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Università degli Studi di Cagliari FACOLTA’ DI INGEGNERIA Ricerca Operativa - RO - Dott.ssa Michela Lai Esercitazione.

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Presentazione sul tema: "Università degli Studi di Cagliari FACOLTA’ DI INGEGNERIA Ricerca Operativa - RO - Dott.ssa Michela Lai Esercitazione."— Transcript della presentazione:

1 Università degli Studi di Cagliari FACOLTA’ DI INGEGNERIA Ricerca Operativa - RO - Dott.ssa Michela Lai Esercitazione 1

2 2 Il processo decisionale La ricerca operativa si occupa dello studio di metodologie per la soluzione di problemi decisionali. Articolazione del processo decisionale in tale disciplina:  Individuazione del problema fisico  Analisi del problema e raccolta dati  Costruzione di un modello matematico  Implementazione di un algoritmo risolutivo per quel modello  Determinazione di una o più soluzioni  Analisi dei risultati ottenuti Tipicamente queste fasi non sono strettamente sequenziali

3 3 Il processo decisionale Modello: descrizione della porzione di realtà di interesse ai fini del processo decisionale. I modelli di supporto alle decisioni possono essere fisici (esempio: la galleria del vento) o matematici. Modello matematico: descrizione con strumenti di tipo logico- matematico della porzione di realtà di interesse. I modelli matematici possono essere suddivisi in modelli di simulazione, di teoria dei giochi e di ottimizzazione. In questo corso ci occupiamo di modelli di ottimizzazione impiegati per descrivere e risolvere problemi di ottimizzazione.

4 4 Problemi di ottimizzazione In un problema di ottimizzazione occorre prendere decisioni sull’uso di risorse disponibili in quantità limitata, in modo da minimizzare il “costo” da esse prodotto e rispettare un dato insieme di condizioni. Un problema di ottimizzazione può essere interpretato come una domanda inviata dal detentore del problema a colui/colei che può risolverlo Dato un insieme F di possibili risposte (o soluzioni ammissibili), un problema di ottimizzazione può essere così formalizzato: min c(x): x є F dove c: F -> R è una funzione che misura il costo associato ad ogni soluzione ammissibile

5 5 Problemi di ottimizzazione Un problema di ottimizzazione presenta dei parametri, in generale lasciati indeterminati, e delle proprietà che devono caratterizzare la risposta (o soluzione) desiderata Un’istanza di un dato problema di ottimizzazione è la domanda che si ottiene specificando particolari valori per tutti i parametri del problema La formalizzazione di un problema di ottimizzazione a partire da un problema fisico avviene attraverso un processo di “modellazione” del problema

6 6 Modelli di ottimizzazione Non esistono metodologie formali per generare automaticamente modelli di ottimizzazione  . La loro costruzione è lasciata fondamentalmente alla fantasia, alla creatività e all’esperienza del singolo In queste esercitazioni vedremo una carrellata di tecniche di modellazione, che possono essere utilizzate come blocchi per modelli più complessi La soluzione di un modello è sempre la soluzione della rappresentazione costruita del problema reale

7 7 Il problema della fonderia Definizione del problema, analisi della realtà e raccolta dati Una fonderia deve produrre 1000 pezzi del peso ciascuno di 1kg. Il ferro con cui tali pezzi sono fatti dovrà contenere manganese e silicio nelle seguenti quantità: manganese ≥ 0.45 % 3.25% ≤ silicio ≤ 5.5% Sono disponibili tre tipi di materiale ferroso con le seguenti caratteristiche: Inoltre si può acquistare il solo manganese a 10€/kg TIPO ATIPO BTIPO C % di silicio % di manganese Costo (€/kg)

8 8 ESERCIZIO: Determinare il piano di produzione che minimizza il costo d’acquisto delle materie prime mediante un modello di Programmazione Lineare Il problema della fonderia Definizione del problema, analisi della realtà e raccolta dati

9 9 Variabili:  x FA (≥0): numero di kg di materiale ferroso A da acquistare  x FB (≥ 0): numero di kg di materiale ferroso B da acquistare  x FC (≥ 0): numero di kg di materiale ferroso C da acquistare  x M (≥ 0): numero di kg di manganese da acquistare La definizione di queste variabili ci consente di rispettare i vincoli di non negatività

10 10 Vincoli  Il numero totale di kg prodotti deve essere 1000: x FA + x FB + x FC + x M = 1000  La quantità di silicio presente nel prodotto risultante è: 0.04 x FA x FB x FC e dovrà essere compresa tra il 3.25% e il 5.5% del totale (1000 kg), quindi 0.04 x FA x FB x FC ≥ x FA x FB x FC ≤ 55 Il problema della fonderia Definizione del problema, analisi della realtà e raccolta dati

11 11 Il problema della fonderia Definizione del problema, analisi della realtà e raccolta dati  La quantità di manganese presente nel prodotto risultante non dovrà essere inferiore al 0.45% del totale, quindi: x FA x FB x FC + x M ≥ 4.5  Dobbiamo determinare il piano di produzione che minimizza il costo di acquisto: min x FA x FB x FC + 10 x M

12 12 Il problema della fonderia Costruzione del modello di ottimizzazione Il problema può essere così formalizzato: min x FA x FB x FC + 10 x M s.t. x FA + x FB + x FC + x M = x FA x FB x FC ≥ x FA x FB x FC ≤ x FA x FB x FC + x M ≥ 4.5 x FA, x FB, x FC,x M ≥ 0 ESERCIZIO: Scrivere l’istanza su Lindo

13 13 Il problema della fonderia Determinazione delle soluzioni Istanza su Lindo: min xfa xfb xfc + 10 xm s.t. xfa + xfb + xfc + xm = xfa xfb xfc > xfa xfb xfc < xfa xfb xfc + xm > 4.5 end

14 14 Il problema della fonderia Analisi dei risultati LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST XFA XFB XFC XM ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) Soluzione con Lindo:

15 15 Il problema della fonderia Individuazione del problema, analisi della realtà e raccolta dati  Variable value  E’ il vettore delle variabili in condizioni di ottimo  Reduced cost (di una variabile)  Quantità di cui deve migliorare il coefficiente di quella variabile nella f.o. in modo che questa entri in base  Peggioramento della f.o. se quella variabile fuori base fosse forzata ad entrare in base con una variazione unitaria  Dual prices (di un vincolo)  E’ l’incremento che subirebbe la f.o. in conseguenza di un incremento unitario del RHS del vincolo considerato  Slack or Surplus (di un vincolo)  Indica lo scarto tra primo e secondo membro

16 16 Pianificazione della produzione Individuazione del problema, analisi della realtà e raccolta dati La società Alfa produce 2 linee di microprocessori destinate a 2 diverse tipologie di mercato:  Processori A, più potenti e destinati ad un mercato “server”  Processori B, meno potenti e destinato ad un mercato “home” La società è in grado di produrre al massimo 3000 wafer a settimana. Da ogni wafer si possono ottenere: 300 processori di tipo A con una resa media del 50% 500 processori di tipo B con una resa media del 60% (i processori B sono meno grandi e meno soggetti a difetti)

17 17 Prezzi di vendita:  500$ per ogni processore di tipo A  200$ per ogni processore di tipo B La divisione commerciale della società ha stabilito che la massima quantità di processori che possono essere immessi settimanalmente sul mercato, senza causare una riduzione dei prezzi, è:  processori di tipo A  processori di tipo B Pianificazione della produzione Individuazione del problema, analisi della realtà e raccolta dati

18 18 Determinare con un modello di programmazione lineare quanti processori di tipo A e B occorre produrre settimanalmente, in modo da massimizzare l’utile atteso per la società Processori A Ricavo: 500 $/processore Processori immettibili sul mercato in una settimana: Capacità produttiva: 300 processori ottenibili da 1 wafer (resa 50%) Processori B Ricavo: 200 $/processore Processori immettibili sul mercato in una settimana: Capacità produttiva: 500 processori ottenibili da 1 wafer (resa 60%) L’impianto è in grado di produrre 3000 wafer alla settimana Pianificazione della produzione Individuazione del problema, analisi della realtà e raccolta dati

19 19 Variabili  x A : numero di processori di tipo A da produrre in una settimana  x B : numero di processori di tipo B da produrre in una settimana Poiché non è possibile produrre quantità negative di processori ed esistono delle limitazioni superiori imposte dalla divisione commerciale, si ha che: 0 ≤ x A ≤ ≤ x B ≤ Pianificazione della produzione Costruzione del modello di ottimizzazione

20 20 Vincoli dovuti al processo produttivo:  w A : numero di wafer impiegati per produrre processori di tipo A  w B : numero di wafer impiegati per produrre processori di tipo B w A + w B ≤ 3000 Da ogni wafer si possono ricavare in una settimana:  300 · 0.5 = 150 processori di tipo A  x A = w A · 150  500 · 0.6 = 300 processori di tipo B  x B = w B · 300 Pianificazione della produzione Costruzione del modello di ottimizzazione

21 21 Ipotizzando che i costi di produzione, pubblicità e distribuzione siano indipendenti dalla tipologia di processore, massimizzare tale ricavo è equivalente a massimizzare l’utile atteso dalla vostra società Il ricavo è dato dalla seguente funzione lineare: max 500 · x A · x B Pianificazione della produzione Costruzione del modello di ottimizzazione

22 22 Modello di ottimizzazione: max 500 x A x B s.t. x A ≤ x B ≤ x A + x B ≤ x A ≥ 0 x B ≥ 0 Pianificazione della produzione Costruzione del modello di ottimizzazione e determinazione delle soluzioni ESERCIZIO: Ricavare graficamente 3 soluzioni ammissibili e i relativi ricavi

23 23 Spazio ammissibile: Pianificazione della produzione Costruzione del modello di ottimizzazione e determinazione delle soluzioni Modello di ottimizzazione: max 500 x A x B s.t. x A ≤ x B ≤ x A + x B ≤ x A ≥ 0 x B ≥ 0

24 24 Quanti wafer occorre utilizzare all’ottimo per i due tipi di processori? Questi valori di w A e w B non sono accettabili. Un wafer può essere impiegato solo per una tipologia di processori. Tuttavia, spesso le stime commerciali hanno un rilevante margine di incertezza. Una buone soluzione ammissibile intera è: w A = w B = 333 Pianificazione della produzione Costruzione del modello di ottimizzazione e determinazione delle soluzioni

25 25 Pianificazione della produzione Costruzione del modello di ottimizzazione e determinazione delle soluzioni ESERCIZIO: Scrivere l’istanza su Lindo Modello di ottimizzazione: max 500 x A x B s.t. x A ≤ x B ≤ x A + x B ≤ x A ≥ 0 x B ≥ 0

26 26 Istanza su Lindo: max 500 xa xb s.t. xa < xb < xa + xb < end Pianificazione della produzione Costruzione del modello di ottimizzazione e determinazione delle soluzioni Modello di ottimizzazione: max 500 x A x B s.t. x A ≤ x B ≤ x A + x B ≤ x A ≥ 0 x B ≥ 0

27 27 LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) E+09 VARIABLE VALUE REDUCED COST XA XB ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) NO. ITERATIONS= 2 Pianificazione della produzione Costruzione del modello di ottimizzazione e determinazione delle soluzioni Soluzione con Lindo:

28 28 Dal problema della fonderia a una notazione più generale La struttura modellistica del problema della fonderia può essere applicata a numerosi problemi decisionali:  Si deve definire quante unità acquistare tra un dato insieme di prodotti (ad esempio tre tipologie di materiali ferrosi)  Spesso non si può acquistare una quantità di un dato prodotto che sia superiore a un limite predefinito  Questi prodotti presentano delle proprietà (ad esempio la quantità di silicio e manganese)  Il mix di beni acquistati deve garantire dei requisiti rispetto a tali proprietà (ad esempio la quantità minima di silicio e manganese)  Occorre minimizzare il costo di acquisto dei prodotti

29 29 Dal problema della fonderia a una notazione più generale Notazione  j l’indice dei prodotti tra cui poter scegliere  i l’indice delle proprietà  x j la quantità (non negativa) da acquistare del prodotto j  c j il costo unitario di acquisto del prodotto j  u j la quantità massima acquistabile del prodotto j  b i la quantità minima della proprietà i richiesta nel mix di prodotti da acquistare  a ij la quantità di proprietà i presente in una unità del prodotto j

30 30 Dal problema della fonderia a una notazione più generale Il precedente problema può essere così formalizzato: s.t. Possibile applicazione: il problema della dieta

31 31 Il problema della dieta  Una mensa scolastica deve pianificare gli acquisti degli alimenti per la sua attività  La dieta deve rispettare alcuni requisiti nutrizionali minimi e le porzioni massime di ogni alimento  Noti i costi unitari dei vari alimenti, determinare la composizione di alimenti in modo da minimizzare il costo complessivo d’acquisto degli alimenti

32 32 Il problema della dieta Dati del problema: AlimentoQuantità massima (in hg) Prezzo di vendita (in €/hg) Pane40.1 Latte30.5 Uova10.12 Carne20.9 Dolce21.3 Valori nutrizionali per hgPaneLatteUovaCarneDolce Calorie Proteine5 g15 g30 g90 g70 g Calcio0.02 g0.15 g0.05 g0.08 g0.01 g Valori nutrizionali minimi Calorie 600 cal. Proteine50 g Calcio0.7 g ESERCIZIO Definire variabili e vincoli. Scrivere l’istanza su Lindo

33 33 Il problema della dieta Istanza su Lindo: min 0.1 x_pane x_latte x_uova x_carne x_dolce s.t. 30 x_pane + 50 x_latte x_uova x_carne x_dolce > x_pane + 15 x_latte + 30 x_uova + 90 x_carne + 70 x_dolce > x_pane x_latte x_uova x_carne x_dolce > 0.7 x_pane < 4 x_latte < 3 x_uova < 1 x_carne < 2 x_dolce < 2 end

34 34 Il problema della dieta LP OPTIMUM FOUND AT STEP 6 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST X_PANE X_LATTE X_UOVA X_CARNE X_DOLCE Soluzione con Lindo:

35 35  Per un’indagine conoscitiva si vogliono contattare rispettivamente almeno: –150 donne sposate –110 donne non sposate –120 uomini sposati –100 uomini non sposati  Dati: Costo telefonate al mattino (prima delle 14:00) = 0.2€ Costo telefonate alla sera (dopo le 14:00) = 0.1€ Probabilità di risposta: Quante telefonate effettuare nei due periodi? Si richiede che almeno metà delle telefonate sia effettuata al mattino RISP% Mattina% Sera D.S.30 D.N.S.1020 U.S.1015 U.N.S.405 Problema del call center Individuazione del problema, analisi della realtà e raccolta dati ESERCIZIO: Scrivere il relativo modello di ottimizzazione

36 36 Problema del call center Costruzione del modello di ottimizzazione Variabili t m : numero di telefonate da compiere al mattino di costo unitario t p : numero di telefonate da compiere al pomeriggio di costo unitario Parametri i: indice delle categorie di persone a cui telefonare a im : probabilità di trovare una persona della categoria i al mattino a ip : probabilità di trovare una persona della categoria i al pomeriggio b i : numero minimo di persone di categoria i a cui telefonare

37 37 Problema del call center Costruzione del modello di ottimizzazione Funzione obiettivo: min c m ∙ t m + c p ∙ t p Soddisfacimento del numero minimo di chiamate per la categoria i: a im ∙ t m + a ip ∙ t p ≥ b i Almeno la metà delle telefonate devono essere effettuate al mattino: t m - t p ≥ 0 Vincoli di non-negatività: t m ≥0 t p ≥0 ESERCIZIO: Scrivere l’istanza su lindo

38 38 Problema del call center Determinazione delle soluzioni Modello di ottimizzazione: min c m ∙ t m + c p ∙ t p a im ∙ t m + a ip ∙ t p ≥ b i t m - t p ≥ 0 t m ≥0 t p ≥0 Istanza su Lindo: min 2 tm + 1 tp s.t. 30 tm + 30 tp > tm + 20 tp > tm + 15 tp > tm + 5 tp > tm - tp > 0 end

39 39 Problema del call center Analisi dei risultati Soluzione con Lindo LP OPTIMUM FOUND AT STEP 5 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST TM TP ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) NO. ITERATIONS= 5

40 40 Esercizi per casa 1 Scrivere il modello L’agenzia matrimoniale Cuori Solitari deve organizzare il gran ballo di fine anno. L’agenzia ha n clienti maschi e n clienti femmine, ed ha prenotato n tavoli da due posti al famoso ristorante Cupido. Dai profili psicologici raccolti dai clienti, l’agenzia è in grado di calcolare, per ogni maschio i, l’insieme F(i) delle femmine con le quali potrebbe essere interessato ad intrecciare una relazione, e che potrebbero essere interessate ad intrecciare una relazione con lui; un analogo insieme M(j) può essere ottenuto per ogni femmina j. Dai profili dei clienti, l’agenzia `e anche in grado di calcolare, per ogni coppia (i; j) “compatibile”, il costo cij della cena da offrire, che deve consistere di piatti graditi ad entrambi i commensali. L’agenzia vuole quindi decidere come formare le coppie per il gran ballo in modo da evitare coppie incompatibili e minimizzare il costo complessivo delle cene.


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