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Logica della vaghezza. Carattere vero-funzionale dei connettivi classici. non: ¬ non: ¬ p¬p 1 0 0 1.

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Presentazione sul tema: "Logica della vaghezza. Carattere vero-funzionale dei connettivi classici. non: ¬ non: ¬ p¬p 1 0 0 1."— Transcript della presentazione:

1 Logica della vaghezza

2 Carattere vero-funzionale dei connettivi classici. non: ¬ non: ¬ p¬p

3 Tavola di verità del connettivo e: & p qp&q

4 Se p allora q: p q p q p q

5 PARADOSSO DEL SORITE

6 Esempio di sorite [da σορος = mucchio] 1) Un chicco di grano non è un mucchio; 1) Un chicco di grano non è un mucchio; 2) Se un chicco di grano non è un mucchio, allora due chicchi di grano non sono un mucchio; 2) Se un chicco di grano non è un mucchio, allora due chicchi di grano non sono un mucchio; n) Se n-1 chicchi di grano non sono un mucchio, allora n chicchi di grano non sono un mucchio n) Se n-1 chicchi di grano non sono un mucchio, allora n chicchi di grano non sono un mucchio n chicchi di grano non sono un mucchio. n chicchi di grano non sono un mucchio.

7 1) Fa 1 2) Fa 1 Fa 2... n) Fa n-1 Fa n Fa nFa n 1) Fa 1 2) Fa 1 Fa ) Fa Fa Fa Fa

8 1) Fx 1 2) Per ogni i, Fx i Fx i+1 3) Fx n 3) Fx n

9 Argomento Argomento Verità Verità Validità Validità

10 Concetto di validità. Un argomento è valido quando non si dà mai il caso che, essendo vere le premesse, sia falsa la sua conclusione. Si può paragonare un argomento valido a una macchina, nella quale si inseriscono come input enunciati veri per ottenere come output enunciati veri. La validità è una proprietà della struttura di un argomento; mentre la verità concerne il rapporto di un enunciato con le cose cui lenunciato stesso si riferisce. Un argomento valido può essere formato da enunciati veri, nel qual caso è anche corretto. Se invece almeno una delle premesse è falsa, è scorretto. Se invece almeno una delle premesse è falsa, è scorretto.

11 Valido: proprietà della struttura Valido: proprietà della struttura Vero: proprietà dei singoli pezzi che compongono largomento (proposizioni, enunciati) Vero: proprietà dei singoli pezzi che compongono largomento (proposizioni, enunciati)

12 Esempio di argomento valido, ma falso (non corretto) Se oggi è il 25 dicembre, allora oggi è Natale Se oggi è il 25 dicembre, allora oggi è Natale Oggi è il 25 dicembre Oggi è il 25 dicembre Dunque oggi è Natale. Dunque oggi è Natale.

13 Alcune ipotesi riguardo al sorite: 1) Si tratta di un argomento invalido 2) Largomento è valido, ma le premesse sono false (almeno una lo è) 2a) E falsa la prima premessa 2b) Sono false le premesse a partire da un numero k compreso tra 2 e n (2 kn) 3)Largomento è valido, ma proprio ciò mette in luce la non trattabilità delle nozioni vaghe

14 E un argomento invalido? Consta di una premessa categorica (la prima) e di n premesse condizionali. Possiamo vederlo come lapplicazione reiterata della regola: β β nota come modus (ponendo) ponens o regola di separazione;

15 1) Fa 1 2) Fa 1 Fa 2 Fa 2 Fa 2[….] )Fa )Fa Fa Fa Fa A,AB/B A,AB/B B,BC/C B,BC/C C,CD/D C,CD/D A/C A/C

16 Non sembra plausibile sostenere che è un argomento invalido Quindi rimane lipotesi che sia valido. Si ha perciò o il caso 2) o il caso 3). Quindi rimane lipotesi che sia valido. Si ha perciò o il caso 2) o il caso 3). Caso 2): Caso 2): è valido, ma con premesse false. è valido, ma con premesse false. 2a) E falsa la prima premessa 2a) E falsa la prima premessa 2b) Sono false le premesse a partire da un numero k compreso tra 2 e n (2 kn). 2b) Sono false le premesse a partire da un numero k compreso tra 2 e n (2 kn). Caso 3) E valido e ciò getta discredito sui predicati vaghi. Caso 3) E valido e ciò getta discredito sui predicati vaghi.

17 Caso 2a): è falsa la prima premessa. Non possiamo concludere nulla circa la verità o falsità della conclusione (da premesse false può seguire una conclusione vera). Non possiamo concludere nulla circa la verità o falsità della conclusione (da premesse false può seguire una conclusione vera). E questo il caso meno interessante E questo il caso meno interessante Possiamo tuttavia assumere che è falso asserire un chicco di grano non è un mucchio, in quanto non esistono mucchi. Possiamo tuttavia assumere che è falso asserire un chicco di grano non è un mucchio, in quanto non esistono mucchi.

18 A questo esito, noto in letteratura come nichilista, porta anche lammissione che largomento soritico è valido e corretto, vale a dire A questo esito, noto in letteratura come nichilista, porta anche lammissione che largomento soritico è valido e corretto, vale a dire tale che è valido e ha premesse vere. tale che è valido e ha premesse vere.

19 Esito nichilista: i mucchi non esistono. Esito nichilista: i mucchi non esistono. Gli oggetti, le cose cui facciamo riferimento nella vita ordinaria si dividono in reali e convenzionali. Gli oggetti, le cose cui facciamo riferimento nella vita ordinaria si dividono in reali e convenzionali. Mucchio è nome di un oggetto costruito o convenzionale: non è nome di un oggetto reale. Mucchio è nome di un oggetto costruito o convenzionale: non è nome di un oggetto reale.

20 Caso 2b): è falsa almeno una premessa successiva alla prima. Ciò implica che almeno uno dei condizionali della forma: Ciò implica che almeno uno dei condizionali della forma: Fa k Fa k+1 Fa k Fa k+1 è falso! è falso! Quindi lantecedente di tale condizionale è vero e il conseguente falso. Quindi lantecedente di tale condizionale è vero e il conseguente falso.

21 Ovvero: Esiste un insieme k di grani che NON è un mucchio, mentre linsieme k+1 è un mucchio. Esiste un insieme k di grani che NON è un mucchio, mentre linsieme k+1 è un mucchio. Esiste un confine preciso tra non esser mucchio e esser mucchio Esiste un confine preciso tra non esser mucchio e esser mucchio In termini generali: esiste un confine preciso tra il predicato F e il predicato non-F. In termini generali: esiste un confine preciso tra il predicato F e il predicato non-F.

22 Digressione sulla logica classica Digressione sulla logica classica

23 Logica classica A) I connettivi logici (e, o, non, se…allora…), sono vero-funzionali A) I connettivi logici (e, o, non, se…allora…), sono vero-funzionali B) Vale il principio di bivalenza: ogni enunciato assume uno e uno solo dei due valori vero (1) e falso (0) B) Vale il principio di bivalenza: ogni enunciato assume uno e uno solo dei due valori vero (1) e falso (0) C) Tra le leggi logiche principali, figurano i princìpi di: C) Tra le leggi logiche principali, figurano i princìpi di: non-contraddizione; terzo escluso. non-contraddizione; terzo escluso.

24 Principio di non-contraddizione: Principio di non-contraddizione: Non( e non-): ~( & ~) Non( e non-): ~( & ~) Principio del terzo escluso: Principio del terzo escluso: ( o non-): ( ~) ( o non-): ( ~) [ è un enunciato qualunque] [ è un enunciato qualunque]

25 Semantica dei predicati. Semantica dei predicati. Interpretazione delle espressioni che fungono da predicati nel linguaggio L di riferimento. Interpretazione delle espressioni che fungono da predicati nel linguaggio L di riferimento. Simboli per predicati: P, Q… Simboli per predicati: P, Q…

26 Un linguaggio L viene interpretato su un dominio D di oggetti

27 Nella logica classica, linterpretazione di un predicato P sul dominio D è un sottoinsieme di D perfettamente definito. Nella logica classica, linterpretazione di un predicato P sul dominio D è un sottoinsieme di D perfettamente definito. P P

28 Nel caso di predicati vaghi, tuttavia, lestensione del predicato P non ha confini ben definiti

29 3 possibili soluzioni al problema del sorite (escludendo il nichilismo) : A) Soluzione epistemica; A) Soluzione epistemica; B) Supervalutazioni; B) Supervalutazioni; C) Logica a infiniti valori. C) Logica a infiniti valori.

30 A) Soluzione epistemica: la vaghezza riguarda noi, non la realtà. Mantiene la logica classica. Mantiene la logica classica. Perciò, accetta che ai termini vaghi corrispondano effettivamente proprietà perfettamente definite. Perciò, accetta che ai termini vaghi corrispondano effettivamente proprietà perfettamente definite. Ammette che vi siano punti di confine (aspetto contro-intuitivo). Ammette che vi siano punti di confine (aspetto contro-intuitivo).

31 B) Supervalutazioni Mantiene molta parte della logica classica; Mantiene molta parte della logica classica; Fa ricorso alla procedura dei raffinamenti; Fa ricorso alla procedura dei raffinamenti; Non è classica a livello metalogico: viola il principio di bivalenza. Non è classica a livello metalogico: viola il principio di bivalenza.

32 Mucchio Mucchio* Mucchio Mucchio* Non-mucchio Non-mucchio* Non-mucchio Non-mucchio* Penombra Penombra Mucchio Mucchio* Mucchio Mucchio*

33 Enunciati superveri: veri sotto tutti i raffinamenti Enunciati superveri: veri sotto tutti i raffinamenti Enunciati superfalsi: falsi sotto tutti i raffinamenti Enunciati superfalsi: falsi sotto tutti i raffinamenti Enunciati veri sotto certi raffinamenti e falsi sotto altri. Enunciati veri sotto certi raffinamenti e falsi sotto altri.

34 Girino Girino 1, 2, 3, 4, 5…….k 1, 2, 3, 4, 5…….k Penombra Penombra (k+1) (k+1) (k+2) (k+2) (k+3) (k+3) [….] [….] Rana Rana (k+m)………n. (k+m)………n.

35 Girino Girino 1, 2, 3, 4, 5…….k, (k +1) 1, 2, 3, 4, 5…….k, (k +1) Girino Girino 1, 2, 3, 4, 5…….k, (k +1), (k+2) 1, 2, 3, 4, 5…….k, (k +1), (k+2) Rana Rana (k+3) (k+3) [….] [….] (k+m)………n. (k+m)………n. Rana Rana (k+2) (k+2) (k+3) (k+3) [….] [….] (k+m)………n. (k+m)………n.

36 Rimane valido il principio del terzo escluso: ~ Rimane valido il principio del terzo escluso: ~ k è un girino oppure k non è un girino; k è un girino oppure k non è un girino; k è un girino non è né (super-)vero né (super-)falso, se k si trova nella penombra. Quindi: k è un girino non è né (super-)vero né (super-)falso, se k si trova nella penombra. Quindi:

37 Viene meno il principio di bivalenza Ci sono enunciati che non sono né veri né falsi. Ci sono enunciati che non sono né veri né falsi. Inoltre: Inoltre: lasserzione: esiste un punto in cui k è una rana è vera, senza però che sia possibile specificare quale sia tale punto (varia infatti con ciascun raffinamento). lasserzione: esiste un punto in cui k è una rana è vera, senza però che sia possibile specificare quale sia tale punto (varia infatti con ciascun raffinamento). Di conseguenza: Di conseguenza:

38 Un enunciato esistenziale, del tipo: x(Px) sarà super-vero, senza che Pa, Pb, ecc. lo siano. Se infatti a, b, c … appartengono alla penombra, le asserzioni Pa, Pb, Pc saranno ora vere ora false, a seconda dei raffinamenti, ma mai vere in tutti i raffinamenti. Se infatti a, b, c … appartengono alla penombra, le asserzioni Pa, Pb, Pc saranno ora vere ora false, a seconda dei raffinamenti, ma mai vere in tutti i raffinamenti.

39 Il predicato P ha così unestensione classica, perfettamente definita, in ciascun raffinamento, ma non in tutti, presi collettivamente (se così si può dire). Il predicato P ha così unestensione classica, perfettamente definita, in ciascun raffinamento, ma non in tutti, presi collettivamente (se così si può dire).

40 Se prendiamo i due enunciati penumbrali e ~, e formiamo la loro congiunzione: Se prendiamo i due enunciati penumbrali e ~, e formiamo la loro congiunzione: &~ &~ otteniamo un enunciato superfalso – propriamente una contraddizione.

41 Tuttavia: Ciascuno dei due enunciati non è né vero né falso. Ciascuno dei due enunciati non è né vero né falso. Dualità con ~ che è invece sempre vero (supervero). Dualità con ~ che è invece sempre vero (supervero).

42 C) Logica a infiniti valori Nella logica classica sono coinvolti i due soli valori: vero (0) e falso (1). Nella logica classica sono coinvolti i due soli valori: vero (0) e falso (1). Nelle supervalutazioni ci sono enunciati superveri; enunciati superfalsi ed enunciati talvolta veri e talvolta falsi. (Gli enunciati della penombra possono essere considerati privi di un valore di verità definito). Nelle supervalutazioni ci sono enunciati superveri; enunciati superfalsi ed enunciati talvolta veri e talvolta falsi. (Gli enunciati della penombra possono essere considerati privi di un valore di verità definito). Nella logica a infiniti valori, i valori di ciascun enunciato variano nellintervallo chiuso [0,1]. Nella logica a infiniti valori, i valori di ciascun enunciato variano nellintervallo chiuso [0,1].

43 1) Fa 1 2) Fa 1 Fa ) Fa Fa Fa Fa

44 Nel passaggio dalla prima premessa alle successive, la verità di ciascun enunciato diminuisce impercettibilmente, fino a trasformarsi in modo progressivo in una falsità. Nel passaggio dalla prima premessa alle successive, la verità di ciascun enunciato diminuisce impercettibilmente, fino a trasformarsi in modo progressivo in una falsità. E come se ciascun premessa, approssimandosi alla conclusione, erodesse un pezzetto di verità, fino a rendere palesemente falsa la conclusione. E come se ciascun premessa, approssimandosi alla conclusione, erodesse un pezzetto di verità, fino a rendere palesemente falsa la conclusione.

45 Problema della vaghezza affrontato da B. Russell ( ). Problema della vaghezza affrontato da B. Russell ( ). Supervalutazioni: B. C. van Fraassen (1969); K. Fine (1975). Supervalutazioni: B. C. van Fraassen (1969); K. Fine (1975). Logiche a più valori: Łukasiewicz (1920). Logiche a più valori: Łukasiewicz (1920).

46 Problemi filosofici: A) Quali sono le opzioni ontologiche legate a ciascuna delle soluzioni considerate? A) Quali sono le opzioni ontologiche legate a ciascuna delle soluzioni considerate? B) Ci sono motivi per preferire la logica classica? B) Ci sono motivi per preferire la logica classica? C) Il pluralismo in logica non apre la strada al relativismo? C) Il pluralismo in logica non apre la strada al relativismo? D) Le soluzioni del sorite che abbiamo considerato sono le sole possibili o ve ne sono altre a disposizione? D) Le soluzioni del sorite che abbiamo considerato sono le sole possibili o ve ne sono altre a disposizione?

47 Esempio: Supponiamo che Fa e ~Fa abbiano il medesimo grado di verità. Supponiamo che Fa e ~Fa abbiano il medesimo grado di verità. Fa & Fa ha il medesimo grado di verità di Fa & ~Fa. Fa & Fa ha il medesimo grado di verità di Fa & ~Fa. [Confrontare con lapproccio delle superval.] [Confrontare con lapproccio delle superval.]

48 Letteratura di riferimento: Rosanna Keefe & Peter Smith, Vagueness: A Reader, Cambridge, The MIT Press, 1999 [Paperback; 1997] Rosanna Keefe & Peter Smith, Vagueness: A Reader, Cambridge, The MIT Press, 1999 [Paperback; 1997] Timothy Williamson, Vagueness, London-New York, Routledge, Timothy Williamson, Vagueness, London-New York, Routledge, 1994.


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