METODI 2 2005-2006. Esempio 1 Risoluzione di un problema di determinazione del budget per pubblicità Risoluzione di un problema di determinazione del.

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1 METODI 2 2005-2006

2 Esempio 1 Risoluzione di un problema di determinazione del budget per pubblicità Risoluzione di un problema di determinazione del budget per pubblicità 1.a tra due divisioni della stessa azienda 1.b tra due imprese concorrenti sul mercato

3 Ex 1.a Allocazione budget tra due divisioni (producenti beni succedanei) di una stessa azienda Ciascuna divisione cerca di farsi assegnare la maggior quota possibile di budget Ciascuna divisione cerca di farsi assegnare la maggior quota possibile di budget Ma allazienda interessa il risultato complessivo della campagna pubblicitaria Ma allazienda interessa il risultato complessivo della campagna pubblicitaria Essa cercherà quindi di stabilire le quote in modo tale che nessuna divisione danneggi laltra facendosi pubblicità Essa cercherà quindi di stabilire le quote in modo tale che nessuna divisione danneggi laltra facendosi pubblicità

4 Ci troviamo quindi in un contesto di gioco cooperativo : ricerchiamo la soluzione di equilibrio secondo Pareto Variabili rilevanti per il problema: Variabili rilevanti per il problema: totale di budget per pubblicità assegnata alla divisione i al tempo t u i (t) : quota totale di budget per pubblicità assegnata alla divisione i al tempo t x i (t) : ricavi lordi della divisione i al tempo t con i = 1,2 ; u, x > 0

5 Dinamica del sistema

6 Analizziamo la struttura di tali funzioni per comprenderne il significato parabola con asse verticale e concavità verso il basso parabola con asse verticale e concavità verso il basso gli incrementi dei ricavi di ciascuna division dipendono dalla quota di budget secondo una legge quadratica ; inoltre u > x > gli incrementi dei ricavi di ciascuna division dipendono dalla quota di budget secondo una legge quadratica ; inoltre u i (t) > 0 e x i (t) > 0 perciò si considera solo il semiasse positivo delle ascisse fino al valore û i (t)=6 in cui il giocatore i-esimo si ritira poiché diventa anti-economico proseguire (incrementi dei ricavi negativi) x Con tali limitazioni si ha che x i (t) > 0 ( i = 1,2 )

7 x Ciò significa che la funzione x (t) è non decrescente nellintervallo considerato [0;6] Più precisamente u Cresce a tassi crescenti (concavità verso lalto) per u i (t) [ 0;3 [ u Cresce a tassi decrescenti (concavità verso il basso) per u i (t) ] 3;6 ]

8 : indica che maggiore è la quota di budget ottenuta dalla divisione 2, più questa otterrà buoni ricavi a scapito della divisione 1 ( più una divisione si fa pubblicità rispetto allaltra, più le succhia ricavi ) : significa che maggiori sono i ricavi di una divisione ( ) minore è il loro tasso di incremento ( ) In ogni istante t il tasso di variazione dei ricavi di una divisione ha andamento opposto all ammontare dei ricavi stessi (redditività decrescente)

9 Introduciamo il secondo elemento necessario per definire la struttura del gioco Funzioni obiettivo : Funzioni obiettivo : rappresentano i ricavi netti delle due divisioni rappresentano i ricavi netti delle due divisioni

10 Ma tali espressioni economicamente (i=1,2) valgono solo se positive (valori negativi significano perdite in corrispondenza delle quali le attività, quindi il gioco, cessano ) perciò si deve avere che : In particolare : Gli estremi superiori di integrazione sono i valori di t in cui i giocatori abbandonano il gioco

11 Per trovare la soluzione di equilibrio paretiano devo tener conto che i ricavi da massimizzare sono quelli dellazienda nel suo complesso non quelli dei suoi singoli rami; introduciamo a tal fine una funzione obiettivo della coalizione (combinazione lineare delle f.o. individuali) Dobbiamo massimizzare questa funzione rispetto a Per farlo utilizziamo il principio del minimo di Pontryagin

12 Poi calcoliamo le tre condizioni del principio di Pontryagin Per prima cosa costruiamo la funzione Hamiltoniana Considerando u´= [ u 1 ; u 2 ] x´= [ x 1 ; x 2 ] p´= [ p 1 ; p 2 ]

13 I Fase Da cui si ricava

14 I Fase Perché u´ generi il massimo di J va verificata anche la condizione del secondo ordine p : vettore delle variabili aggiuntive o di costato ; rappresenta il prezzo ombra (quanto chi decide è disposto a pagare per una variazione unitaria di ) o il peso assegnato alle variazioni di che deve avere componenti positive. Verificando la condizione del secondo ordine si ottiene :

15 II Fase Per verificare che p i > 0 (i=1,2) calcoliamo: Che possiamo riscrivere come un sistema di 2 equazioni differenziali non omogenee che si risolve in questo modo: I. Soluzione generale della equazione omogenea associata: II. Soluzione particolare della non omogenea: soluzione stazionaria III. Soluzione generale della non omogenea:

16 Dalla condizione finale si ha che p i (T) = 0 (il termine extraintegrale di J, G [x (t)] è nullo : peso assegnato allo stato finale) Per trovare c 1 e c 2 si può normalizzare lintervallo di tempo in [0;1] cioè porre T= 1 da cui: Poi porre e sostituire nellintegrale generale ottenendo: Essendo i > 0, il segno di p i (t) dipende dallespressione tra parentesi (t - 1 ) < 0 poiché ho normalizzato il tempo : [0,T] = [0,1] quindi 0 0

17 III Fase Abbiamo verificato che il vettore u * è un ottimo paretiano sostituendo p 1 e p 2 in u * troviamo le espressioni delle sue componenti Evoluzione nel tempo delle spese per pubblicità delle due divisioni: i valori che assumono cambiano a seconda dei pesi ( 1 ; 2 ) assegnati i quali riflettono limportanza relativa di ciascuna divisione per lazienda Notiamo che due giocatori hanno strategie simmetriche (infatti sono partiti da una situazione in cui avevano stessa dinamica e stesse f.o.)

18 Dobbiamo come ultima cosa assicurare che u i (t) > 0 (quote di budget pubblicitario negative u i (t) < 0 significano che lazienda disinveste,il che non ha senso) u * i (t) ha derivata prima negativa, è cioè una funzione decrescente di t allora dobbiamo trovare il punto in cui interseca lasse delle ascisse: imponiamo la condizione quindi T i è lo stopping time il momento in cui ha termine gioco per t > T i u i * (t) < 0 Oltre listante che abbiamo trovato non ha più senso continuare il gioco perde di significato economico

19 Lesempio ricalca il precedente ma con la differenza che ora i giocatori sono singole aziende,distinte, concorrenti Lesempio ricalca il precedente ma con la differenza che ora i giocatori sono singole aziende,distinte, concorrenti lo scopo del gioco per ciascuno non è più massimizzare lutile dellimpresa (assumendo un atteggiamento cooperativo),ma massimizzare solo la propria funzione obiettivo prescindendo dal fatto che la propria strategia possa danneggiare lavversario lo scopo del gioco per ciascuno non è più massimizzare lutile dellimpresa (assumendo un atteggiamento cooperativo),ma massimizzare solo la propria funzione obiettivo prescindendo dal fatto che la propria strategia possa danneggiare lavversario assumiamo implicitamente simmetria informativa e contemporaneità nelle decisioni (non cè leader) assumiamo implicitamente simmetria informativa e contemporaneità nelle decisioni (non cè leader) Ex 1.b determinazione budget per la pubblicità tra due aziende concorrenti sullo stesso mercato

20 Ricerchiamo la soluzione di equilibrio più adatta in tale contesto (gioco differenziale, simmetrico, non cooperativo) : la soluzione di Nash Dinamica (stessa di prima) Funzioni obiettivo (invariate) A differenza di prima non calcoliamo la f.o. comune ora ognuno pensa a massimizzare la propria J indipendentemente dallaltro dovremo quindi calcolare due Hamiltoniane, una per ogni giocatore Inoltre consideriamo il problema nellarco di un anno:

21 Costruiamo le funzioni Hamiltoniane per ciascun giocatore: p ij : J-esima componente del vettore delle variabili aggiuntive relative all i-esimo giocatore Ora possiamo applicare il principio di Pontryagin : I Fase

22 Come si vede abbiamo derivato la Hamiltoniana di ciascun giocatore per la propria variabile decisionale controlliamo le cnd del II ordine: Soddisfatte se p ii > 0 (con i=1,2) per verificare tale condizione per p passiamo alla II Fase Ora abbiamo una coppia di equazioni differenziali per ciascun giocatore

23 Risolviamo le 4 equazioni differenziali grazie alle relative condizioni finali

24 Quindi il segno di p ij (t) è positivo ; ciò garantisce che le espressioni che abbiamo trovato per u 1 u 2 esprimano le strategie ottime

25 Ora non ci resta che sostituire le soluzioni trovate per p ij nei controlli u 1 e u 2 per determinare le espressioni delle strategie ottime secondo Nash : Diversamente dalla soluzione di Pareto, nel caso di Nash le strategie sono identiche : ciò è dovuto al fatto che i giocatori fin dallinizio hanno la stessa visione della realtà (descritta dalla dinamica ) e le stesse f.o. Le strategie dei giocatori non dipendono luna dallaltra Le strategie decrescono al crescere del tempo:

26 Poiché il gioco si deve fermare quando u 1 *,u 2 * =0 dobbiamo infine calcolare il tempo ( T i ) in cui i controlli si annullano (e i giocatori smettono di far pubblicità perché diventa antieconomico) T i :stopping time Come ultima considerazione se calcoliamo le derivate seconde delle Hamiltoniane otteniamo: Poiché p ii >0 le derivate sono sempre negative quindi le H. sono convesse (presentano punti di massimo);ciò garantisce che le condizioni necessarie per trovare u 1 *,u 2 * sono anche sufficienti

27 Esempio 2 Risoluzione di uno sciopero: Risoluzione di uno sciopero: Modello di contrattazione salariale Modello di contrattazione salariale

28 Immaginiamo di trovarci in un sistema economico in cui vi sono due parti : capitalisti e lavoratori Immaginiamo di trovarci in un sistema economico in cui vi sono due parti : capitalisti e lavoratori posti di fronte ad una contrattazione salariale che dà origine ad uno sciopero. Essi sono posti di fronte ad una contrattazione salariale che dà origine ad uno sciopero. Lo sciopero è dannoso per entrambe le parti e se per il singolo lavoratore il danno subito non ricevendo lo stipendio è minore rispetto a quello subito dallimprenditore non producendo,ciò non è più vero se consideriamo i lavoratori nel loro complesso. Lo sciopero è dannoso per entrambe le parti e se per il singolo lavoratore il danno subito non ricevendo lo stipendio è minore rispetto a quello subito dallimprenditore non producendo,ciò non è più vero se consideriamo i lavoratori nel loro complesso. Quindi siccome la situazione danneggia entrambi sarà interesse comune trovare un accordo in tempi relativamente brevi Quindi siccome la situazione danneggia entrambi sarà interesse comune trovare un accordo in tempi relativamente brevi Perché ciò sia possibile è necessario che richieste e offerte non siano troppo distanti fra loro Perché ciò sia possibile è necessario che richieste e offerte non siano troppo distanti fra loro

29 Variabili rilevanti: I. x(t) : offerta dei capitalisti II. y(t) : domanda dei lavoratori y 0 rappresenta lincremento salariale richiesto dai lavoratori X 0 proposta di aumento degli imprenditori y 0 - x 0 > 0 : le richieste saranno sempre più alte delle offerte III. u : variabile di controllo dei capitalisti. Esprime la velocità di adeguamento delle offerte dei capitalisti rispetto alla distanza esistente tra domanda ed offerta IV. v : variabile di controllo dei lavoratori. velocità di adeguamento delle richieste dei lavoratori rispetto alla distanza tra y ed x

30 Obiettivo di entrambi è una veloce risoluzione della contrattazione perciò le parti cercheranno rispettivamente di aumentare le offerte e ridurre le richieste in relazione alla distanza ( y-x) ; cioè se ( y-x) è molto grande i capitalisti aumenteranno le offerte di una percentuale maggiore di quanto non farebbero se questa differenza fosse minore (analogamente,in senso inverso,per i lavoratori) Quindi possiamo così rappresentare la dinamica dellofferta: lofferta dipende dal modo in cui i capitalisti adeguano le loro offerte (u) alla distanza tra domanda ed offerta (dinamica dellofferta crescente) Dinamica della domanda: il segno meno esprime una dinamica della domanda decrescente. Più grande è la distanza (y - x) tanto più i lavoratori ridurranno le proprie richieste

31 Introduciamo le funzioni obiettivo dei due giocatori: entrambi hanno interesse a che lo sciopero cessi il più in fretta possibile quindi vorranno minimizzare il tempo T in cui è raggiunto laccordo, per ogni giocatore dobbiamo minimizzare le quantità: Con K 1, K 2 0 : peso che ogni giocatore assegna alla durata dello sciopero ;i K riflettono le condizioni economiche delle parti Inoltre gli imprenditori vogliono minimizzare lofferta finale,mentre i lavoratori vogliono massimizzare la domanda finale,ma noi vogliamo costruire funzioni obiettivo da minimizzare, perciò minimizziamo lopposta della domanda cioè - y(t) Funzioni obiettivo

32 Lo sciopero termina quando la distanza tra domanda dei lavoratori y(t) ed offerta dei capitalisti x(t) raggiunge un certo valore di compromesso m: se ad esempio al momento iniziale t 0 i lavoratori hanno chiesto 100 e i capitalisti offerto 10 e prefissiamo m=5 la distanza domanda-offerta raggiunta la quale lo sciopero cessa possono verificarsi due situazioni: i capitalisti hanno potere contrattuale tale da mantenere invariata lofferta,saranno quindi i lavoratori ad abbassare le proprie richieste fino al raggiungimento dell equilibrio : in t=T y-x=m 15-10=5 della contrattazione sono soddisfatti solo i capitalisti che hanno applicato un saggio di variazione nullo: u(t)=0 t se sono invece i lavoratori ad aver maggior potere contrattuale, mantengono invariata la domanda adottando una strategia v(t) costantemente nulla costringendo i capitalisti ad alzare lofferta per fare cessare lo sciopero fino a quando in t=T y-x=m 100-95=5 ora chiaramente sono soddisfatti solo i lavoratori che avendo,per così dire,il coltello dalla parte del manico hanno applicato un saggio di variazione nullo

33 In generale lo sciopero cessa quando y(T) - x(T) = m ; m 0 però il criterio con cui i giocatori scelgono le loro strategie (la distanza y-x ) ha un significato relativo poiché come appena visto tale vincolo può essere soddisfatto a favore di entrambi i giocatori ma anche di uno solo di essi. Per ovviare allinconveniente si possono esprimere sia la dinamica che le funzioni obiettivo in termini assoluti anziché relativi: riformuliamo il gioco in termini della variabile z(t) = y(t) - x(t) z(t) > 0 Funzioni obiettivo: Dinamica: Con condizione iniziale: z(t o = 0) = z o = y o -x o Con e > 0

34 Ora calcoliamo la soluzione di equilibrio di Nash ricercando le strategie ottime dei due giocatori Costruiamo le Hamiltoniane per ciascun giocatore : Osserviamo che le H. sono lineari nei controlli;applicando il principio di Pontryagin per trovare i controlli ottimi dovremmo calcolare oltre alla derivata prima della H. rispetto al controllo,anche la derivata seconda,per verificare se è concava e assicurarci che le condizioni necessarie sono anche sufficienti (cerchiamo punti di minimo)

35 Ma esiste anche un altro modo di procedere,basato sulla condizione di Rozonov che dice che se lHamiltoniana è una funzione lineare possiamo determinare condizioni necessarie e sufficienti per le strategie ottime Infatti se ad esempio H 1 fosse lineare e decrescente nel controllo u allora il minimo della H. sarebbe in corrispondenza del valore massimo di u min H 1 u a b = max u H1H1 Invece se H 1 fosse lineare e crescente nel controllo u allora il minimo della H. sarebbe in corrispondenza del valore minimo di u min H 1 u a= min u b H1H1

36 Quindi se riusciamo a stabilire che l Hamiltoniana oltre che lineare è anche crescente o decrescente automaticamente riusciamo a determinare il valore ottimo del controllo, che sarà uno dei due estremi dell intervallo limitato e chiuso in cui esso è compreso. Tale situazione si presta allapplicazione del principio del Bang- Bang,che non è altro che lo studio della crescenza o decrescenza della H. attraverso lo studio del suo coefficiente angolare: H è crescente se: z ( 1 -p 1 ) > 0 ma siccome z = y-x > 0 sempre, per garantire la crescenza di H 1 basta porre 1-p 1 > 0 dove p 1 è il moltiplicatore, o variabile aggiuntiva, associata alla dinamica dal primo giocatore

37 Possono quindi verificarsi tre situazioni : Analogamente per il secondo giocatore troviamo:

38 p 1 e p 2 : variabili aggiuntive ; indicano il costo che ogni giocatore è disposto a sopportare in conseguenza di un aumento unitario della funzione obiettivo dovuto alle variazioni della dinamica del sistema. Per determinarle agiamo come nei casi precedenti,calcolando le equazioni canoniche : Sono due equazioni differenziali lineari in p 1 e p 2 non omogenee;siccome ciascuna equazione non dipende dalla variabile aggiuntiva dellaltro giocatore, possiamo risolverle col metodo classico:

39 I. calcolo della soluzione stazionaria (soluzione particolare della equazione non omogenea): II. Calcolo della soluzione generale della equazione omogenea associata: III. Infine calcolo della soluzione generale della non omogenea: IV. Resta solo da determinare C 0 imponendo la condizione finale:

40 Otteniamo quindi: Analogamente per la seconda equazione : Integrali generali delle equazioni canoniche relative alle variabili aggiuntive e che soddisfano le condizioni al contorno p 1 (T) = p 2 (T) = 0 Ora che abbiamo la espressioni di p possiamo verificare se (1-p 1 ) e (1-p 2 ) sono maggiori uguali o minori di zero cioè se p 1 e p 2 sono maggiori uguali o minori di uno

41 Ragionando solo per p 1 vediamo che Al crescere di t è funzione decrescente del tempo ed è sempre compresa tra 0 e 1 jjj: Allora possiamo dire che : Tuttavia,in generale, se troviamo espressioni di p(t) sempre positive dobbiamo andare a vedere cosa succede al tempo iniziale t = 0, poiché possono verificarsi tre diverse situazioni: t t*t* 0 p 1 (0) = 1 p 1 (0) < 1 p 1 (0) > 1 p 1 (t)

42 I. Se p 1 (0) > 1 In questo caso il primo giocatore (limprenditore) adotta una strategia ottima u * = b nellintervallo [0,t * [ il che significa che egli minimizza la propria funzione di utilità facendo crescere le proprie offerte molto in fretta alla velocità massima e costante b. Al tempo t * invece gli è indifferente scegliere una qualunque strategia tra a e b. Mentre superato listante t * la strategia ottima dellimprenditore sarà di aumentare le proprie offerte alla velocità minore e costante essendo u * = a t t* t* T 0 a b u* u* Graficamente per p 1 (0) > 1

43 II. Se p 1 (0) = 1 In questo caso il primo giocatore (limprenditore) potrà assumere, allistante iniziale t = 0, qualunque strategia compresa tra a e b perché tutte minimizzano la sua funzione di utilità. Ma non appena t > 0 la strategia ottima dellimprenditore diventa sempre u * = a cioè di aumentare le proprie offerte alla velocità minore (e costante) possibile. t* t* T 0 a b u* u* Graficamente per p 1 (0) = 1 t

44 III. Se p 1 (0) < 1 in questultima ipotesi limprenditore adotta sempre la strategia ottima u * = a, dato che in qualunque istante egli minimizza la propria funzione di utilità facendo crescere le sue offerte con la minore velocità possibile t* t* T 0 a b u* u* Graficamente per p 1 (0) < 1 t

45 Come abbiamo appena visto il nodo principale per poter scoprire quale comportamento adotteranno le parti durante la contrattazione è calcolare il valore assunto da p 1 (t) al tempo zero; Ergo la strategia ottima per il primo giocatore (imprenditore) è u * = a In modo analogo per il secondo giocatore si giunge ai risultati : Quindi la strategia ottima per il secondo giocatore è v * = c il che significa che anche i lavoratori minimizzano la propria funzione di utilità se abbassano le loro richieste con la minore velocità possibile Nel nostro caso

46 Resta da determinare il momento T in cui cessa lo sciopero ; a tal fine ricordiamo che il gioco termina quando : Se rappresentiamo su un piano le curve di offerta (degli imprenditori) e di domanda (dei lavoratori), partendo da certi valori iniziali x(0) = x 0 e y(0) = y 0 se si fissa m=0 il gioco termina quando le due curve si intersecano nel punto A altrimenti il gioco termina quando la distanza tra le due curve raggiunge il valore m A (m=0) 0 T m T 0 t x,y y 0 x 0 m

47 Per giungere allespressione di T dobbiamo prima determinare le espressioni delle curve di offerta x(t) e di domanda y(t) (è molto probabile che siano due esponenziali che rispettivamente, crescono e decrescono molto lentamente dal momento che u * = a e v * = c ) Per farlo ci basta sostituire nella dinamica le strategie ottime e risolvere lequazione differenziale ottenuta: Questa è l'espressione della dinamica ottima del sistema e la soluzione è

48 Se poniamo m = 0 e vogliamo trovare T significa che dobbiamo porre z (T) = 0 ottenendo: Tale uguaglianza è verificata solo per il che significa che le curve y(t) e x(t) sono asintotiche ;non esiste alcun valore finito del tempo in cui lofferta sia uguale alla domanda t x,y 0 y0y0 x0x0

49 Se invece m > 0, per trovare lespressione di T basta imporre che la differenza tra domanda e offerta z(t) sia uguale al valore desiderato m Passando ai logaritmi da ambo i membri e risolvendo si ottiene: Da cui: Notiamo come

50 Più la distanza tra domanda ed offerta richiesta per porre fine allo sciopero (m) è piccola,tanto più il tempo necessario a trovare un accordo (T) sarà lungo; mentre più la distanza richiesta si avvicina al valore iniziale della differenza (z 0 ) tanto più breve sarà il tempo impiegato per accordarsi.