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Fondamenti e Didattica della matematica Corso abilitanti 2007-2008 Scienze della Formazione – Genova, La Spezia, Alassio Approccio alla geometria Bettina.

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Presentazione sul tema: "Fondamenti e Didattica della matematica Corso abilitanti 2007-2008 Scienze della Formazione – Genova, La Spezia, Alassio Approccio alla geometria Bettina."— Transcript della presentazione:

1 Fondamenti e Didattica della matematica Corso abilitanti Scienze della Formazione – Genova, La Spezia, Alassio Approccio alla geometria Bettina Pedemonte ITD-CNR Genova

2 géo: la terre metrikos: misura La geometria La geometria è quella parte della scienza matematica che si occupa delle forme nel piano e nello spazio e delle loro mutue relazioni.

3 In generale, Le attività della geometria richieste dai contenuti ministeriali non mirano a delle conoscenze formali (definizioni), ma a conoscenze funzionali, Utili per risolvere problemi nello spazio ordinario, in quello del foglio di carta e sullo schermo di un computer La geometria: contenuti ministeriali

4 in modo continuo progressivamente Gli apprendimenti si svolgono in modo continuo dalla scuola primaria alla scuola secondaria. Un preciso vocabolario si deve progressivamente costruire. Il principio è quello di partire dal reale (e quindi da oggetti materiali) e lentamente passare allastrazione. Si da precedenza alla geometria dello spazio. Nella scuola primaria non si parla di dimostrazione, ma di un inizio di apprendimento al ragionamento, in particolare nelle attività di riproduzione delle figure. La geometria: i programmi

5 Nella scuola secondaria si riprende la geometria del piano e dello spazio introdotta nella scuola primaria. In particolare si richiede di saper produrre semplici deduzioni usando le proprietà geometriche delle figure per poter risolvere problemi. La geometria: i programmi

6 Lobiettivo principale è di permettere agli allievi di passare progressivamente : Da una geometria dove gli oggetti e le proprietà sono controllate dalla percezione A una geometria dove gli oggetti sono controllati dallesplicitazione di proprietà e dalluso di strumenti Due geometrie: empirica e teorica

7 spazio geometria Collocazione Localizzazione Orientazione Relazioni e proprietà Solidi Figure piane La geometria

8 spazio geometria Collocazione Localizzazione Orientazione Relazioni e proprietà solidi figure piane La geometria Spazio esterno Spazio della geometria

9 geometrica Concettualizzazione: spaziale e geometrica Due tipi di concettualizzazione: Spaziale Come si caratterizzano queste due diverse concettualizzazioni?

10 dalloggetto al concetto dal disegno alla figura da io vedo a io so Due geometrie: empirica e teorica

11 dalloggetto al concetto dal disegno alla figura da io vedo a io so Due geometrie: empirica e teorica

12 Come risolvere questo paradosso percettivo? Cosa vedo?

13 dalloggetto al concetto dal disegno alla figura da io vedo a io so Due geometrie: empirica e teorica

14 Dal disegno alla figura La figura geometrica si costituisce nel mettere insieme un referente teorico con tutti i possibili disegni; è allora definita come linsieme delle coppie formate da due termini, il primo è il referente teorico, il secondo, uno dei disegni che lo rappresenta. Il secondo termine è preso nelluniverso di tutti i disegni possibili del referente. Laborde, 1994 La figura geometrica è loggetto geometrico descritto dal testo che la definisce, unidea, una creazione dello spirito, mentre il disegno ne è una rappresentazione Parzysz (1988)

15 Occorre sottolineare la complessità dei rapporti tra disegno e oggetto geometrico: da una parte, il disegno geometrico non è necessariamente interpretato dal suo lettore come rinviante ad un oggetto geometrico Dallaltra le interpretazioni di uno stesso disegno sono molteplici per due ragioni: la natura del disegno e le interpretazioni che dipendono dal lettore e dalle sue conoscenze. Dal disegno alla figura

16 Un disegno rinvia agli oggetti teorici della geometria nella misura in cui colui che lo legge decide di farlo, linterpretazione è naturalmente dipendente dalla teoria con la quale il lettore sceglie di leggere il disegno così come dalle conoscenze di questo lettore. Un matematico riconoscerà probabilmente un cerchio nel primo disegno ed esiterà tra cerchio ed ellisse nel secondo.

17 Dal disegno alla figura Un disegno anche se geometrico può essere interpretato in diversi modi ed in particolare la percezione interviene nella costruzione di una interpretazione se il lettore non dispone di forti conoscenze teorico geometriche che gli consentono di superare le lettura percettiva.

18 Dal disegno alla figura Gli aspetti percettivi del disegno possono impedire o al contrario favorire le lettura geometrica degli studenti, attirando lattenzione su elementi del disegno non pertinenti alla lettura. È un rombo o è un quadrato? Entrambe le figure rappresentano il teorema di Talete? Nota. Teorema di Talete: un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali determina su di esse, classi di segmenti direttamente proporzionali

19 dalloggetto al concetto dal disegno alla figura da io vedo a io so Due geometrie: empirica e teorica

20 Dalloggetto al concetto Fishbein introduce la nozione di concetto figurale per descrivere la costruzione mentale manipolata da un ragionamento geometrico come « immagine interamente controllata dalla sua definizione » « Gli oggetti di investigazione e manipolazione nel ragionamento geometrico sono quelle entità mentali, chiamate concetti figurali, che riflettono proprietà spaziali (ombra, posizione, grandezza) e nello stesso tempo, possiedono qualità concettuali – come astrazione, generalità, perfezione » Il processo di costruzione di tale entità è lontano dallessere un prodotto spontaneo dellinsegnamento della geometria. E stato mostrato che gli aspetti figurali possono negli studenti superare quelli concettuali (Mariotti, 1991)

21 Il fatto di concludere che PN=MO= raggio= costante supporta lidea che la figura considerata è dallinizio, non unimmagine ordinaria, ma è già una struttura logicamente controllata. La fusione tra concetto e figura tende a essere perfetta in questo caso. Dato un cerchio di centro O si disegnino due diametri perpendicolari AB e CD. Scegliamo un punto M sul cerchio e tracciamo le perpendicolari MP e MN sui due diametri. Qualè la lunghezza di PN? Dalloggetto al concetto

22 dalloggetto al concetto dal disegno alla figura da io vedo a io so Due geometrie: empirica e teorica LINGUAGGIO della GEOMETRIA

23 Di seguito sono riportate alcune parole. Quali di esse indicano concetti che riguardano esclusivamente lo spazio – ambiente (o spazio fisico), in quanto dipendono da fenomeni fisici e/o dal rapporto del nostro corpo con lo spazio-ambiente? Quali possono invece riguardare concetti geometrici? Verticale Parallelo Perpendicolare Destra Il linguaggio della geometria

24 Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: fenomeni fisici nello spazio come la forza di gravità o situazioni di rapporto del nostro corpo con lo spazio Verticale Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: binari paralleli, … Situazioni di riferimento Geometria: due rette perpendicolari ad una stessa retta sono parallele tra loro Parallelo Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: bastoni, strade, … Situazioni di riferimento Geometria: rette e segmenti perpendicolari… Perpendicolare Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: dipende dal rapporto che creo con il mio corpo ( la mia destra diventa la tua sinistra, se io sono di fronte a te). Destra Il linguaggio della geometria

25 Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: fenomeni fisici nello spazio come la forza di gravità o situazioni di rapporto del nostro corpo con lo spazio Verticale Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: binari paralleli, … Situazioni di riferimento Geometria: due rette perpendicolari ad una stessa retta sono parallele tra loro Parallelo Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: bastoni, strade, … Situazioni di riferimento Geometria: rette e segmenti perpendicolari… Perpendicolare Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: dipende dal rapporto che creo con il mio corpo ( la mia destra diventa la tua sinistra, se io sono di fronte a te). DestraConcetti non geometrici Il linguaggio della geometria

26 Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: fenomeni fisici nello spazio come la forza di gravità o situazioni di rapporto del nostro corpo con lo spazio Verticale Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: binari paralleli, … Situazioni di riferimento Geometria: due rette perpendicolari ad una stessa retta sono parallele tra loro Parallelo Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: bastoni, strade, … Situazioni di riferimento Geometria: rette e segmenti perpendicolari… Perpendicolare Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: dipende dal rapporto che creo con il mio corpo ( la mia destra diventa la tua sinistra, se io sono di fronte a te). DestraConcetti geometrici utilizzati anche per modellizzare situazioni concrete Il linguaggio della geometria

27 Esaminare le seguenti affermazioni, cercando di precisare quali concetti della geometria intervengono, e se si tratta di affermazioni della geometria, oppure di affermazioni non appartenenti alla geometria in cui si utilizzano concetti della geometria come modelli di situazioni dello spazio-ambiente. Un triangolo è rettangolo se e solo se due delle sue tre altezze coincidono con due dei suoi lati. Sia AB un segmento, π un piano orizzontale contenente il punto B. AB è verticale se e solo è perpendicolare a tutte le rette di π passanti per B. Geometria (Teorema) Non geometria ("verticale" ed "orizzontale" riguardano la realtà fisica) Il linguaggio della geometria

28 Per rappresentare il piano cartesiano si disegnano una retta orizzontale (che si chiama asse delle ascisse) e una retta verticale (che si chiama asse delle ordinate). Nel trapezio rettangolo ABCD la base inferiore AB è il doppio della base superiore CD. Geometria (Teorema) La circonferenza divide il piano che la contiene in due parti – la parte interna e la parte esterna alla circonferenza stessa. La parte interna si caratterizza per il fatto che ogni retta passante per un suo punto incontra la circonferenza. Non geometria (se spostiamo il foglio ciò che era verticale diviene orizzontale…) Non geometria (superiore" ed inferiore" riguardano lo spazio fisico) Il linguaggio della geometria

29 La specificità del vocabolario in matematica, e in particolare in geometria, è spesso rifiutata. Nellapproccio a compiti di costruzione o di argomentazione, la precisione dei termini impiegati, degli argomenti proposti, la loro strutturazione (cronologica e la concatenazione discorsiva) appaiono spesso arbitrari agli studenti. Daltra parte il linguaggio è indissociabile dallazione (si verbalizzano così azioni poco famigliari). La difficoltà a verbalizzare certe azioni presuppone quindi una mancanza di appropriazione del concetto geometrico. Il linguaggio aiuta a capire se è avvenuta la transizione da empirico a teorico

30 2. Un linguaggio di tipo teorico si basa sulla deduzione e che trova il suo obiettivo finale nella dimostrazione 1.Un linguaggio di tipo empirico si basa sullintuizione e sulla sperimentazione Linguaggio empirico e teorico

31 Nel linguaggio empirico Nel linguaggio teorico Questo è un quadrato… E un quadrato non è un rettangolo ! Le proprietà di questa figura (4 angoli retti, 4 lati congruenti) definiscono un quadrato… E un quadrato è anche un rettangolo !! Linguaggio empirico e teorico

32 Nel linguaggio empirico Nel linguaggio teorico I problemi spaziali vengono risolti mediante validazione empirica. I problemi di geometria vengono risolti mediante una prova matematica. Linguaggio empirico e teorico

33 La didattica come strumento per favorire gli studenti nella transizione: Realtà spaziale Modello geometrico Approccio didattico alla geometria La didattica come strumento per aiutare gli insegnanti nel favorire questa transizione nelle attività di classe

34 Perché insegnare la geometria : 1. Insegnare agli studenti a pensare geometricamente 2. Insegnare agli studenti a vedere nello spazio 3. Insegnare agli studenti a ragionare Come insegnare la geometria : 1. Costruire situazioni di ricerca 2. Costruire situazioni di comunicazione 3. Utilizzare strumenti 4. Legare la geometria ad altre discipline Approccio didattico alla geometria

35 Spazio reale – strumenti percettivi: la vista, il tatto... Spazio geometrico – strumenti di validazione: la teoria Mondo spazio-geometrico Strumenti che aiutano la percezione Approccio didattico alla geometria Utilizzare strumenti

36 Approccio didattico alla geometria Utilizzare strumenti Quali strumenti? Strumenti tecnologici Cabri II+ Cabri 3D … Giochi didattici Tangram Attrimath Polydron …

37 Cabri II + Permette di : Costruire figure geometriche nel piano, dalle più semplici alle più elaborate, partendo dagli oggetti fondamentali della geometria: punti, rette, segmenti, cerchi, piani, trasformazioni… Esplorare proprietà di una figura agendo sui suoi elementi variabili. Osservare gli effetti di deformazione dinamica. Costruire congetture sulle proprietà geometriche e verificare le relazioni tra oggetti della figura. Approccio didattico alla geometria Utilizzare strumenti: strumenti tecnologici


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