La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La Programmazione Lineare Un Esempio. Il Problema Il caseificio Fior di Latte produce due tipi di formaggio: i formaggi A e B. Lazienda casearia deve.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "La Programmazione Lineare Un Esempio. Il Problema Il caseificio Fior di Latte produce due tipi di formaggio: i formaggi A e B. Lazienda casearia deve."— Transcript della presentazione:

1 La Programmazione Lineare Un Esempio

2 Il Problema Il caseificio Fior di Latte produce due tipi di formaggio: i formaggi A e B. Lazienda casearia deve decidere quante tonnellate produrre di ciascun tipo di formaggio. Lazienda trasforma esclusivamente il latte proveniente da alcune stalle della zona che possono garantire ogni anno 2880 tonnellate di latte. Da un punto di vista della trasformazione, i due formaggi si differenziano per la quantità di latte e per il lavoro necessari alla produzione di ununità di prodotto trasformato. Infatti per produrre 1 tonn. di formaggio A sono necessari 12 tonn. di latte e 9 ore di lavoro; mentre, per produrre 1 tonn. di formaggio B servono 16 tonn. di latte e 6 ore di lavoro. Il caseificio ha una capacità massima di 200 tonnellate di formaggio. Le ore di lavoro disponibili sono Il profitto che può ricevere il caseificio dalla vendita del formaggio è pari a 350 euro per il formaggio A e 300 euro per il formaggio B. La domanda è: quanto formaggio A e B deve produrre il caseificio per poter ottenere il massimo profitto? Economia delle Supply Chain

3 I problemi di scelta In qualsiasi contesto economico dove le risorse da utilizzare sono disponibili in quantità limitata, si pone un problema di scelta della quantità e combinazioni di fattori da impiegare per ottenere il migliore risultato possibile. Ad esempio, lattività imprenditoriale ha come motivazione principale la continuità della propria impresa e la remunerazione dei fattori della produzione. Limprenditore compie la sua attività di organizzazione al fine di individuare quella combinazione di fattori in grado di fornire il profitto più elevato. Nel campo della logistica dei trasporti, lobiettivo è trovare la strada più breve per raggiungere un certo luogo o il sistema di trasporto delle merci che riesca a minimizzare i costi dellimpresa. Economia delle Supply Chain

4 La formulazione del problema Per risolvere ogni tipo di problema di programmazione lineare, prima di tutto bisogna cercare di formularlo in termini algebrici seguendo queste regole: 1.Comprendere il problema; 2.Identificare le variabili di decisione; 3.Individuare la funzione obiettivo come combinazione lineare delle variabili decisionali; 4.Formulare i vincoli del problema come combinazione lineare delle variabili di decisione. Economia delle Supply Chain

5 Comprendere il problema Prima di cimentarsi con la formulazione matematica di ogni problema è fondamentale soffermarsi sul contesto in cui dovremo sviluppare un modello di programmazione matematica e domandarci: 1)Qual è lobiettivo a cui dovremmo rispondere attraverso lo sviluppo di un modello di programmazione matematica? 2)Esistono delle variabili decisionali che possono influenzare lobiettivo? 3)Quali sono i fattori o le risorse disponibili impiegati nel processo di trasformazione tecnico-economica? 4)Quali sono i tempi richiesti per dare un supporto al processo decisionale? 5)E realmente necessario sviluppare un modello di programmazione matematica? Economia delle Supply Chain

6 Identificare le variabili decisionali Se abbiamo compreso i termini del problema, allora possiamo individuare le variabili decisionali, cioè quelle grandezze che attraverso luso delle risorse disponibili in quantità limitata determinano i risultati del problema. Le variabili sono quegli elementi del problema che devono essere calcolati in modo da ottenere il miglior risultato possibile. Solitamente le variabili di un problema di PL sono individuate dalle lettere X 1, X 2, X 3, …, X n Nel nostro esempio, le variabili decisionali sono implicite nella domanda finale: quante tonnellate di formaggio A e B bisogna produrre per ottenere il massimo profitto? Le variabili sono: Formaggio A X1X1 Formaggio B X2X2 Variabili decisionali del problema di PL Economia delle Supply Chain

7 La Funzione Obiettivo Dopo aver individuato le variabili decisionali del problema, bisogna formulare in termini matematici lobiettivo che ci poniamo attraverso la costruzione e risoluzione di un problema di PL. Domanda: cosa deve essere massimizzato/minimizzato? La funzione obiettivo rappresenta in termini algebrici lobiettivo di chi vuole ottimizzare una certa situazione attraverso un modello di PL. Nel nostro esempio la funzione obiettivo è data dalla massimizzazione del profitto totale del caseificio, vale a dire: Profitto Totale = 350 X X 2 Obiettivo= massimizzare (max) il Profitto Totale Funzione Obiettivo = max Profitto Totale = max 350 X X 2 Economia delle Supply Chain

8 I Vincoli In ogni problema di scelta esistono dei limiti ai valori che possono assumere le variabili decisionali. In particolare, in ogni problema di PL bisogna tener conto dei fattori limitanti, ovvero delle risorse disponibili in quantità limitata. Inoltre, in molti problemi di scelta è necessario considerare i vincoli tecnologici, ovvero i legami esistenti tra variabili e tra le variabili e i fattori limitanti. Nel problema di PL assunto come esempio possiamo individuare 3 vincoli principali. I vincolo. La capacità del caseificio Ogni anno il caseificio può contenere sino ad un massimo di 200 tonnellate di formaggio. Quindi: X 1 + X La quantità prodotta del formaggio A sommata alla quantità del formaggio B non può superare le 200 tonnellate prodotte. Economia delle Supply Chain

9 I Vincoli II vincolo. Il vincolo tecnologico di disponibilità di latte Il caseificio utilizza il latte di alcuni allevatori per produrre i due tipi di formaggi, cioè: 12 X X Per produrre ununità (tonnellata) di formaggio A occorrono 12 tonnellate di latte; mentre per produrre il formaggio B occorrono 16 tonnellate di latte. La quantità di latte che può entrare nel ciclo produttivo ogni anno è pari a 2880 tonnellate di latte. III vincolo. Il vincolo della disponibilità di lavoro Lammontare massimo di ore che possono essere destinate allattività di trasformazione costituisce un ulteriore vincolo al problema. Infatti: 9 X X Sono 9 le ore che devono essere destinate alla produzione di 1 t. di formaggio A e 6 quelle necessarie alla produzione del formaggio B. Economia delle Supply Chain

10 I Vincoli Infine, per dare coerenza alle soluzioni del problema con la realtà osservata ed evitare soluzioni inverosimili, ai problemi di PL si aggiungono i cosiddetti vincoli di non-negatività riferiti alle variabili del problema. Così nel nostro esempio sarebbe alquanto strano ottenere soluzioni con valori negativi delle variabili decisionali. Per tale ragione, il problema è integrato dai seguenti 2 vincoli: X 1 0 X 2 0 I due vincoli assicurano che la risoluzione del problema restituisca valori realistici ancorché ottimi. Vincoli di non-negatività Economia delle Supply Chain

11 Il Problema di PL Ora siamo in grado di poter scrivere il problema di PL in modo completo, nella formulazione algebrica seguente: Soggetto a F. Obiettivo V. Capacità caseificio V. Latte fornito V. Lavoro V. non-negatività 1 V. non-negatività 2 Attività 1 Attività 2 Economia delle Supply Chain

12 Soluzione Grafica I vincoli di un problema di PL definiscono linsieme delle soluzioni ammissibili, cioè la regione delle soluzioni ammissibili del problema (feasible region). Il nostro compito è di determinare quale punto della regione ammissibile corrisponde al valore ottimo della funzione obiettivo. Soggetto a Economia delle Supply Chain

13 Soluzione Grafica Rappresentiamo il primo vincolo x2x2 x1x1 (200,0) (0,200) Economia delle Supply Chain

14 Soluzione Grafica Rappresentiamo il primo vincolo x2x2 x1x1 (200,0) (0,200) Linea del limite superiore della capacità del caseificio Economia delle Supply Chain

15 Soluzione Grafica Rappresentiamo il secondo vincolo x2x2 x1x1 (240,0) (0,180) Linea del limite superiore della disponibilità di latte 250 Economia delle Supply Chain

16 Soluzione Grafica Rappresentiamo il secondo vincolo x2x2 x1x1 (240,0) (0,180) Linea del limite superiore della disponibilità di latte 250 Economia delle Supply Chain

17 Soluzione Grafica Rappresentiamo il secondo vincolo x2x2 x1x1 (174,0) (0,261) Linea del limite superiore della disponibilità di lavoro 250 Economia delle Supply Chain

18 Soluzione Grafica Rappresentiamo il secondo vincolo x2x2 x1x1 (174,0) (0,261) Linea del limite superiore della disponibilità di lavoro 250 Regione Ammissibile (Feasible region) Economia delle Supply Chain

19 Soluzione Grafica La regione ammissibile rappresenta la nuvola dei punti rispetto ai quali il valore assunto dalle variabili non contrasta con i vincoli del problema x2x2 x1x1 250 Regione Ammissibile Economia delle Supply Chain

20 Soluzione Grafica La regione ammissibile offre una infinita nuvola di punti nella quale dovremo individuare la coppia di valori che producono il massimo profitto. Per tale ragione esistono un infinito numero di valori della funzione obiettivo che soddisfa i vincoli del problema. Tuttavia, solo un punto restituisce il valore massimo della funzione obiettivo. La ricerca di questo punto deve seguire il criterio di saturazione della disponibilità dei fattori, cioè è necessario individuare quella soluzione che riesca ad utilizzare pienamente le risorse scarse. Per tale ragione, la soluzione del nostro problema dovrà essere cercata nelle zone più estreme della regione ammissibile. Questi punti in PL, si trovano allintersezione delle rette dei vincoli, vale a dire nei punti dangolo (corner point) della regione ammissibile. Economia delle Supply Chain

21 Soluzione Grafica Procediamo per tentativi e partiamo dal seguente valore della funzione obiettivo: 350x x 2 = Graficamente: x2x2 x1x1 250 Funzione obiettivo (100,0) (0,116.67) Economia delle Supply Chain

22 Soluzione Grafica Il valore della funzione obiettivo precedente soddisfa i vincoli, ma non massimizza il risultato perché abbiamo ancora disponibilità di fattori. Proviamo ora con un valore di FO pari a euro. Graficamente: x2x2 x1x1 250 Nuova Funzione obiettivo (150,0) (0,175) Economia delle Supply Chain

23 Soluzione Grafica punto di ottimo Spostando la funzione obiettivo agli estremi della regione ammissibile il risultato economico continua ad aumentare. Il punto al di là del quale non è più possibile spostare la FO corrisponde al punto di ottimo x2x2 x1x1 250 Soluzione ottima (122,78) Economia delle Supply Chain

24 Soluzione Grafica Per cercare la soluzione ottimale di un problema di PL è necessario studiare i punti dangolo e determinare per ciascun punto il valore della funzione obiettivo. Il punto che restituisce il valore della FO più alto coincide con il punto di ottimo x2x2 x1x1 250 (0,0) FO=0 (174,0) FO=60900 (0,180) FO=54000 (80,120) FO=64000 (122,78) FO=66100 Economia delle Supply Chain

25 Problema di PL Risolvere graficamente il seguente problema di Programmazione Lineare. Soggetto a Economia delle Supply Chain

26 Soluzione Grafica Alcuni problemi di PL possono presentare delle soluzioni ottime multiple x2x2 x1x1 250 (0,0) FO=0 (174,0) FO=78300 (0,180) FO=54000 (80,120) FO=72000 (122,78) FO=78300 Economia delle Supply Chain

27 Problema di PL Risolvere graficamente il seguente problema di Programmazione Lineare. Soggetto a Economia delle Supply Chain

28 Soluzione Rappresentiamo il primo vincolo: x2x2 x1x (12,0) Economia delle Supply Chain

29 Soluzione Rappresentiamo il secondo vincolo: x2x2 x1x (0,10) Economia delle Supply Chain

30 Soluzione Rappresentiamo il terzo vincolo: x2x2 x1x (0,12) (18,0) Economia delle Supply Chain

31 Soluzione Calcoliamo le soluzioni dangolo per individuare la soluzione ottima x2x2 x1x (0,0) FO=0 (12,0) FO=36 (12,4) FO=52 (3,10) FO=49 (0,10) FO=40 Soluzione Ottima Economia delle Supply Chain


Scaricare ppt "La Programmazione Lineare Un Esempio. Il Problema Il caseificio Fior di Latte produce due tipi di formaggio: i formaggi A e B. Lazienda casearia deve."

Presentazioni simili


Annunci Google