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M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI1 Circuiti magnetici Nei problemi relativi ai circuiti elettrici si richiede di determinare la differenza di potenziale.

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1 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI1 Circuiti magnetici Nei problemi relativi ai circuiti elettrici si richiede di determinare la differenza di potenziale V e le correnti I nei diversi rami e elementi della rete elettrica dovute alla presenza di generatori di tensione e di corrente. Analogamente i problemi relativi ai circuiti magnetici riguardano la determinazione dei flussi magnetici Φ e intensità di campi magnetici H nelle diverse parti dei circuiti causate dalle correnti che circolano negli bobine avvolte intorno ai nuclei magnetici (amperspire). 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI (ultima modifica 05/01/2012)

2 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI2 Circuiti magnetici Un circuito elettrico è un insieme opportunamente coordinato di materiali elettrici, avente lo scopo di stabilire un determinato andamento (o percorso) della corrente elettrica I, generata da una adeguata f.e.m. E ( forza elettro-motrice) analogamente un circuito magnetico è un insieme opportunamente coordinato di materiali magnetici, avente lo scopo di stabilire un determinato andamento (o percorso) del flusso magnetico indotto generato da una adeguata f.m.m. NI (forza magneto-motrice)

3 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI3 Circuiti magnetici con percorsi delle linee di flusso principale che si svolgono nel ferro e nei traferri.

4 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI4 Per esempio problemi relativi ai circuiti magnetici si hanno nei: Trasformatori Generatori Motori Relays Dispositivi di registrazione magnetica Lanalisi dei circuiti magnetici è basata su le due equazioni fondamentali generali della magnetostatica:

5 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI5 Facendo lintegrale superficiale della relazione: e applicando il teorema di Stokes, si ottiene la legge della circuitazione di Ampere. Se NI sono le amperspire concatenate con un tubo di flusso di un circuito, applicando il teorema della circuitazione ad una linea l del vettore contenuta nel tubo, si ha: f m m è chiamata forza magneto motrice (f.m.m.), si misura in [A] o [As] (amperspire) ed è analoga alla forza elettromotrice (fem) in un circuito elettrico.

6 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI6 Convenzioni di segno: regola di Maxwell La corrente che circola in una spira crea un campo magnetico le cui linee di forza si chiudono su se stesse intorno alla corrente che le produce. La linea di forza che passa per il centro della spira è tangente allasse della spira. Il verso positivo nellasse dellinduttore é quello in cui avanza una vite destrogira, che ruota nel verso positivo di percorrenza della corrente nella spira: I + I + I + I

7 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI7 Per un tubo di flusso di sezione elementare dS: Se il tubo di flusso è di sezione finita S e se si può assumere B costante: dove è la riluttanza magnetica e è la permeanza magnetica.

8 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI8 Si noti lanalogia con la relazione, valida per un conduttore metallico, che lega le grandezze del campo elettrico: è la resistenza e è la conduttanza. Tali relazioni sono analoghe a quelle ottenute per un circuito magnetico, che legano le grandezze del campo magnetico:

9 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI9 Circuito elettrico Circuito magnetico l lunghezza del circuito E I + S sezione circuito realizzato con materiale conduttore di resistività Legge di Ohm E=RI con R= ρ (l*/S*) resistenza elettrica NI Legge di Hopkinson NI= con = 1/ (l/S) Riluttanza Magnetica S* sezione del toro magnetico realizzato in materiale ferromagnetico con permeabilità l* lunghezza media della linea di forza

10 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI10 Se si può ritenere che tutto il flusso sia incanalato dentro il tubo di flusso di sezione S, la riluttanza diventa uguale a: e la relazione precedente diventa: I circuiti magnetici possono essere analizzati applicando gli stessi principi e legge validi per i circuiti elettrici, dove per le analogie esistenti tra i due circuiti, le grandezze corrispondenti sono: Circuiti magnetici Circuiti elettrici f m m = NI [As] E [V] [Wb/m 2] I [A] [H -1 ]R [ ] [H/m] [S/m]

11 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI11 Per il teorema della circuitazione e lirrotazionalità del vettore induzione magnetica, sono deducibili i principi fondamentali per i circuiti magnetici, analoghi ai principi di Kirchhoff per le reti elettriche: che affermano che : * la somma algebrica di tutti i flussi magnetici che attraversano un nodo in un circuito magnetico è nulla e che ** lungo un percorso chiuso in un circuito magnetico la somma algebrica delle amperspire è uguale alla somma algebrica dei prodotti delle riluttanze per i relativi flussi.

12 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI12 Malgrado lanalogia formale delle formule dei principi di Kirchhoff per i due circuiti, occorre sottolineare una importante differenza rispetto ai circuiti elettrici. Infatti nei materiali ferromagnetici la permeabilità è funzione della induzione:, mentre la conduttività γ è indipendente dalla densità di corrente J:

13 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI13 Quindi la formula ** ( II° principio di Kirchhoff per le maglie) non può essere utilizzata per risolvere il problema diretto del calcolo del flusso corrispondente ad una certa f.m.m. NI, essendo μ indeterminato. Per risolvere il problema diretto : vengono calcolati una serie di valori della f.m.m., per prefissati valori del flusso ; si riportano le coppie dei valori in un grafico che rappresenta la caratteristica di magnetizzazione totale del circuito magnetico, che è specifica per ciascun circuito e può essere utilizzata: 1) per la risoluzione del problema diretto: noto il valore (NI) * determinare * (per interpolazione ); oppure 2) per la risoluzione del problema inverso: noto ** determinare (NI) **.

14 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI14 Comportamento dei materiali magnetici I materiali magnetici possono essere grossolanamente classificati in tre gruppi principali in base al loro valore di permeabilità relativa r o della m suscettività magnetica:. Un materiale si chiama: Diamagnetico se r < 1 ( m è un num. negativo molto piccolo), Aria o Vuoto con r < 1 Paramagnetico se r > 1 ( m è un num. positivo molto piccolo), Ferromagnetico se r >> 1 ( m è un num. positivo molto grande), ricordando la relazione costitutiva per i materiali omogenei ed isotropi: Questa classificazione dipende 1. in parte dal momento di dipolo magnetico degli atomi del materiale e 2. in parte dalla interazione tra gli atomi.

15 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI15 Il diagramma delle caratteristiche magnetiche dei diversi tipi di materiali elencati sarà: Diamagnetico se r < 1 Vuoto e Aria se r = 1 [B = 0 · H= · H = 1, · H ] Paramagnetico se r > 1 Ferromagnetico se r >> 1

16 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI16 Diamagnetismo Il diamagnetismo è la proprietà della maggioranza delle sostanze conosciute di essere respinte, anziché attratte da una calamità. Sono diamagnetici: loro, lantimonio, il bismuto, mercurio, argento bismuto, alcool etilico, rame, diossido di carbonio, azoto. Esso è principalmente dovuto al movimento orbitale degli elettroni allinterno di un atomo e come tale è comune a tutte i materiali. In assenza di un campo magnetico esterno, le correnti microscopiche associate al moto degli elettroni nell'atomo danno luogo a momenti magnetici che si compensano, con il risultato che nella maggior parte dei casi l'atomo non presenta momento magnetico.

17 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI17 Quando agisce un campo magnetico esterno, il moto degli elettroni viene perturbato e compare un debole momento magnetico che è opposto al campo esterno. In base a tale fenomeno si può affermare che il diamagnetismo é presente in tutte le sostanze, ma può essere mascherato da effetti predominanti. Si può verificare che una baretta (rod) di materiale diamagnetico in presenza di un campo magnetico si dispone in direzione perpendicolare alla direzione delle linee di flusso del campo:

18 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI18 Materiali diamagnetici non sono magneticamente permeabile come l'aria o il vuoto, ossia le linee di forza magnetiche non possono penetrare materiali diamagnetici così facilmente come possono penetrare l'aria o il vuoto. Questi materiali sono in realtà respinti dai campi magnetici. Quando una barretta di materiale diamagnetico è posta in un campo magnetico, tende ad allinearsi perpendicolarmente alla direzione delle linee di campo magnetico, o linee di forza. Infatti, il termine diamagnetico deriva dalle parole greche che significano magnetico di traverso (across magnetic.) Poichè le forze diamagnetiche sono molto deboli, la loro forza repulsiva da sola può mantenere in sospensione solo gli oggetti più leggeri. Ma in presenza di un forte campo magnetico, invece, alcuni materiali diamagnetici come bismuto, argento e grafite hanno una forza repulsiva abbastanza elevata da mantenere sospeso il proprio peso.

19 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI19 Paramagnetismo Il paramagnetismo è la proprietà caratteristica di alcune sostanze che presentano permeabilità magnetica assoluta costante e poco maggiore di quella del vuoto ( r poco maggiore di 1). Il paramagnetismo è dovuto principalmente ai momenti dei magnetici dovuti allo spin degli elettroni ( movimento rotatorio su se stessi). Le sostanze paramagnetiche vengono leggermente attratte da una calamita. Sono sostanze paramagnetiche: alluminio, platino, manganese, cromo, palladio oltre alle loro leghe e sali disciolti e gas come lossigeno e laria.

20 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI20 Il paramagnetismo si riscontra in quei materiali che presentano condizioni di asimmetria per cui i loro atomi o le loro molecole manifestano un momento magnetico intrinseco. A causa dell'agitazione termica il momento magnetico medio è nullo, tuttavia sotto l'azione di un campo magnetico esterno si verifica un fenomeno di parziale orientazione delle molecole con la comparsa di un momento magnetico risultante concorde al campo esterno, ma comunque di piccola intensità. Si può verificare che una baretta (rod) di materiale diamagnetico in presenza di un campo magnetico si dispone in dirazione perpendicolare alla direzione delle linee di flusso del campo:

21 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI21 Materiali paramagnetici hanno una permeabilità magnetica leggermente maggiore dellaria o del vuoto, una proprietà che li induce ad essere debolmente attratti dai campi magnetici. Quando una barretta di materiale paramagnetico è posta in un campo magnetico, si allinea con le linee di forza, in direzione parallela. Il termine paramagnetico deriva dalle parole greche che significano (alongside magnetic) lungo il fianco magnetico.

22 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI22 Ferromagnetismo Proprietà di alcune sostanze allo stato puro o in lega, di presentare, quando siano sottoposte allazione di un campo magnetico, permeabilità magnetica variabile e proporzionale al campo stesso (fenomeno dellisteresi). Sono materiali ferromagnetici: il ferro, il cobalto, il nichel e le leghe come le leghe nichel-ferro, acciaio fuso, lamiere di acciaio dolce, lamiera al silicio, numetal (lega con nichel, rame cromo e manganese). Studiando il reticolo cristallino si ha che quando i momenti elementari degli elettroni e degli atomi che compongono tali materiali presentano una orientazione privilegiata dovuta alla presenza di un campo magnetico, la somma di tutti i momenti elementari raggiunge valori notevoli.

23 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI23 La maggior parte di essi presentano un campo magnetico residuo una volta cessato il campo magnetico esterno, e alcuni si trasformano in magneti permanenti (acciai al carbonio, al tungsteno, al cobalto al Ni-Co, Ferrite di Bario). Il comportamento ferromagnetico è strettamente legato alla temperatura. Se la temperatura aumenta sensibilmente, aumenta con essa lagitazione termica degli ioni alterando tutta la struttura cristallina cosi che i momenti magnetici non sono più orientati e il materiale passa allo stato paramagnetico. La temperatura caratteristica di questo passaggio è detta punto di Curiè ed è molto elevata (per il ferro vale 775°)

24 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI24 Materiali ferromagnetici sono molto più permeabili magneticamente rispetto allaria e al vuoto. Analogamente a come si comportano le barrette di materiale paramagnetico in presenza di un campo magnetico, le barrette di materiali ferromagnetico si dispongono nella direzione del campo magnetico o a fianco alle linee di flusso del campo magnetico. Tuttavia, i materiali ferromagnetici sono fortemente attratti da campi magnetici e possono essere magnetizzati facilmente per cui essi sono classificati separatamente dai paramagnetici. La parola ferro, contenuta nel termine ferromagnetico è derivato dalla parola latina ferrumusata per definire il metallo ferro, ma sono ferromagnetici anche il nichel, cobalto, e varie leghe di questi metalli.

25 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI25 Per determinare sperimentalmente la funzione B = f(H) si può operare su un provino toroidale: G galvanometro balistico C convertitore A amperometro V generatore di tensione in c.c. R v resistenza variabile G R C A RvRv V I + N1N1 N2N2 Provino Toroidale

26 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI26 Variando R varia la costante I 1 nelle spire N 1 e con lamperometro è possibile misurare I 1. Applicando il teorema della circuitazione lungo il cerchio direttore l 0 del provino di materiale ferromagnetico: Per ciascun valore di I 1 si leggono negli strumenti i valori di I 1 e B 1 e si calcola H 1. Le prove vanno eseguite anche per I 1 = 0 per cui H 1 = 0 e invertendo le polarità della corrente con il convertitore, per ottenere valori negativi di I.

27 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI27 Le grandezze magnetiche variano secondo landamento riportato nel grafico: Si noti che: quando la corrente I 1 = 0 H 1 = 0, ma B 1 0, ovvero B 1 = B r : è presente un magnetismo residuo; per annullare linduzione residua B, occorre applicare u campo inverso, applicando una corrente di segno contrario e aumentandola sino a che B=0, ossia H = -H c. B [T] Hc Br H [As/m]

28 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI28 B r é linduzione residua H c è il campo necessario ad annullare il magnetismo residuo e si chiama forza coercitiva. I magneti permanenti sono caratterizzati da un elevato valore di induzione residua B r e di forza coercitiva H c. Dallesame del grafico si comprende come non è costante. Infatti essendo nel primo e nellultimo tratto della curva, μ è costante (andamento rettilineo); mentre in corrispondenza del ginocchio della curva di isteresi, μ (pendenza della curva) varia punto per punto.

29 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI29 Per ottenere una determinata f m.m. si può utilizzare lenergia elettrica fornita da un certo numero di spire N attraversate dalla corrente I: oppure si può inserire nel circuito magnetico un tronco di magnete permanente (m.p.) in grado di fornire la f.m.m. richiesta. Tale f.m.m. impressa A è ceduta dal magnete permanente, che è stato sottoposto precedentemente ad un ciclo di isteresi e ha così accumulato energia magnetica. Occorre considerare tale energia con il segno negativo per tener conto del fatto che lenergia è fornita dal sistema e non da un sistema esterno. La relazione diventa:. NI A S

30 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI30 Tale retta, che esprime il teorema della circuitazione ci consente di determinare il punto di lavoro P del magnete, come intersezione della caratteristica del magnete permanente nel tratto della relativo alla smagnetizzazione (H negativo), e della retta: P B H

31 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI31 Condizioni al contorno per i campi magnetostatici Se il vettore attraversa una superficie di separazione di due mezzi quando nessuno dei due é un conduttore perfetto, si ha una rifrazione delle linee di o di : Applicando le equazioni fondamentali generali della magnetostatica è possibile determinare le componenti normale e tangenziale del campo nei due mezzi. 1 H1H H2H2

32 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI32 Dalla I° equazione:, applicando il teorema della divergenza a un volume elementare cilindrico V disposto in corrispondenza della interfaccia, come per i campi elettrostatici per la densità di corrente: dove V è il volume racchiuso dalla superficie A elementare disposta in corrispondenza della interfaccia dei due materiali. Trascurando i contributi sulla superficie laterale del cilindro elementare, si può facilmente dimostrare che: B 1n =B 2n [T] e 1 H 1n = 2 H 2n [A/m]

33 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI33 Considerando anche II° equazione, espressa in forma integrale applicando il teorema di Stokes, si ottiene la seconda condizione al contorno per le componenti del campo magnetostatico, infatti: Infatti per il teorema di Stokes: Calcolando lintegrale lineare lungo un percorso elementare chiuso che passi per entrambi i mezzi e trascurando i contributi relativi ai tratti di percorso normali alla interfaccia, si ottiene: H t1 -H t2 =J sm [A/m] ossia la componente tangenziale del campo H è discontinua lungo una interfaccia, quando sono presenti correnti sulla superficie.

34 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI34 H t1 -H t2 =J sm [A/m] Se la densità di corrente superficiale è uguale a zero: H t1 -H t2 =0 [A/m] La componente tangenziale di è continua attraverso il contorno di quasi tutti i mezzi fisici. La componente tangenziale di è discontinua se il mezzo presenta una interfaccia con un conduttore e solo quando questo è attraversato da correnti elettriche.

35 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI35 Quando la densità di corrente superficiale è uguale a zero, esssendo: B= H B 1n = B 2n [T] 1 H 1n = 2 H 2n [A/m] ed essendo H t1 -H t2 =0 [A/m]

36 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI36 Se la densità di corrente è nulla, il campo attraversando una superficie di separazione tra due mezzi con permeabilità, forma un angolo 2 con la normale alla superficie che diminuisce ( 2 < 1 ) passando da un mezzo a permeabilità 1 ad un mezzo a permeabilità 2, ciò comporta che: 2 < 1, ossia la direzione del campo in un punto di una interfaccia, tende ad avvicinarsi alla direzione della normale alla superficie in quel punto, passando in un mezzo a permeabilità più bassa.

37 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI37 In particolare se il mezzo 1 non è un materiale magnetico (come laria) e il mezzo 2 é ferromagnetico (come il ferro) 2 >> 1, e per la relazione: 2 sarà prossimo a 90°. Ciò significa che per angolo arbitrario di incidenza del campo 1, il campo magnetico nel mezzo ferromagnetico diventa quasi parallelo alla interfaccia, essendo 2 >> 1. Se il mezzo 1 é ferromagnetico e il mezzo 2 é aria 2 << 1, risulta che 2 sarà circa uguale a zero e tan 2 =90°; cioé se il campo magnetico passa da un mezzo ferromagnetico allaria, le linee di flusso assumono nellaria una direzione quasi normale alla interfaccia.

38 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI38 a) Campo magnetico preesistente B/μ 0 e campo campo magnetico prodotto dal corpo ferromagnetico M b) Campo risultante deviato dal campo indotto M

39 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI39 Induttanze e induttori Si considerano due circuiti elementari C 1 e C 2 costituiti da due spire chiuse poste in vicinanza luna rispetto allaltra come riportato in figura: Se una corrente I 1 circola in C 1, un campo magnetico si concatena con C 2, passando attraverso la superficie S 2 delimitata dal contorno C 2. C1C1 C2C2 I1I1

40 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI40 Si definisce il flusso indotto dalla corrente I 1 sul circuito C 2 come flusso mutuo 12 : Dalla fisica si sa che una corrente variante nel tempo I 1 (e quindi un flusso variante 12 *** ) produce una forza elettromotrice o tensione indotta in C 2, calcolabile con la legge della induzione elettromagnetica di Faraday : _____________________________________________________ *** Il flusso 12 esiste anche quando I 1 è una corrente costante in regime permanente, ma essendo costante non induce una forza elettromotrice o tensione indotta

41 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI41 In base alla legge di Biot-Savart, B 1 é direttamente proporzionale a I 1, quindi anche 12 sarà proporzionale a 12 : 12 =L 12 I 1 dove L 12 è chiamata mutua induttanza tra le spire C 1 e C 2, e si misura in henry. Se C 2 ha N 2 spire il flusso concatenato c12 dovuto a 12 è: c12 = N 2 12 per cui lespressione generalizzata del flusso concatenato sarà: c12 =L 12 I 1 [Wb] e la mutua induttanza tra i due circuiti sarà pari al flusso magnetico concatenato con un circuito quando una corrente unitaria circola nellaltro:

42 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI42 Nelle espressioni del flusso è implicito che la permeabilità del mezzo non cambi con la corrente, ossia che il mezzo sia lineare. La definizione più generale di L 12 è: dove c12 rappresenta laliquota del flusso magnetico prodotto da I 1 che si concatena con la bobina C 2. Il flusso totale concatenato con C 1 dovuto alla corrente I 1 è: c11 = N 1 c11 > N 1 12 da cui, lautoinduttanza della spira C 1, per un mezzo lineare, è definita come il flusso magnetico concatenato per unità di corrente nella spira stessa:

43 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI43 Reciprocamente quando il circuito inducente è C 2 e quello indotto è il numero C 1, il coefficiente di mutua induzione é: e il coefficiente di autoinduzione è: Si dimostra come L 12 = L 21 =M, essendo M il coefficiente di mutua induzione o mutua induzione, ossia il rapporto tra flussi concatenati e le rispettive correnti.

44 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI44 Quando si ha un accoppiamento perfetto per cui i flussi dispersi sono nulli, ossia quando i flussi mutuamente concatenati coincidono con i flussi totali, (bobine concentriche perfettamente serrate), risulta che: 1d = c11 - c12 =0 e 2d = c22 - c21 =0 per cui: c11 = c12+ 1d con 1d =0 e c22 = c21+ 2d con 2d =0 si ha: Moltiplicando le due relazioni membro a membro si ottiene la condizione di accoppiamento perfetto:

45 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI45 In generale nei casi reali si hanno dei flussi dispersi, laccoppiamento non perfetto per cui: Si definisce coefficiente di accoppiamento K: Il segno dipende dal senso di avvolgimento delle spire e dal verso delle correnti. Si definisce inoltre il coefficiente di dispersione dellaccoppiamento mutuo :

46 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI46 La tensione indotta di mutua induzione può essere concorde o discorde con la tensione di autoinduzione, cioè con la tensione indotta in un circuito dal flusso magnetico variabile prodotto dall'intensità di corrente circolante nel circuito stesso. Quindi il segno di M può essere sia: Positivo: quando le tensioni indotte di mutua induttanza sono concordi con le tensioni di autoinduttanza, che Negativo: quando le tensioni indotte di mutua induttanza sono discordi con le tensioni di autoinduttanza. Poiché i circuiti sono rappresentati con schemi bidimensionali e il verso delle correnti in una spira è visualizzabile solo con un disegno tridimensionale, per definire i segni dei flussi concatenati, i due circuiti accoppiati si rappresentano convenzionalmente con due bipoli utilizzando il simbolo delle induttanze e contrassegnando con un pallino i terminali.

47 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI47 La mutua induttanza tra due circuiti mutuamente accoppiati M è positiva quando le correnti che attraversano le due induttanze sono entrambe entranti in corrispondenza dei rispettivi pallini, M è negativa nel caso contrario. Per esempio: M > 0 M < 0

48 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI48 Esempi di accoppiamento tra due spire elementari 1 e 2:

49 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI49 Lautoinduttanza per una spira o un circuito dipende: dalla forma geometrica e dalla natura fisica del materiale del conduttore con il quale è stata realizzata la spira o il circuito, e dalla permeabilità del mezzo. In un mezzo lineare lautoinduttanza non dipende dalla corrente nella spira I o nel circuito ne dalla intensità del campo magnetico H o dal flusso. Essa esiste indipendentemente dal fatto che la spira o circuito siano aperti o chiusi, e sia che siano posti in prossimità di un altro circuito o spira.

50 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI50 Un conduttore disposto secondo una certa forma (come un filo conduttore avvolto intorno ad un nucleo) per fornire una certo valore di autoinduttanza, è chiamato induttore. Come il condensatore è in grado di immagazzinare energia elettrica, analogamente un induttore è in grado di immagazzinare energia magnetica. Per induttanza si intende lautoinduttanza di un induttore.

51 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI51 La procedura generale per determinare lautoinduttanza di un induttore (analoga a quella per la determinazione della capacità di un condensatore) è la seguente: 1.Stabilire il sistema di coordinate appropriato in base alla geometria dellinduttore (coordinate cartesiane, cilindriche e sferiche); 2.Assumere il valore della corrente I nel filo conduttore; 3.Determinare in funzione della corrente per mezzo della legge della circuitazione di Ampere, se si può ritenere costante lungo il percorso chiuso l : altrimenti la legge di Biot-Savart:

52 M. Usai5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI52 4.Calcolare il flusso concatenato con ciascuna spira,, nota attraverso lintegrazione: dove S è larea sulla quale esiste e si concatena con la corrente stabilita. 5.Calcolare il flusso concatenato c moltiplicando il flusso per il numero delle spire: c =N. 6.Trovare L facendo il rapporto:


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