole di 4 bit in C. 2Somma di due parole di 4 bit in C. 2 c i+1 FA cici aiai sisi bibi b0b0 a0a0 b1b1 a1a1 c i+1 FA cici aiai sisi bibi b2b2 a2a2 c i+1 FA cici aiai sisi bibi b3b3 a3a3 s0s0 s1s1 s3s3 s2s2 c4c4 c0c0 cici aiai sisi bibi c i+1

38 AUTRONICA14.38 Proprietà dello XOR Lo XOR può essere visto come un inverter “programmabile”Lo XOR può essere visto come un inverter “programmabile” in S outSinout

39 AUTRONICA14.39 Considerazioni sulla sottrazione Si ricorda cheSi ricorda che Operando in complemento a 2 si haOperando in complemento a 2 si ha QuindiQuindi

40 AUTRONICA14.40 Sommatore/Sottrattore In base alle proprietà dello XOR e come si può eseguire la differenza (A – B) in C. 2 si ha:In base alle proprietà dello XOR e come si può eseguire la differenza (A – B) in C. 2 si ha: a0a0 b0b0 a1a1 b1b1 a2a2 b2b2 a3a3 b3b3 s0s0 s1s1 s3s3 s2s2 c4c4 c i+1 FA cici bibi sisi aiai c i+1 FA cici bibi sisi aiai c i+1 FA cici bibi sisi aiai c i+1 FA cici bibi sisi aiai k A–BK=1 A+Bk=0

41 AUTRONICA14.41 Conclusioni PostulatiPostulati Principio di dualitàPrincipio di dualità Teoremi fondamentaliTeoremi fondamentali insieme funzionalmente completo NAND e NORinsieme funzionalmente completo NAND e NOR Funzione XORFunzione XOR Reti logiche combinatorie e sequenzialiReti logiche combinatorie e sequenziali SimboliSimboli Concetto di cicloConcetto di ciclo Concetto di minimizzazione (funzione costo)Concetto di minimizzazione (funzione costo) Realizzazioni diverse della stessa funzioneRealizzazioni diverse della stessa funzione Half Adder e Full AdderHalf Adder e Full Adder Sommatori di due word di n bitSommatori di due word di n bit


Scaricare ppt "AUTRONICA14.1 Autronica LEZIONE N° 14 ALGEBRA BOOLEANA PostulatiPostulati Principio di dualitàPrincipio di dualità Teoremi fondamentaliTeoremi fondamentali."

Presentazioni simili


Annunci Google