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PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE Logica Matematica. PRINCIPI DELLA LOGICA ARISTOTELICA 1) A=A 2) ¬(A ¬A) 3) A v ¬A.

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1 PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE Logica Matematica

2 PRINCIPI DELLA LOGICA ARISTOTELICA 1) A=A 2) ¬(A ¬A) 3) A v ¬A

3 INDIMOSTRABILI DI CRISIPPO 1. Se p, allora q. Ma p dunque q. ( es. Se é giorno, c'é luce. Ma é giorno, dunque c'é luce) 2. Se p, allora q. Ma non q, dunque non p ( es. Se é giorno, c'é luce. Ma non c'é luce, dunque non é giorno ) 3. Non possono essere p e q insieme. Ma p, dunque non q ( es. Non può essere insieme giorno e notte. Ma é giorno, dunque non é notte ) 4. O p o q. Ma p, dunque non q ( es. O é giorno o é notte. Ma é giorno, dunque non é notte) 5. O p o q. Ma non q, dunque p ( es. O é giorno o é notte. Ma non é notte, dunque é giorno)

4 PROPOSIZIONI E CONNETTIVI Una proposizione atomica è unespressione di senso compiuto formata da un soggetto, un predicato ed eventuali complementi per la quale abbia senso chiedersi se è vera o falsa. Le proposizioni composte si ottengono da quelle atomiche tramite i connettivi: 1) v : vel (disgiunzione inclusiva) 2) : aut (disgiunzione esclusiva) 3) : se… allora… (implicazione logica) 4) <> : se e solo se (coimplicazione logica) 5) : et (congiunzione logica)

5 TAVOLA DELLE VERITÀ PQ P Q P<>Q FFFFFVV FVFVVVF VFFVVFF VVVVFVV

6 VERIFICA CON ESEMPIO Stasera vado al cinema o in pizzeria Non vado al cinema (corretto) Vado in Pizzeria Un esempio di ragionamento scorretto (detto anche paralogismo) è invece il seguente: Se la benzina finisce allora la macchina si ferma La benzina non finisce (non corretto) Allora la macchina non si ferma

7 PROBLEMINO LOGICO Antonio afferma che Barbara mente Barbara afferma che Carlo mente Carlo afferma che Antonio e Barbara mentono E facile accorgersi che Antonio non può dire il vero, altrimenti Barbara direbbe il falso, da cui Carlo direbbe il vero: Antonio e Barbara mentono. Quindi avremmo che Antonio mente e non mente, contraddizione. Quindi Antonio mente, Barbara dice il vero e Carlo mente.

8 QUANTIFICATORI In logica ci sono i quantificatori universale e esistenziale che corrispondono rispettivamente alle espressioni ogni cosa e qualcosa In simboli : :per ogni :esiste almeno un

9 CANTOR Cantor Dato un insieme X, l'insieme delle parti di X (cioè l'insieme formato da tutti i possibili sottoinsiemi di X) ha sempre cardinalità maggiore di quella di X.

10 DIMOSTRAZIONE TEOREMA DI CANTOR (DIAGONALE DI CANTOR) 1234…. PariNOSINOSI… DispariSINOSINO… PrimiNOSI NO… Multipli di 3 NO SINO… ….…………… NuovoSI NOSI Questo nuovo sottoinsieme non è corrispondente di nessun numero naturale, non si trova in alcuna riga della tabella. Sia A = N e P(A) linsieme dei sottoinsiemi di N. Si suppone, per assurdo, che esista una corrispondenza biunivoca tra gli elementi di N e i sottoinsiemi di N. Si costruisce una tabella nelle cui colonne sono inseriti i numeri naturali e nelle righe i sottoinsiemi, il primo insieme è quello dei numeri pari e così via.

11 CANTOR E LINFINITO 1.Supponiamo per assurdo che l'intervallo [0,1] sia numerabile. 2.ciò implica che gli elementi di [0,1] possono essere posti in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali dando luogo ad una successione di numeri reali {r1, r2, r3,...} che esaurisce tutti i numeri reali compresi tra 0 e 1. 3.Possiamo rappresentare ciascun numero della successione in forma decimale e visualizzare la successione di numeri reali come una matrice infinita che avrà più o meno quest'aspetto: r1 = 0, r2 = 0, r3 = 0, r4 = 0, r5 = 0, r6 = 0, r7 = 0, In realtà ci sono numeri che hanno più di una rappresentazione decimale: quelli che terminano con una sequenza infinita di 9 o di 0 ne hanno due, in tal caso conveniamo di prendere la rappresentazione che termina con 0. 4.Costruiamo un r* tale che abbia la prima cifra decimale diversa da quella r1, la seconda cifra decimale diversa da quella di r2, la terza cifra decimale diversa da quella di r3, e così via... 5.Si deduce dunque che r* non è nell'elenco mostrato, il quale aveva lo scopo di enumerare tutti i numeri reali compresi nell'intervallo [0,1]. L'intervallo in questione dunque non è numerabile e a maggior ragione non lo è R.

12 COROLLARI DEL TEOREMA Ogni insieme infinito può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio Un segmento è equipotente ad una retta Un segmento è equipotente ad un quadrato Indicata con L la cardinalità di N, linsieme delle parti di N, cioè P(N), ha cardinalità maggiore di Tale cardinalità è chiamata cardinalità del continuo. Risulta: < 2 In particolare linsieme dei numeri reali ha la cardinalità del continuo.

13 TORRI DI CANTOR …… …….. PPPPX Y PPPPY Z PPPX PPPY PPX PPY PX …….. PY X PPPPZ Y PPPZ PPZ PZ Z

14 ANTINOMIE … Paradosso del mentitore Io dico: Sto mentendo. Ho detto la verità ?? … CELEBRI Russell Consideriamo linsieme di tutti gli insiemi che non sono elementi di se stessi. Se esso è un elemento di se stesso, allora non è un elemento di se stesso. Se non lo è, lo è.

15 REALIZZATO DA… Serena Pinelli Andrea Raia Marco Preziosi Giuseppe Iodice


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