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Rappresentazione di dati numerici. © Piero Demichelis 2 Sistemi numerici Si suddividono in: ­Non posizionali : quali ad esempio il sistema di numerazione.

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1 Rappresentazione di dati numerici

2 © Piero Demichelis 2 Sistemi numerici Si suddividono in: ­Non posizionali : quali ad esempio il sistema di numerazione romano (i cui simboli sono: I, II, III, IV, V, X, L, C, D, M) oppure quello egiziano ­Posizionali : quali ad esempio il sistema arabo (decimale) e il sistema maya (ventesimale). Nei sistemi posizionali le operazioni aritmetiche risultano molto agevoli mentre in quelli non posizionali sono alquanto complicate.

3 © Piero Demichelis 3 Sistema posizionale a base fissa Nei sistemi numerici a base fissa, un numero N può essere rappresentato in uno del seguenti modi: N = d n-1 ; d n d 1 ; d 0 ; d d -m N = d n-1 · r n d 0 · r 0 + d -1 · r d -m · r -m

4 © Piero Demichelis 4 Sistemi numerici Proprietà di un sistema numerico a base fissa ­è a rango illimitato : ogni numero intero vi può essere rappresentato; ­è a rappresentazione unica : ad ogni numero intero corrisponde un solo insieme ordinato di cifre; ­è irridondante : ad ogni insieme ordinato di cifre corrisponde un solo numero non rappresentato da altri insiemi ordinati.

5 © Piero Demichelis 5 Sistema decimale r = 10 cifre: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } ­Esempio: = 1 × × × 10 0 = =

6 © Piero Demichelis 6 Sistema binario r = 2 cifre: { 0, 1 } ­Esempio: = 1 × × × 2 0 = = 5 10

7 © Piero Demichelis 7 Sistema ottale r = 8 cifre: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } ­Esempio: = 1 × × × 8 0 = = molto utile per scrivere in modo compatto i numeri binari (ad ogni 3 cifre binarie corrisponde una cifra ottale) ( ) 2 = ( ) 8

8 © Piero Demichelis 8 Sistema esadecimale r = 16 cifre: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F } ­Esempio: 101 H = 1 × × × 16 0 = = anchesso utile per scrivere in modo compatto i numeri binari (ad ogni 4 cifre binarie corrisponde 1 cifra esadecimale) ( ) 2 = ( 1 B 1 ) 16

9 © Piero Demichelis 9 Sistema base 5 r = 5 cifre: { 0, 1, 2, 3, 4 } ­Esempio: = 1 × × × 5 0 = = 26 10

10 © Piero Demichelis 10 Sistema binario Caratteristiche ­su n cifre si rappresentano 2 n numeri; ad esempio su 4 cifre: ­Prime 16 potenze del 2:

11 © Piero Demichelis 11 Sistema binario La cifra binaria è detta bit parola che deriva dallunione di due elisioni: binary digit I bit estremi di un numero binario si chiamano: MSB (Most Significant Bit) LSB (Least Significant Bit)

12 © Piero Demichelis 12 Limiti del sistema binario Poiché su n bit si rappresentano 2 n numeri, per rappresentare la stessa grandezza occorrono molte più cifre rispetto al sistema numerico decimale. bitsimbolival. minimoval. massimo ,536065, ,294,967,29604,294,967,295

13 © Piero Demichelis 13 Conversione da binario a decimale Si applica direttamente la definizione effettuando la somma pesata delle cifre binarie: = 1 × × × 2 0 = = = = =

14 © Piero Demichelis 14 Conversione da binario a decimale (2) B) Metodo consigliato: da mettendo in evidenza i fattori comuni, si ricava:

15 © Piero Demichelis 15 Conversione da binario a decimale (3) Si deduce il seguente algoritmo: 1.Si parte dalla cifra più significativa 2.Si moltiplica per la base 3.Si somma la cifra successiva 4.Si ripete da 2. fino ad arrivare a d 0 Esempio: = ((1*2+0)*2+1)*2+0 = 10 10

16 © Piero Demichelis 16 Conversione da decimale a binario N = d n-1 · r n d 0 · r 0 + d -1 · r d -m · r -m Consideriamo la sola parte intera e riscriviamo il numero binario nel modo seguente: N = d · (d · (d d n-1 )) Si può osservare che dividendo N per la base 2, si ottiene un quoziente (d 1 + r · (d d n-1 )) e un resto d 0, che costituisce proprio la cifra meno significativa del numero nella base 2. Dividendo successivamente il quoziente per la base 2 si trova ancora un quoziente e un resto d 1, che è la cifra di peso uno cercata, e così via.

17 © Piero Demichelis 17 Esempio Esempio: quozienti 1011resti d 0 d 1 d 2 d =

18 © Piero Demichelis 18 Numero di bit della rappresentazione binaria Problema: dato N 10, quanti bit (n) occorrono per rappresentarlo in base 2 ? Con n bit il massimo numero rappresentabile è: Con n-1 bit il massimo numero rappresentabile è:

19 © Piero Demichelis 19 Numero di bit della rappresentazione binaria (2) Pertanto per rappresentare un numero x tale che x 2 n -1 e x > 2 n-1 -1 occorrono n bit. Esempio: 3= < 5 < 7=2 3 -1: 5 si rappresenta su 3 bit (infatti 5 10 = ). Ora: 2 n-1 -1 < x 2 n -1 2 n-1 < x+1 2 n n-1 < log 2 (x+1) n

20 © Piero Demichelis 20 Numero di bit della rappresentazione binaria (3) n = log 2 (x+1) k = intero superiore o uguale a k In generale, per una base r: n = log r (x+1)

21 © Piero Demichelis 21 Numero di bit della rappresentazione binaria (4) Dato N, il rapporto tra cifre decimali e bit occorrenti per rappresentarlo: D / B = log 10 (N+1) / log 2 (N+1) non è costante al variare di N. Si può però osservare che: 2 10 = = bit ogni 3 cifre decimali. Questo rapporto si mantiene per un largo intervallo di valori.

22 © Piero Demichelis 22 Numero di bit della rappresentazione binaria (5) 2 10 = Kilo 2 20 = Mega 2 30 = Giga

23 © Piero Demichelis 23 Conversione da decimale a binario Dato un numero frazionario: N = a a a -m 2 -m moltiplicando N per la base 2, si ricava come parte intera la cifra a -1, cioè la prima cifra binaria. Eliminata questa parte intera, moltiplicando quanto resta ancora per 2, si ricava come parte intera a -2, ecc. Le parti intere, scritte nel medesimo ordine con cui sono state ricavate, rappresentano il numero frazionario binario cercato.

24 © Piero Demichelis 24 Esempio Regola: si moltiplica per due la parte frazionaria e si prende la cifra intera prodotta dal risultato proseguendo fino alla precisione richiesta. ­Esempio: 0.34 x x = x x ecc =

25 © Piero Demichelis 25 Per convertire un numero con parte intera e parte frazionaria, si convertono separatamente le due parti e poi si giustappongono. Esempio: = (?) = (metodo delle divisioni successive) = (metodo dei prodotti successivi) = ( ) 2

26 © Piero Demichelis 26 Conversioni tra sistemi in base qualsiasi E ovvio che le regole di conversione decimale-binario sono del tutto generali e valgono qualsiasi siano i sistemi numerici coinvolti. Ad esempio per convertire il numero decimale 365 in base 7 si divide per 7: =

27 © Piero Demichelis 27 Operazioni aritmetiche Le operazioni aritmetiche in un qualsiasi sistema numerico si possono eseguire nello stesso identico modo che conosciamo così bene per il sistema numerico decimale. Lavvertenza è solo quella di costruire la tabellina opportuna per quel particolare sistema numerico: si ricordi che la tabellina per il sistema numerico decimale ce la siamo studiata a memoria sin dallinfanzia!!!! Il nostro interesse è però particolarmente concentrato sul sistema numerico binario e sono proprio le operazioni aritmetiche in binario che affronteremo ora.

28 © Piero Demichelis 28 Somma in binario Regole base: 0+ 0=0 0+ 1=1 1+ 0=1 1+ 1=0con riporto (carry) di 1 Si effettuano le somme parziali tra i bit dello stesso peso, propagando gli eventuali riporti: = 7 =

29 © Piero Demichelis 29 Somma completa La somma completa (full addition) tiene conto del riporto per cui si sommano due bit ed un carry ottenendo come risultato un bit di somma e un bit di riporto ABCarry S Rip

30 © Piero Demichelis 30 Sottrazione in binario Regole base: 0 – 0 = 0 0 – 1 = 1con prestito (borrow) di 1 1 – 0 = 1 1 – 1 = 0 Si eseguono le sottrazioni bit a bit tenendo conto dei prestiti: = 10 =

31 © Piero Demichelis 31 Sottrazione completa Analogamente alla somma, è possibile definire la sottrazione completa (sottrazione tra due bit ed un borrow ) ABBorrow S Prest

32 © Piero Demichelis 32 Moltiplicazione in binario Il prodotto tra due numeri binari si può calcolare con la tecnica già nota per i numeri in base 10, detta della somma e scorrimento. ­Esempio: x 11 x = 5 = Nella pratica si usano accorgimenti particolari basati sulloperazione di scorrimento (shift ).

33 © Piero Demichelis 33 Divisione in binario Come per le altre operazioni applichiamo le stesse regole che usiamo col sistema decimale: ­Esempio: / 3 =

34 © Piero Demichelis 34 Loperazione di shift Equivale ad una moltiplicazione o divisione per la base. Consiste nel far scorrere i bit (a sinistra o a destra) inserendo opportuni valori nei posti lasciati liberi. In decimale equivale a moltiplicare (shift a sinistra) o dividere (shift a destra) per 10. In binario equivale a moltiplicare (shift a sinistra) o dividere (shift a destra) per 2.

35 © Piero Demichelis 35 Shift a sinistra Si inserisce come LSB un bit a zero Equivale ad una moltiplicazione per due 0011 « 1 = 0110 ( 3 2 = 6 ) 0011 « 2 = 1100 ( = 12 ) 0011 « 3 = ( = 24 ) « 1 (shift a sinistra di 1 posizione) 0

36 © Piero Demichelis 36 Shift a destra Si inserisce come MSB un bit a zero Equivale ad una divisione per due 0110 » 1 = 0011( 6 : 2 = 3 ) 0110 » 2 = 0001( 6 : 4 = 1 ) t roncamento! » 1 (shift a destra di 1 posizione) 0

37 © Piero Demichelis 37 Moltiplicazioni Una qualsiasi moltiplicazione tra due numeri può essere trasformata in una serie di shift e di somme, operazioni che vengono eseguite molto velocemente dai microprocessori. Ad esempio il prodotto 14 x 13 diventa: 14 · 13 = 14 · ( ) = 14 · · · = « « =

38 © Piero Demichelis 38 Limiti della rappresentazione Quando scriviamo sulla carta non ci preoccupiamo quasi mai della grandezza dei numeri (a meno di particolari necessità). Nelle macchine numeriche un numero deve essere rappresentato in un particolare dispositivo elettronico interno che si chiama registro ed è paragonabile ad una cella di memoria. Caratteristica fondamentale di questo dispositivo è la sua dimensione (numero di bit) stabilita in sede di progetto: ovvero in un elaboratore potremo rappresentare solo una quantità limitata di numeri.

39 © Piero Demichelis 39 Limiti della rappresentazione Ad esempio se il nostro contenitore (registro) è lungo 5 bit: potremo rappresentare solamente i numeri binari compresi tra e Inoltre dovremo in qualche modo introdurre il segno dei numeri!

40 © Piero Demichelis 40 I numeri con segno Oltre al problema relativo al valore del numero bisogna trovare il modo di rappresentare il segno. Il segno dei numeri può essere solo di due tipi: positivo ( + ) negativo ( - ) Sembrerebbe quindi facile rappresentarlo in binario, tuttavia la soluzione più semplice (1 bit riservato al segno) non è sempre conveniente. Per tener conto del segno anziché il sistema numerico binario si utilizzano dei codici binari che hanno tuttavia come base, ovviamente, il sistema numerico binario.

41 © Piero Demichelis 41 Modulo e segno Su N bit, un bit è destinato al segno (in binario 0 = +, 1 = -) e N-1 bit al valore assoluto (anche detto modulo) S modulo E un codice che ricorda molto il nostro modo di rappresentare i numeri sulla carta. Presenta però gravi svantaggi dovuti alla doppia rappresentazione dello zero (esistono e sono leciti infatti sia + 0, che - 0) e alla complessità delle operazioni aritmetiche.

42 © Piero Demichelis 42 Modulo e segno Esempi - usando una codifica su quattro bit: MS MS Si ha una doppia rappresentazione dello zero: 0000 MS MS 0 10 In generale su N bit sono rappresentabili i valori: - ( 2 N ) x + ( 2 N ) 8 bit=> [ -127 ÷ +127 ] 16 bit=> [ ÷ ]

43 © Piero Demichelis 43 Complemento a 1 Considerando numeri binari di n bit, si definisce complemento a uno di un numero A la quantità: A = 2 n - 1 – A Viene anche detto semplicemente complemento. Regola pratica: il complemento a uno di un numero binario A si ottiene cambiando il valore di tutti i suoi bit (complementando ogni bit) ­Esempio: A = 1011 A 0100

44 © Piero Demichelis 44 Complemento a 2 Considerando numeri binari di n bit, si definisce complemento a due di un numero A la quantità: A = 2 n – A Regola pratica: il complemento a due di un numero binario A si ottiene sommando uno al suo complemento (a uno) ­Esempio: A = 1011 A = 0100 A 0101

45 © Piero Demichelis 45 Complemento a 2 E usato per rappresentare numeri relativi: ( A 0 )0 A 2 (= A MS ) ( A < 0 )complemento a 2 di A In questo modo lMSB indica il segno: 0 = +, 1 = - Regola alternativa per la determimazione del complemento a due: si parte da destra, si lasciano inalterati tutti gli zeri fino al primo uno che si lascia inalterato, si complementano tutti gli altri bit Esempio: A = ; A =

46 © Piero Demichelis 46 Complemento a 2 Esempio - usando una codifica su 4 bit: ( 3 2 ) 0011 CA CA2 In generale su N bit sono rappresentabili i valori: - ( 2 N-1 ) x + ( 2 N ) 8 bit=> [ -128 ÷ +127 ] 16 bit=> [ ÷ ]

47 © Piero Demichelis 47 Somma e sottrazione in complemento a 2 La somma si effettua direttamente, senza badare ai segni degli operandi, come fossero due normali numeri binari. La sottrazione si effettua sommando al minuendo il complemento a 2 del sottraendo: A – B A + (- B) ovvero: A + B Esempio: = - 12 =

48 © Piero Demichelis 48 Overflow Si usa il termine overflow per indicare lerrore che si verifica in un sistema di calcolo automatico quando il risultato di unoperazione non è rappresentabile con la medesima codifica e numero di bit degli operandi. Nella somma in binario puro si ha overflow quando si opera con un numero fisso di bit e si genera un riporto (carry) sul bit più significativo (MSB, quello più a sinistra). Esempio: somma tra numeri di 4 bit in binario puro = overflow!

49 © Piero Demichelis 49 Overflow in complemento a 2 1.Operandi con segno discorde: ­non si può mai verificare overflow!!!!! 2.Operandi con segno concorde: ­cè overflow quando il risultato ha segno discorde da quello dei due operandi 3.In ogni caso, si trascura sempre il carry (riporto) oltre il MSB Esempi: = = = overflow! carry, risultato OK

50 © Piero Demichelis 50 Fixed-point Si usa un numero fisso di bit per la parte intera e per quella frazionaria (e non si rappresenta la virgola!) Ad esempio (4 + 4 bit, binario puro): = = virgola sottintesa

51 © Piero Demichelis 51 Fixed-point Vantaggi: ­gli operandi sono allineati per cui le operazioni aritmetiche risultano facili ed immediate; ­la precisione assoluta è fissa Svantaggi: ­lintervallo di valori rappresentati è assai modesto ­la precisione dei numeri frazionari rappresentati molto scarsa Utilizzo tipico: ­DSP (Digital Signal Processor) ­Sistemi digitali per applicazioni specifiche (special-purpose) ­Numeri interi nei calcolatori

52 © Piero Demichelis 52 Rappresentazione di numeri interi A causa dellestrema semplicità che presentano le operazioni aritmetiche in complemento a 2, in tutte le macchine numeriche i numeri interi vengono rappresentati in questo codice. Il numero di bit utilizzati dipende dalla macchina: si tratta generalmente di 16 bit (interi corti) o 32 bit (interi lunghi). La rappresentazione è nota col nome di fixed-point e il punto frazionario è supposto allestrema destra della sequenza di bit (parte frazionaria nulla).

53 © Piero Demichelis 53 Rappresentazione di numeri reali Le rappresentazioni fin qui considerate hanno il pregio di rappresentare esattamente i numeri (almeno quelli interi) ma richiedono un numero di bit esorbitante quando il numero da rappresentare ha valore elevato. La rappresentazione dei numeri frazionari che deriva dai codici precedenti, ovvero in fixed point, a causa delle forti approssimazioni che impone è usata raramente. Generalmente viene utilizzato un apposito codice noto come floating point che consente di rappresentare in un numero limitato di bit grandezze di qualsiasi valore anche se condizionate da approssimazioni più o meno elevate.

54 Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 54 A. Valenzano Rappresentazione di numeri in floating point Realizza un compromesso tra l'intervallo dei valori rappresentati e la precisione della rappresentazione. Utilizza una notazione del tipo mantissa + esponente dove il numero di bit dedicati alla mantissa influisce sulla precisione all' esponente influisce sull' ampiezza dell'inter-vallo di valori rappresentabili

55 Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 55 A. Valenzano La notazione scientifica Numeri in virgola fissa su 6 cifre decimali. Intervallo esprimibile: ( 10 6 ) Numeri in notazione scientifica su 6 cifre. Forma: X.YYY 10 WW Dove la parte intera X esprime la quantità, il numero di cifre della parte frazionaria YYY la precisione, lesponente WW lordine di grandezza.

56 Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 56 A. Valenzano La notazione scientifica (2) Intervallo di valori espressi: 0 ( ) ( ) Con 6 cifre, si rappresentano sempre 10 6 numeri differenti, ma –Nella rappresentazione in virgola fissa, sono equispaziati –Nella rappresentazione in virgola mobile, non sono distribuiti uniformemente: vicino allo zero, i numeri differiscono di ; vicino al valore massimo, differiscono di =

57 Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 57 A. Valenzano Standard IEEE P754 Definisce i formati per la rappresentazione dei numeri in virgola mobile ma anche: le conversioni tra formati floating point differenti; le conversioni tra numeri f. p. ed interi o numeri rappresentati in codice BCD; i risultati delle operazioni aritmetiche; i metodi di trattamento di situazioni di eccezione (es. divisione per zero, errori di overflow, under-flow etc.).

58 Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 58 A. Valenzano Single basic format P754 (32 bit) I numeri sono pensati nella forma normalizzata: X = (-1) s (1.m)2 e dove: s è il bit di segno; e è l'esponente rappresentato in codice eccesso 127 (cioè esponente vero + 127) su 8 bit ( -126 e 127);

59 Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 59 A. Valenzano Single basic format P754 (32 bit) m è la mantissa rappresentata in forma normalizzata su 23 bit in modo che il primo bit abbia peso 2 -1 ;(il bit 2 0 sempre uguale a 1 non viene rappresentato ed è detto hidden bit) Esempio: va trasformato nella forma normalizzata: =

60 Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 60 A. Valenzano Struttura della rappresentazione single basic format sem = = *2 3 s = 0 e = m = Esempio: rappresentare in P754 s.b.f

61 Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 61 A. Valenzano Caratteristiche della rappresentazione P754 su 32 bit Range della rappresentazione: si considerano i valori assoluti dei numeri normalizzati rappresentabili: N max = ·2 127 = 3.4 · N min = · = 1.17 · Precisione della rappresentazione: due valori rappresentabili e consecutivi differiscono per 2 e-23 dove e è lesponente vero (non in codice eccesso 127) Numero massimo di valori rappresentabili: 2 32

62 Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 62 A. Valenzano Distribuzione dei numeri in f.p * * * * numeri

63 Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 63 A. Valenzano Interpretazione di un numero f.p. Sia s il bit del segno, e lesponente, f la parte frazionaria. Se e = 0 ed f = 0, il valore è (-1) s 0, cioè +0 oppure -0 Se e = 0 ed f 0, è una forma denormalizzata (esempio: si possono rappresentare gli interi su 23 bit, ecc.)

64 Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 64 A. Valenzano Interpretazione di un numero f.p. (2) Se 0 < e < 255, è una forma normalizzata e il valore è (-1) s (1.f) 2 (e-127) Se e = 255 ed f 0, si rappresenta (-1) s ( ) cioè un numero infinitamente grande o infinitamente piccolo

65 Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 65 A. Valenzano Interpretazione di un numero f.p. (3) Se e = 255 ed f = 0, non si tratta di un numero valido (not a number, NAN): permette di codificare condizioni particolari, quali operazione non valida, overflow, ecc.

66 Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 66 A. Valenzano Operazioni in f.p. Gli operandi sono da riportare nella forma: 1.xxxxx…x 2 a 1.yyyyy…y 2 b dove a e b sono gli esponenti eccesso 127 SOMMA – SOTTRAZIONE Si eseguono le operazioni con gli algoritmi del modulo e segno.

67 Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 67 A. Valenzano Operazioni in f.p. (2) Si devono allineare i numeri rispetto al punto decimale, riportandoli allo stesso esponente. Si fa scorrere a destra il valore minore (in modulo) di un numero di posizioni pari alla differenza degli esponenti. La differenza degli esponenti si può fare direttamente sui valori eccesso 127: (a+127)-(b+127) = a-b. Lesponente del risultato è quello del modulo maggiore. Potrebbe essere richiesta una ri- normalizzazione del risultato.

68 Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 68 A. Valenzano Operazioni in f.p. (3) PRODOTTO Si sommano gli esponenti normalizzati e si sottrae 127: (a+127) + (b+127) = (a+b+127)+127. Si moltiplicano le mantisse di 24 bit, ottenendo il prodotto su 48 bit: il risultato deve essere troncato ai 24 bit più significativi (precisione di ). Può essere richiesta una ri- normalizzazione: 1.x… 1.y… < = 4

69 Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 69 A. Valenzano Operazioni in f.p. (4) DIVISIONE Si sottraggono gli esponenti normalizzati e si somma 127: (a+127) - (b+127) = (a-b). Il dividendo, di 24 bit, si estende a 48 bit, inserendo zeri a destra, e si divide per il divisore, di 24 bit: il risultato, di 24 bit, ha la precisione di Può essere richiesta una ri- normalizzazione.

70 Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 70 A. Valenzano Osservazioni sul f.p. I risultati delle operazioni in f.p. possono dipendere dallordine di esecuzione. Esempio e danno risultati diversi.

71 Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 71 A. Valenzano Osservazioni sul f.p. (2) In generale, in f.p. vale a + b = a se a / b > Esempio: non ha senso incrementare di uno un valore positivo a se a è molto maggiore di 1.

72 © Piero Demichelis 72 Floating-point E basata sul formato esponenziale (notazione scientifica) N = mantissa base esponente ­Ricorda le notazioni: standard 3.5 × E+4 scientifico 0.35 × E+5 Nei sistemi di elaborazione ­Base = 2 ­Mantissa ed esponente sono rappresentati in binario

73 © Piero Demichelis 73 Floating-point Vantaggi: ­grande intervallo di valori rappresentabili ­errore relativo fisso Svantaggi: ­operandi non allineati per cui le operazioni aritmetiche risultano molto complesse ­errore assoluto variabile e dipendente dal valore del numero E la rappresentazione utilizzata da tutti i calcolatori elettronici per rappresentare i numeri frazionari ed è stata standardizzata dallIEEE.

74 © Piero Demichelis 74 Formato IEEE-P754 Standard IEEE per il floating-point: ­Rappresentazione binaria di mantissa esponente segno Singola precisione: 32 bit ( float ) Doppia precisione: 64 bit ( double ) 23 bit8 bit esponentesegnomantissa 1 bit 52 bit 11 bit esponentesegnomantissa 1 bit precisione: circa 7 cifre decimali precisione: circa 17 cifre decimali

75 © Piero Demichelis 75 Overflow e Underflow A causa della precisione variabile è possibile avere errori di rappresentazione: ­numeri troppo grandi: overflow ­numeri troppo piccoli: underflow Esempio: IEEE P overflow underflow

76 © Piero Demichelis 76 Rappresentazioni di dati non numerici Qualunque insieme finito di oggetti può essere codificato tramite valori numerici associando ad ogni oggetto un codice (ad esempio un numero intero). Nel sistema numerico binario per rappresentare K oggetti distinti occorre un numero minimo di bit pari a: N = log 2 K

77 © Piero Demichelis 77 Caratteri E sicuramente il tipo di informazione più scambiata: occorre pertanto una codifica standard. ­la più usata fa riferimento al codice ASCII (American Standard Code for Information Interchange) ­in passato era molto diffuso il codice EBCDIC (Extended BCD Interchange Code) ­codice UNICODE

78 © Piero Demichelis 78 Codice ASCII E usato anche nelle telecomunicazioni. Usa 8 bit per rappresentare: ­i 52 caratteri alfabetici ( a ÷ z, A ÷ Z ) ­le 10 cifre ( 0 ÷ 9 ) ­i segni di interpunzione (,;:!?&%=+-/ ecc.) ­un gruppo di caratteri di controllo tra cui: CR( 13 )Carriage Return LF,NL( 10 )New Line, Line Feed FF,NP( 12 )New Page, Form Feed HT( 9 )Horizontal Tab VT( 11 )Vertical Tab NUL( 0 )Null BEL( 7 )Bell EOT( 4 )End-Of-Transmission

79 © Piero Demichelis 79 Codice ASCII Ad esempio per rappresentare il messaggio Auguri a tutti! è necessaria la seguente sequenza: A spazio u t g u u t r t i i spazio ! a

80 Fine Rappresentazione dei dati


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