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Elettronica di Front End nei rivelatori di particelle Flavio Dal Corso I tecnologo INFN-Padova Corso di formazione per personale tecnico giugno – luglio.

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1 Elettronica di Front End nei rivelatori di particelle Flavio Dal Corso I tecnologo INFN-Padova Corso di formazione per personale tecnico giugno – luglio 2011

2 2 Sommario Introduzione Analog Signal processing nei rivelatori di particelle Breve ripasso di elettronica fondamentale Transistors - BJT, JFET, MOSFET La transconduttanza Circuiti basilari LAmplificatore Operazionale Funzione di trasferimento Impedenza dingresso con reazione R||C Teoria del rumore Rumore come processo stocastico ergodico Potenza del rumore e spettro di potenza Trasformazione dello spettro di rumore nei sistemi lineari Tipi di rumore Johnson, Shot, Flicker Rappresentazione del rumore nelle reti – relazione tre noise figure, temperatura di rumore e spettro del rumore Rumore nei componenti Resistori BJT, JFET, MOSFET Amplificatore Operazionale

3 3 Formazione del segnale nei rivelatori Teorema di Shokley-Ramo Soluzioni particolari Blocchi funzionali di una catena analogica Modello del detector – accoppiamento DC o AC Preamplificatore Disegno di un amplificatore di carica Un amplificatore integrato custom Shaper (filtro) Teoria del filtro ottimo per misura di energia Spettro di rumore in ingresso Spettro di rumore in uscita ENC Forma del filtro ottimo Altre cause di perdita di risoluzione Panoramica sui filtri reali Filtri semigaussiani a poli complessi coniugati Uno shaper semigaussiano commerciale Uno shaper semigaussiano integrato Preamplificatori per situazioni particolari Adattamento ottimale con rivelatori ad alta capacità Matching capacitivo Matching con trasformatore Terminazione attiva

4 4 Un premaplificatore commerciale Un premaplificatore a componenti discreti per rivelatore a bassa capacità Filtro ottimo per misura del tempo Read-out Acquisizione Sample & hold Peak Detector Pipeline Analogica Conversione digitale Wilkinson ADC ADC ad integrazione Dual Slope ADC ad inseguimento ADC ad approssimazioni successive Flash ADC ΣΔ ADC Riferimenti e bibliografia

5 5 Analog Signal Processing nei rivelatori di particelle Lobbiettivo fondamentale del processamento dei segnali fornito dai rivelatori è estrarre le informazioni rilevanti dal rumore ovunque presente, ottenendo il migliore rapporto possibile tra il segnale utile e il rumore. Sono due le quantità di maggior importanza che si possono estrarre dal segnale di un rivelatore: la sua ampiezza e il tempo di occorrenza. Lampiezza è correlata allenergia e al tipo di particella; la misura di tempo serve per lo più alla sua localizzazione (sebbene talvolta la posizione si ricavi da misure di baricentro delle ampiezze in canali contigui). I rivelatori che qui ci interessano rivelano il passaggio di una particella dalla ionizzazione di un opportuno mezzo. Rilasciano quindi un segnale elettrico – tipicamente una certa quantità di carica elettrica – in qualche misura proporzionale allenergia della particella incidente.

6 6 Rivelatori che non producono un segnale elettrico (Čerenkov, transition radiation, scintillatori …) richiedono eventualmente un secondo stadio di rivelazione che trasformi il segnale originale in segnale elettrico (rivelatori ad effetto fotoelettrico: PM, MCP, SiPD, APD, HPD, SiPM …). Dal punto di vista dellelettronica è questultimo il rivelatore. In altre situazioni la proporzionalità con lenergia è abbandonata a favore di un segnale più ampio, qualora serva solo la misura di posizione o di tempo sulla particella incidente; (RPC, LST, contatori Geiger …). In tali casi allelettronica può non essere richiesta amplificazione e ottimizzazione del rapporto segnale/rumore, bastando una immediata digitalizzazione (discriminatori). Nota sul termine elettronica di front-end Spesso (anche in questa dispensa) questa locuzione è usata per indicare complessivamente lelettronica di processamento dei segnali analogici sviluppati dai rivelatori di particelle, mentre a stretto rigore di termini, essa dovrebbe indicare solo lelettronica che riceve immediatamente il segnale del rivelatore e che è posta nelle sue immediate vicinanze. Solitamente solo uno stadio (preamplificatore o discriminatore) dellintera catena di processamento risiede fisicamente vicino al rivelatore.

7 7 Lelettronica di front end può dover affrontare due diverse situazioni: 1.La carica è proporzionale allenergia della particella incidente (rivelatori proporzionali) a)misura analogica della carica b)misura analogica del tempo amplificatori di carica – filtro ottimo (a e b differiscono al livello del circuito di campionamento) 2.La proporzionalità con lenergia è abbandonata a favore di un segnale più ampio, e serve solo linformazione sul tempo di occorrenza del segnale nel rivelatore (RPC, LST, contatori Geiger…) a)misura digitale del tempo discriminatori Questo corso sarà dedicato alle tecniche di processamento analogico finalizzate alla ottimizzazione delle misure di ampiezza e di tempo (punto 1), lasciando ad altra occasione le tecniche basate su discriminatori (punto 2)

8 8 A grandi linee possiamo intendere per signal processing la formazione del segnale nel rivelatore dovuta al passaggio della particella, la sua amplificazione e formatura (signal shaping) utili ad ottenere il migliore rapporto segnale/rumore, e il read-out. Pertanto il corpo principale del corso sarà organizzato in tre parti: 1.studio della formazione del segnale nei rivelatori; 2.tecniche di processamento analogico, con particolare attenzione alle tecniche di disegno degli amplificatori di carica, e presentazione di una ampia panoramica sui filtri; 3.dedicata alle diverse tecniche di campionatura del segnale e di conversione analogico-digitale, limitatamente alla tecniche tradizionali di campionamento unico del segnale ad un istante ottimale, tralasciando tecniche più recenti (e poco usate nellambito dei rivelatori di particelle) di campionamento continuo e ricostruzione digitale del segnale. Allo scopo di fornire gli strumenti necessari alla comprensione degli argomenti presentati, sarà premesso un breve richiamo di elettronica fondamentale sul funzionamento dei principali dispositivi, e un po di teoria del rumore, necessaria alla comprensione delle tecniche di ottimizzazione del rapporto segnale/rumore.

9 9 Breve ripasso del funzionamento dei transistors e amplificatori operazionali Presenterò una essenziale descrizione del principio di funzionamento dei tre tipi di transistor – BJT, JFET, MOSFET – senza entrare nel dettaglio di tutte le varianti possibili (gli esempi e i disegni si riferiranno solo a dispositivi a canale n); introdurrò poi il concetto di transconduttanza, quindi presenterò alcuni circuiti base, necessari alla comprensione degli amplificatori che verranno illustrati in seguito. Richiamerò poi brevemente lamplificatore operazionale e svilupperò in qualche dettaglio le configurazioni tipicamente usate per realizzare i filtri dei processori analogici per rivelatori di particelle.

10 10 A grandi linee il BJT può essere visto come una coppia di giunzioni PN contrapposte, in cui la sezione centrale di semiconduttore è estremamente sottile e la conformazione geometrica è tale per cui il collettore racchiude base ed emettitore. La giunzione base-emettitore è polarizzata direttamente, mentre la giunzione base- collettore è polarizzata inversamente. I portatori iniettati dallemettitore, per lo spessore della base e la configurazione geometrica, hanno alta probabilità di attraversarla ed essere raccolti dal volume depleto della giunzione di collettore. Si ha quindi: con α prossimo a 1 e quindi Con β = 20 ÷ 500 Il BJT

11 11 β non è indipendente dalla corrente di collettore … … né dalla frequenza Il comportamento in dettaglio è definito dalle caratteristiche duscita (sin) e di trasferimento (dx)

12 12 Il JFET è un dispositivo il cui la conduzione di corrente avviene nello spessore del semiconduttore (bulk), in un canale la cui sezione viene strozzata dalla zona di svuotamento della giunzione inversa del gate. La caratteristica duscita non è dissimile da quella del BJT, mentre è alquanto diversa quella di trasferimento. Quindi con il JFET si potrà realizzare un dispositivo da comportamento simile al BJT, ma con tensioni di gate diverse da quelle di base di un BJT. Il JFET

13 13 Il funzionamento del MOSFET si basa sullo stesso principio del JFET, salvo che il canale di conduzione è ricavato immediatamente sotto lossido di isolamento del gate. La caratteristica duscita è sostanzialmente identica a quella del JFET, mentre quella di trasferimento è assai variabile con il modello di MOS (enanchement o depletion mode) e livelli di drogaggio. Benché il MOS sia usato prevalentemente come interruttore (tra interdizione e zona ohmica), può operare come dispositivo analogico in zona di saturazione realizzando comportamenti non dissimili dal BJT e JFET Il MOSFET Caratteristiche di un enanchement MOS a canale n. Per un depletion MOS la V th scende a valori negativi, e il comportamento diviene quasi identico ad un JFET

14 14 Tutti e tre i dispositivi illustrati agiscono come modulatori della corrente duscita (collettore o drain) in funzione della tensione dingresso (base o gate). I segnali applicati al transistor possono essere visti come piccole variazioni dei valori di polarizzazione, sufficientemente piccole da considerare lineare il comportamento del transistor rispetto ai segnali. Si conviene di indicare con lettere maiuscole i valori di polarizzazione e con minuscole i segnali. La transconduttanza è il rapporto tra il segnale duscita (corrente) e il segnale dingresso (tensione); è il guadagno del dispositivo: Si dimostra che per il BJT vale la relazione: Mentre per JFET e MOSFET g m dipende dalla geometria del dispositivo La transconduttanza

15 15 Vediamo alcuni dei circuiti fondamentali che si possono costruire con i tre tipi di transistors, quasi dei bulding blocks con cui affronteremmo più avanti lanalisi di circuiti più complessi (nei disegni cè un JFET, ma potrebbe essere indifferentemente un BJT o un MOS). Amplificatore a singolo transistor (configurazione Common Emitter/Source) Common Base/Gate Si dimostra che per tutti i tre tipi di dispositivo limpedenza dingresso di emettitore/source è 1/gm. Quindi, se R>>1/g m, il trasferimento di corrente di questo circuito vale (nel BJT si trascura la corrente di base): Circuiti basilari

16 16 Emitter/Source Follower Poiché limpedenza dingresso è alta ( Ω per BJT; Ω per JFET e MOS) e quella duscita è bassa, il circuito adatta limpedenza della sorgente al carico. Cascode e Folded Cascode Usando la definizione di g m e le proprietà del common base/gate, per questi circuiti si ha: Quindi non modificano la transconduttanza del dispositivo dingresso, ma ne migliorano molto la risposta in frequenza, perché inibiscono leffetto della capacità di drain. Il folded cascode permette anche di aumentare la dinamica duscita. Si dimostra che se R>>1/g m, per tutti i tre tipi di dispositivo vale la relazione:

17 17 Generatori di corrente Esiste unampia gamma di circuiti che emulano un generatore di corrente ideale, quindi con alta impedenza. Tutti generano corrente dal collettore/drain, che è un terminale ad alta impedenza (la corrente è indipendente dalla sua tensione). Le migliori configurazioni arrivano ad impedenze dellordine di 10 7 Ω. Vengono usati come elementi di polarizzazione di un circuito o come carichi attivi per spingere lamplificazione senza necessità di usare alte resistenze.

18 18 MOS come resistori Un MOS polarizzato nella regione ohmica può sostituire una resistenza (con grande risparmio di silicio, nei circuiti integrati). Il comportamento non sarà molto lineare, ma dove non è critica la precisione, offrono un grande vantaggio alla densità di integrazione.

19 19 Coppia differenziale È il circuito dingresso degli amplificatori operazionali. È costituito da una coppia di dispositivi (BJT, JFET o MOS) identici, accoppiati in emettitore/source, polarizzati con un generatore di corrente sul nodo comune. È sostanzialmente insensibile alla tensione di modo comune ed amplifica solo la tensione differenziale: Al variare del tipo di dispositivo cambia solo lampiezza della zona lineare: BJT JFET MOSFET

20 20 Amplificatore operazionale È un amplificatore differenziale con elevato guadagno (anche oltre 10 6 ). Di conseguenza gli ingressi sono quasi equipotenziali, pure essendo tra loro isolati; si dice che sono in contatto virtuale. Con gli operazionali si realizzano una grande varietà di funzioni, che non possiamo qui analizzare. Mi limiterò a presentare alcuni concetti ed alcuni circuiti utili allanalisi di un processore analogico di segnali da rivelatori. Nella configurazione più comune le funzioni di trasferimento rispetto ai due ingressi sono:

21 21 Configurazione tipica – impedenza dingresso Usualmente, nelle nostre applicazioni, lingresso non invertente è posto a massa. Esso quindi diviene un amplificatore invertente ad alto guadagno, privo (idealmente) di offset in uscita. Nel primo stadio dellelettronica di front end è richiesto un amplificatore invertente ad elevato guadagno, che quindi potrebbe essere fatto con un operazionale con ingresso non invertente a massa, ma diverse ragioni sconsigliano questa scelta. Lamplificatore viene quindi realizzato con il solo ingresso invertente, il che comporta che abbia un considerevole offset. Negli stadi successivi, invece, è conveniente usare amplificatori operazionali commerciali. Inoltre lamplificatore di front end viene usato come integratore, quindi con reazione R||C (resistore, di alto valore, in parallelo ad un condensatore).

22 22 È interessante valutare limpedenza dingresso dellamplificatore, nel caso sia realizzato con un OpAmp commerciale oppure con un tipico preamplificatore da front end. Per il teorema di Miller, limpedenza dingresso vale: quindi è come se allingresso ci fosse, verso massa, un condensatore AC f molto grande (essendo A molto grande), che è la condizione ideale per un integratore. Compare anche un resistore R f /A, che disturba, ma è inevitabile; nellassunzione che R f essa è trascurabile. Ma valutiamo come limpedenza varia con la frequenza.

23 23 Che può essere riscritta così: Espressa anche limpedenza di feedback in termini del suo polo ω f =1/R f C f essa diviene: La risposta in frequenza dellamplificatore può, con buona precisione, essere descritta in termini del suo polo dominante:

24 24 Proviamo una stima numerica in queste condizioni: Il modulo dellimpedenza è illustrato nella figura sottostante. Si vede che fino a ω 0 (50 Hz) limpedenza è resistiva e bassa (100 Ω), poi cresce con andamento induttivo fino a ω f (1590 Hz), dove riprende andamento resistivo con valore relativamente alto (3184 Ω). Prende a decrescere con andamento capacitivo solo a frequenza A 0 ω 0 (50 MHz). Il risultato è che, nelle frequenze interessanti, è come se il segnale del rivelatore venisse raccolto su una R||C con RkΩ e C=C f, che non è proprio la soluzione ideale! OpAmp commerciale con A 0 =120dB (=10 6 ) ω 0 =314 s -1 ( GBW=50MHz) Z f data da: R f =100 MΩ C f =1pF ω f =10 4 s -1

25 25 Vediamo ora cosa succede usando un amplificatore da front end: Z f come prima Amplificatore invertente con A 0 =60dB (=10 3 ) ω 0 =3,14·10 6 s -1 ( GBW=500MHz) Ora limpedenza è resistiva e pari a R f /A 0 fino a ω f, dove diventa capacitiva. Il risultato netto è, nelle frequenze di interesse, un impedenza dingresso dato da una R||C con R=R f /A 0 che rimane abbastanza alta, e C=C f · A 0, che è ciò che si desidera. Il trucco sta nellavere il polo dominante dellamplificatore più alto del polo del feedback; ω 0 >>ω f. Tra ω 0 e A o ω 0 limpedenza ritorna resistiva, ma a queste frequenze non si può più (come implicitamente è stato fatto) trascurare la capacità del dispositivo dingresso. Una situazione interessante si ha quando ω 0 =ω f. Verrà ripresa in considerazione più avanti.

26 26 Un po di teoria sul Rumore in elettronica La teoria del rumore è ritenuta una disciplina oscura e difficile; cercherò di dare qualche informazione, senza eccessiva pretesa di rigore. Debbo presumere alcune conoscenze di analisi statistica, teoria dei circuiti, trasformate di Fourier e Laplace. In un sistema elettronico rumore è qualsiasi segnale che si sovrappone al segnale utile, ostacolandone le misura. Possiamo distinguere tra rumore deterministico, causato essenzialmente da interferenze con altri sistemi o variazioni di parametri ambientali, che in linea di principio (molto teoricamente) può essere analizzato in modo totalmente deterministico e rimosso. Non verrà preso in considerazione in questo corso, ma rimando ad una fonte fondamentale al rif. 7, e rumore casuale, che non può essere analizzato se non in termini statistici e non può mai essere totalmente rimosso, perché intimamente connesso alle proprietà fisiche fondamentali dei componenti elettronici.

27 27 Rumore come processo stocastico ergodico La forma donda del rumore, come ciò che si vede alloscilloscopio quando la sonda è connessa ad un circuito privo di segnale, è una funzione del tempo dalla forma irregolare e del tutto imprevedibile. Diciamo che è un processo casuale, e lo chiamiamo n(t). Comunemente per descriverlo usiamo un unico valore: la deviazione standard (o valore rms), ma nel fare ciò facciamo implicitamente alcune assunzioni non banali: 1.Assumiamo che la distribuzione statistica di n(t) sia indipendente dal tempo 2.Assumiamo che la distribuzione sia gaussiana con media nulla 3.Assumiamo anche a priori che tale distribuzione esista per qualsiasi circuito ed in qualsiasi circostanza. Sono assunzioni che ci detta lesperienza, ma su quali principi fisici e matematici si fondano?

28 28 Per fissare le idee, poniamo che n(t) sia la tensione ai capi di una resistenza. A causa dellagitazione termica degli elettroni e degli atomi, in generale sarà n(t)0. Operativamente, come determiniamo la statistica di n(t), ad esempio la media? 1.Possiamo prendere una schermata sufficientemente lunga alloscilloscopio e valutarne la media (statistica temporale). 2.Oppure possiamo prendere molti campioni a tempi sufficientemente lontani tra loro da poter assumere che siano statisticamente indipendenti, e farne la media (statistica dinsieme). Se facciamo bene le cose (a meno di variazioni delle condizioni ambientali), lesperienza ci dice che otteniamo lo stesso risultato. In realtà non è neppure raro che le misure non tornino, perché non sappiamo bene cosa voglia dire, nelle preposizioni suddette, lavverbio sufficientemente. Come determinarne la statistica di n(t) senza fare assunzioni che non sappiamo giustificare?

29 29 Poiché la resistenza è un insieme di particelle in equilibrio termodinamico con lambiente, il cui microstato è impossibile da determinare, si usano alcuni concetti della meccanica statistica (10). Si ricorre ad un esperimento ideale, immaginando di disporre di un insieme arbitrariamente grande di resistenze identiche (statistical ensemble), idealmente una per ciascun dei microstati possibili della resistenza. Avremmo quindi a disposizione un insieme {n i (t)} di processi casuali. Linsieme, pensato come un tuttuno, è chiamato processo stocastico. processo stocastico = {n i (t)} Il processo stocastico descrive, quindi, levoluzione temporale di tutti i microstati possibili del sistema. Ad ogni istante possiamo calcolare le grandezze statistiche del processo (media, rms, densità di probabilità …) operando sugli elementi dellinsieme (statistica dinsieme), e saranno in genere funzione del tempo.

30 30 ed è, in genere, funzione del tempo. Quando invece le grandezze statistiche dinsieme risultano indipendenti dal tempo, il processo stocastico è detto stazionario. Alternativamente alla statistica dinsieme, per un processo stazionario si può valutare la statistica temporale. Ad esempio la media temporale è espressa come: Ad esempio, la media dinsieme degli n i può essere espressa come: ed è una variabile casuale (dipende dallindice i ma non dal tempo), i cui valori di aspettazione sono difficili da esprimere analiticamente. |{n i }| indica la cardinalità dellinsieme {n i }, p(n) è la densità di probabilità di {n i }, E sta per expected value

31 31 Vi sono tuttavia dei processi in cui le due tecniche di calcolo conducono allo stesso risultato; per esempio per la media: cioè le medie temporali sono tutte uguali e coincidono con le medie dinsieme, che non dipendono dal tempo. Tali processi sono detti ergodici. Sintetizzando, possiamo quindi definire ergodico un processo stocastico in cui le medie dinsieme sono uguali alle medie temporali. Di conseguenza, tutte le proprietà statistiche di un processo ergodico possono essere determinate per mezzo di una singola funzione del processo.

32 32 Il postulato fondamentale relativo allanalisi del rumore è che esso sia un processo ergodico. Il fondamento della ragionevolezza del postulato sta nel fatto che assumiamo la sorgente di rumore attiva ab eterno e, per il principio di omogeneità del tempo, immutabili nel tempo le sue proprietà (a condizioni ambientali ferme, ovviamente). Si deve poi assumere che il valore medio del rumore sia nullo, per non violare qualche principio fondamentale (la tensione di rumore di una resistenza deve avere media nulla, per evitare che essa diventi una sorgente gratuita di energia). Infine, si deve ritenere che la distribuzione di probabilità del rumore sia gaussiana: questo assunto è conseguenza del teorema del limite centrale e del fatto che il rumore dipende da un grandissimo numero di fattori casuali. Va comunque detto che alcune grandezze si definiscono più facilmente nella statistica dinsieme (caso notevole, la densità di probabilità), altre nella statistica temporale (caso notevole, lautocorrelazione).

33 33 Riassumendo, il rumore è un processo casuale con queste proprietà: È ergodico Ha media nulla Ha distribuzione normale (gaussiana) È quindi completamente determinato statisticamente da un solo parametro; la sua varianza (o dal valore rms, che della varianza è la radice quadrata).

34 34 Potenza del rumore e spettro di potenza La varianza del rumore è chiamata potenza di rumore. Può essere espressa sotto forma di un integrale nella frequenza: W(ν) è detto spettro della potenza di rumore, ed esprime la potenza di rumore per unità di banda di frequenza. Lo spettro di potenza è uno strumento fondamentale nellanalisi del rumore. I datasheets dei componenti spesso riportano questo parametro (nella forma della sua radice quadrata), oppure la noise figure, che è ad esso legato, come vedremmo.

35 35 Lo spettro di potenza è esprimibile in termini della trasformata di Fourier della autocorrelazione del rumore, cioè: Per i processi ergodici lautocorrelazione è funzione solo di t 2 -t 1 =τ e si può esprimere con una media temporale: Lautocorrelazione è una grandezza statistica la cui prima definizione avviene nel dominio della statistica dinsieme, ed esprime la correlazione tra due valori della stessa variabile casuale, calcolati un due istanti diversi. Dà quindi una misura di quanto lontani debbano due campioni di una stessa variabile casuale per essere statisticamente indipendenti. con Teorema di Wiener-Khintchine Si vede subito che:

36 36 Dimostrazione. Data lanti-trasformata di Fourier di R(τ): che per τ=0 dà: poiché R(τ) è reale e simmetrica, anche S(ω) lo è. Allora il secondo integrale è nullo e il primo può essere scritto:

37 37 Trasformazione del rumore nei sistemi lineari Un sistema elettrico lineare tempo-invariante deterministico (= privo di rumore) può essere descritto mediante un operatore lineare: Si dimostra che se x(t) è un processo ergodico, anche L[x(t)]=y(t) lo è, purché il circuito sia attivo da sempre (ovvero, in pratica, sia esaurito il transitorio). Lo studio del rumore non prevede lanalisi al transitorio, per tale ragione si usa la trasformata di Fourier e non quella di Laplace. Il comportamento del circuito è descritto anche dalla sua risposta allimpulso h(t) o dalla sua funzione di trasferimento H(iω), legate dalla trasformata di Fourier:

38 38 Per i segnali deterministici applicati al circuito, valgono le ben note relazioni (la lettera maiuscola indica la trasformata della corrispondente variabile con lettera minuscola): Per il rumore si dimostra una formula analoga, che esprime lo spettro di rumore in uscita in funzione di quello dingresso: È una formula fondamentale nellanalisi del rumore. In una catena di sistemi posti in cascata, lo spettro di rumore del primo stadio dà il maggior contributo al rumore totale, rispetto alle sorgenti intermedie, che subiscono una amplificazione minore. Per questo ragione lanalisi del rumore dei circuiti si concentra particolarmente sullo stadio dingresso.

39 39 Dimostrazione della Dalla: moltiplico prima per x(t-θ) e poi per y(t+θ), e valuto i valori daspettazione dei due risultati (media dinsieme). le medie sono rispettivamente la correlazione tra x e y e lautocorrelazione di x e di y, e dipendono solo dalla differenza dei tempi (processi stazionari).

40 40 Quindi si ha (* indica la convoluzione): Passando alle trasformate di Fourier e osservando che F[h(-t)]=H * (iω): Combinando i risultati: Ricordando il teorema di W-K:

41 41 Nota sullintegrale di convoluzione La formula di convoluzione permette di calcolare nel dominio del tempo la risposta di un circuito. La formula più usuale e nota è quella nel dominio della variabile di Laplace: Ovvero, luscita del circuito è data dallingresso, moltiplicato per la funzione di trasferimento, o guadagno, del circuito. Poiché con il rumore si opera sempre in regime stazionario, alla variabile s si sostituisce iω e si lavora con la trasformata di Fourier, anziché quella di Laplace. Ciò che nel dominio delle frequenze è un prodotto, nel domino del tempo, cioè delle anti-trasformate, diventa un integrale di convoluzione: Ovvero, il segnale duscita del circuito è dato dalla convoluzione del segnale dingresso con la risposta allimpulso del circuito.

42 42 Il calcolo dellintegrale di convoluzione può essere talvolta molto arduo (ma allora si opera nello spazio delle trasformate, dove diventa un banale prodotto), però lo si può rappresentare, molto intuitivamente, in maniera grafica. Fissando le idee sulla prima forma dellintegrale: lo si può interpretare come lintegrale delle due funzioni (di cui la prima è limmagine riflessa del segnale dingresso), fatte scivolare luna rispetto allaltra. Forse la cosa è più chiara passando dal tempo continuo al tempo discreto e alle funzioni campionate ad intervalli Δt. Allora lintegrale diventa: Con questa formula ho fatto un esercizio numerico e cercato di visualizzare come la convoluzione si costruisce

43 43 Si ottiene una cosa del genere: La convoluzione finale è questa:

44 44 Tipi di Rumore Il rumore esibito dai componenti fisici si descrive mediante tre modelli fondamentali di rumore: Rumore termico o Johnson; causato dallagitazione termica dei portatori nei conduttori Rumore granulare o shot; compare con correnti dovute a pochi portatori che attraversano in tempi brevissimi una barriera di potenziale, generando una successione casuale di impulsi di corrente. Rumore 1/f o Flicker; comprende unampia gamma di sorgenti di rumore, spesso di origine poco chiara, che mostrano uno spettro di tipo 1/f α con α prossimo a 1. Nei componenti fisici reali vi può essere un tipo di rumore dominante, ma possono essere anche tutti compresenti.

45 45 Ai capi di un resistore R in equilibrio termico alla temperatura T compare una tensione di rumore dovuta al moto casuale degli elettroni di conduzione. Questo fenomeno fu studiato sperimentalmente da J.B. Johnson nel 1928 (11) e lo spettro di potenza fu ben presto determinato da H. Nyquist (12). La resistenza connessa ad un circuito, e con esso in equilibrio termico, a causa del rumore scambia con esso energia, con una potenza per unità di banda di frequenza data da: Rumore Johnson dP(f) a T=10, 20, 40, 80, 160, 320 °K Per tutte le frequenze di interesse in elettronica, questo spettro è bianco cioè indipendente dalla frequenza.

46 46 Una resistenza reale è allora rappresentata da una resistenza ideale (priva di rumore) con un generatore di tensione in serie, o un generatore di corrente in parallelo (teorema di Thevenin-Norton), tali da generare rumore con la stessa potenza. Lo spettro di potenza dei due generatori vale allora: Vale la pena di rimarcare che, ricordando come lo spettro di potenza è legato alla varianza della rispettiva variabile di rumore, le dimensioni di W in sono A 2 /Hz e quelle di W en sono V 2 /Hz

47 47 Si ha quando la corrente è dovuta a pochi portatori che generano brevi impulsi con occorrenza casuale. È un fenomeno importante nella emissione di elettroni da fotocatodi, nelle valvole termoioniche, nelle correnti di portatori minoritari (correnti di gate nei JFET e MOSFET, e di base nei BJT). Viene descritto mediante la statistica di Poisson, con la quale si calcola media e varianza della corrente: Rumore Shot Corrente media (q = carica dellelettrone f = frequenza media degli impulsi) Varianza della corrente

48 48 Come intuibile, la varianza della corrente è tanto più piccola quanto è lungo lintervallo Δt di osservazione. Per calcolare spettro del rumore shot bisogna trovare lautocorrelazione del processo che lo descrive e trasformarla secondo Fourier. Trattando gli impulsi di corrente come delta di Dirac, si ottiene che: (cfr. rif. 10 pag. 350): È anche questo un rumore bianco, nel limite in cui regge lapprossimazione degli impulsi come delta di Dirac; quindi fino a frequenze dellordine dellinverso della durata degli impulsi.

49 49 Un unampia serie di fenomeni, non solo fisici ed elettronici, mostrano fluttuazioni di ampiezza crescente allaumentare del tempo di osservazione, descrivibili come un rumore con uno spettro proporzionale a 1/f,. Le cause fisiche del rumore 1/f sono spesso oscure; sappiamo che resistori a carbone mostrano più rumore 1/f rispetto a quelli metallici, e se ne imputa la causa alle discontinuità di resistività dovuta ai contati più o meno buoni tra i granuli della pasta resistiva di cui essi sono composti. Nei dispositivi a semiconduttore il rumore 1/f cresce al crescere dei difetti reticolari. Di conseguenza, dispositivi a conduzione superficiale (i.e. MOS) hanno più rumore 1/f dei dispositivi a conduzione di bulk (i.e. BJT e JFET). Va infine detto che il rumore 1/f è assolutamente presente ovunque. La trattazione teorica del rumore 1/f è complessa, (13) (14) perché non può essere considerato un processo stazionario. La sua varianza diverge verso le basse frequenze; questa catastrofe è evitata perché in realtà nessun circuito ha banda che si estende a frequenza zero. Rumore Flicker

50 50 LMV793 MOS input OpAmp equivalent input noise voltage Slope = -1/2 Dal punto di vista pratico, le prestazioni dei dispositivi sono caratterizzate dalla frequenza di 1/f noise corner, sopra la quale il rumore 1/f diventa trascurabile rispetto al rumore bianco. Nelle applicazioni pratiche si cerca di minimizzare leffetto del rumore 1/f, mantenendo le frequenze di interesse sopra il noise corner. Esso può essere un problema serio per circuiti in continua ad alta sensibilità, p.es. generatori di tensioni di riferimento, che notoriamente sono soggetti a lente pendolazioni e richiedono periodiche calibrazioni. Nei nostri circuiti, osservata lavvertenza di stare sopra il noise corner, solitamente il rumore 1/f è trascurato. LMP7731 Bipolar input OpAmp equivalent input noise voltage

51 51 Un generico sistema elettronico lineare viene rappresentato come un doppio bipolo. In esso ci sono molteplici sorgenti di rumore, ciascuna produce rumore in uscita secondo la sua funzione di trasferimento. Il rumore in uscita può essere riportato in ingresso mediante la funzione di trasferimento del bipolo. Poiché il bipolo è descritto da un sistema lineare nelle tensioni e correnti dingresso e duscita: allora tutto il rumore del sistema può essere riportato in ingresso mediante due generatori, uno di tensione in serie, detto anche rumore serie, ed uno di corrente in parallelo, detto rumore parallelo. Tutto il rumore è quindi espresso dallo spettro delle due sorgenti (ed eventualmente dalla mutua correlazione) (3). Rappresentazione del rumore nelle reti I datasheets dei componenti esprimono il rumore con la radice quadrata dei relativi spettri. Quindi danno il valore dei due generatori con le dimensioni: [e n ]=V/Hz [i n ]=A/ Hz

52 52 Relazione tra spettro di rumore, e noise figure Un altro parametro spesso usato per quantificare il rumore, soprattutto di amplificatori e grandi sistemi, è la noise figure, che esprime il rapporto tra rumore rms in uscita al sistema e quello dovuto alla sola sorgente, espresso in decibell: Nel rumore in uscita separiamo la parte dovuta al sistema da quello dovuto alla sorgente (i due rumori sono statisticamente indipendenti, quindi i loro rms si sommano quadraticamente): Osservando che n H /H è il rumore del sistema riportato in ingresso, n Hi : In termini di spettro, e considerando che il rumore della sorgente è dovuto tipicamente ad una resistenza Rs: La quantità T(10 NF/10 -1) è detta temperatura equivalente di rumore, ed esprime la temperatura a cui dovrebbe trovarsi la sorgente per rendere conto del rumore del sistema.

53 53 Rumore nei componenti elettronici Rumore nei componenti passivi Del rumore generato da resistenze si è già detto. A rigori, andrebbe aggiunto la componente 1/f, che dipende dalle particolarità costruttive delle resistenza Forse non è inutile dire che condensatori e induttanze (trascurando loro resistenze parassite) non generano rumore.

54 54 Rumore nel BJT Ci sono molteplici sorgenti di rumore nel BJT: il rumore shot dei portatori minoritari, il rumore termico delle resistenze diffuse, il rumore di generazione e ricombinazione, il rumore 1/f… Il modello che presento non tiene conto di tutto, ma è sufficiente in tutte le situazioni pratiche (senza ricorrere a tecniche computazionali), e soprattutto non richiede conoscenze di parametri esotici dei dispositivi.

55 55 Secondo questo modello le sorgenti di rumore nel BJT sono: Shot noise delle corrente di base. Essa infatti è dovuta ai portatori iniettati dellemettitore, che nel volume della base sono portatori minoritari Johnson noise della resistenza diffusa di base. A causa del suo ridotto spessore, la base presenta una resistenza non trascurabile (10-100Ω), che genera rumore termico. Spesso viene trascurato. Shot noise delle corrente di collettore. Essa è dovuta ai portatori iniettati dallemettitore, che attraversano la base e giungono nel volume depleto della giunzione base-collettore. Sono quindi portatori minoritari. Questo rumore viene riportato in ingresso, mediato dalla transconduttanza del transisor.

56 56 Disegnando il transistor come un doppio bipolo con funzione di trasferimento g m (che vale a bassa frequenza, ma assumiamo di usare il transistor ben sotto la sua f t ): Dove R bb è la resistenza diffusa di base. Si usa rappresentare gli spettri di rumore bianco in termini di resistenza equivalente di rumore, definita come la resistenza che genera lo stesso spettro di rumore. Allora le resistenze di rumore equivalenti del BJT per il rumore serie e parallelo valgono, rispettivamente: allora lo spettro del rumore serie e parallelo valgono, rispettivamente:

57 57 Rumore nel JFET Il JFET è un dispositivo il cui la conduzione di corrente avviene nello spessore del semiconduttore (bulk), in un canale la cui sezione viene strozzata dalla zona di svuotamento della giunzione inversa del gate. La corrente di drain è quindi dovuta ai portatori maggioritari ed è affetta da rumore termico. Anche in questo caso il rumore della corrente di drain viene riportato in ingresso mediato dalla transconduttanza del transistor. La corrente di gate invece è affetta da shot noise, essendo la corrente di una giunzione polarizzata inversamente. Andrebbe anche considerato un contributo dovuto allaccoppiamento capacitativo tra in canale ed il gate, che riporta sul gate un po del rumore della corrente nel canale.

58 58 Si dimostra che per il JFET lo spettro del rumore serie e la resistenza equivalente di rumore serie valgono: E lo spettro di rumore parallelo vale: Il confronto con il BJT ci dice che: Il rumore serie è confrontabile (ma nel BJT è molto più facile ottenere unalta g m ) Il rumore parallelo è molto più alto nel BJT

59 59 Rumore nel MOSFET Il MOSFET ha un modello circuitale molto simile a quello del JFET, ed anche le sorgenti di rumore sono molto simili. Ma ci sono non trascurabili differenze. MOSFET a confronto con il JFET : La transconduttanza g m è più alta nel MOS, a parità di corrente di drain; quindi minor rumore serie. Correnti di gate più basse nel MOS; quindi minor rumore parallelo. Rumore 1/f più alto nel MOS, perché la conduzione di corrente avviene sulla superficie del silicio, subito sotto lossido di gate, dove i difetti reticolari sono più densi.

60 60 Il bilancio dei pro e dei contro e la scelta finale dipendono dalle applicazioni: In amplificatori realizzati a componenti discreti il MOS è svantaggiato dal rumore 1/f e dal fatto che le protezioni sul gate vanificano il minor rumore parallelo. In amplificatori integrati il MOS è avvantaggiato dal fatto che la tecnologia dintegrazione dei MOS è più semplice. Il trend tecnologico da un lato porta ad una riduzione del rumore 1/f nei MOS, dallaltro va verso amplificatori a sempre più alta frequenza, dove il rumore 1/f pesa poco. In amplificatori a tempo di formatura lunga (p.es. per spettroscopia nucleare, tipicamente a componenti discreti) il dispositivo delezione resta il JFET Negli amplificatori integrati su larga scala per gli esperimenti HEP il MOS è lunica scelta praticamente possibile.

61 61 Rumore dei vari dispositivi a confronto. La risalita a tempi piccoli è dovuta al rumore serie La risalita a tempi grandi è dovuta al rumore parallelo Il rumore 1/f è indipendente dal tempo di formatura

62 62 Rumore nellAmplificatore Operazionale Generalizzando la rappresentazione del rumore nei doppi bipoli, e dopo aver visto come si rappresenta il rumore nei transistor, la rappresentazione più immediata del rumore nellAmpOp è data mediante una coppia, per ciascun ingresso, di generatori di rumore serie e parallelo. I generatori di corrente rappresentano essenzialmente il rumore (shot) delle correnti di bias. I generatori di tensione rappresentano essenzialmente il rumore (termico e/o shot) delle correnti di drain/collettore del dispositivo dingresso. Le coppie di generatori di tensione e di corrente sono, in prime approssimazione, identici e statisticamente indipendenti. I due generatori di tensione sono connessi agli ingressi dellOpAmp, che sono equipotenziali; possono quindi essere fusi in un unico generatore con spettro dato dalla somma dei due.

63 63 Questo è il modello usato dai costruttori per rappresentare il rumore di un OpAmp, con un unico generatore di rumore serie, a cui contribuiscono entrambi gli ingressi. Ovvero e n è 2 volte il rumore serie del singolo ingresso Spettri del rumore serie e parallelo dellOpAmp LMP7731

64 64 Formazione del segnale nel rivelatore Il segnale elettrico fornito dai rivelatori elettronici è una certa quantità di carica rilasciata in un tempo solitamente molto breve. Un esempio semplice Nel situazione più semplice possiamo immaginare il rivelatore come un condensatore piano carico, nel cui volume una particella ionizzante generi una coppia elettrone/ione. Le cariche migrano nel volume del rivelatore, sotto lazione del campo elettrico, e generano sul circuito esterno una corrente I(t) che trasporta una carica e. Le due cariche generano corrente finché non raggiungono gli elettrodi. Lelettrone, che si muove velocemente, genera una corrente alta per un tempo breve; lo ione positivo, più lento, genera una corrente più bassa e più lunga. I t Corrente da e - Corrente da e +

65 65 La forma del segnale Teorema di Shockley-Ramo La descrizione analitica generale della corrente indotta da una carica in movimento sui conduttori circostanti è formulata dal teorema di Shockley-Ramo; W. Shockley, J. Appl. Phys. 9 (1938) S. Ramo, Proc. IRE 27 (1939) 584 I i è la corrente indotta dalla carica q sul conduttore i; v è la velocità della carica, determinata dal campo totale sentito dalla carica; E ni è il campo normalizzato sentito dalla carica (cioè, applicando un potenziale unitario al conduttore i, e nullo agli altri conduttori). La soluzione generale di questa equazione, in presenza di molti conduttori, non può che venire affrontata con simulazioni numeriche. Dal punto di vista dellelettronica di front end interessa solo trovare la corrente sullelettrodo di lettura.

66 66 Soluzioni particolari del teorema di Shockley-Ramo Condensatore piano e cariche con velocità saturata È un buon modello di rivelatori con elettrodi piani a ionizzazione di liquido o gas (nei gas la condizione di velocità satura può essere violata – cfr rif. 2 pag. 22 ss). Assumiamo di avere una coppia elettrone/ione creata a distanza x dallelettrodo di riferimento. Sia d la distanza tra gli elettrodi. Nellequazione di Shockley-Ramo vanno quindi messe le quantità (con i corretti segni): q = ±ecarica dellelettrone/ione; v = E la velocità della carica è proporzionale al campo elettrico (gli urti con gli atomi del mezzo saturano la velocità); E n = 1/dè il campo ottenuto applicando una differenza di potenziale unitaria agli elettrodi (lindice i scompare perché cè una sola corrente da calcolare).

67 67 Le correnti create dal movimento delle due cariche valgono quindi: La durata delle due correnti è rispettivamente: Poiché - >> + allora t s - <

68 68 Una particella ionizzante che attraversi tutto lo spessore del rivelatore, crea n coppie lungo tutto il percorso, che arrivando progressivamente agli elettrodi, generano due impulsi di corrente di forma triangolare, alto e corto gli elettroni, basso e lungo gli ioni. Ciascun impulso porta metà della carica totale, tuttavia, a causa del lungo tempo di raccolta, di solito il contributo degli ioni positivi è trascurato. t I Corrente da elettroni Corrente da ioni

69 69 Rivelatore proporzionale a geometria cilindrica (camera a fili) Nelle camere a fili il campo elettrico raggiunge intensità sufficienti a generare moltiplicazione della carica nelle immediate vicinanze del filo. Gli elettroni vengono rapidamente raccolti dal filo, e danno un contributo modesto al segnale totale (tanto più piccolo quanto più è sottile il filo), mentre il grosso del segnale è dovuto agli ioni che si allontanano dal filo. Appare quindi come un impulso inizialmente molto ampio, seguito da una lunga, debole coda. (cfr rif. 2 pag. 44 ss) Forma del segnale calcolata per contatore proporzionale a geometria cilindrica (tratto da rif. 8)

70 70 Rivelatori a silicio Sono essenzialmente una giunzione PN polarizzata inversamente e con un esteso volume svuotato da portatori liberi. Possono allora essere rappresentati come un condensatore piano con una distribuzione spaziale di carica che altera luniformità del campo. La distribuzione di carica, e quindi la forma dellimpulso generato da una particella ionizzante, dipende dal profilo di drogaggio e dal potenziale di polarizzazione, rendendo possibili una varietà di forme del segnale. È significativo che, avendo gli elettroni e le hole mobilità comparabili, contribuiscono entrambi al segnale. Tratto da rif. 6 Segnale generato da traccia passante in silicon pad detector, under-depleted (sin) e over-depleted (dx) Tratto da rif. 9

71 71 Blocchi funzionali di una catena analogica. In una catena completa di processamento analogico dei segnali da rivelatori possiamo individuare a grandi linee tre blocchi funzionali.

72 72 Detector Il detector è rappresentato con il suo circuito equivalente (può variare nei dettagli; dipende dalla configurazione), composto essenzialmente da: generatore di corrente che eroga un impulso di corrente Q(t). Solitamente si assume che abbia durata nulla, o comunque molto più breve della risposta allimpulso della catena analogica, per cui può essere assimilato ad una delta di Dirac: Q(t) = Q (t) capacità C d che è principalmente la capacità del rivelatore, ma include ogni capacità parassita (capacità del dispositivo dingresso, di interconnessioni …). La minimizzazione delle capacità parassite e delle interferenze è la ragione per cui il preamplificatore è posto immediatamente vicino al rivelatore. resistenza R d che è principalmente la resistenza di polarizzazione del rivelatore, ed include ogni resistenza parassita (perdite delle interconnessioni e del rivelatore stesso…)

73 73 Accoppiamento in DC o AC Il rivelatore può essere connesso allamplificatore in continua o mediante un condensatore di isolamento. Il circuito equivalente varia nei due casi, ma si assume che i condensatori di blocco e di isolamento siano tanto grandi da rendere trascurabili le loro impedenze. Ci sono pro e contro per entrambe le configurazioni. La scelta è un compromesso tra diverse esigenze; è più frequente laccoppiamento AC. Nellaccoppiamento in DC lamplificatore vede anche leventuale corrente di perdita del rivelatore, cosa talvolta utile, ma porta uno spostamento in continua del livello di base delluscita. Laccoppiamento in AC elimina la corrente di perdita del rivelatore e, può introdurre un taglio utile ad attenuare il rumore a bassa frequenza (1/f, microfonicità, interferenze…). Per contro, impedisce una formatura esattamente unipolare, con errore tanto più grande quanto è piccolo il condensatore. Può essere difficile trovare condensatori da alta tensione di elevato valore (e magari anche piccoli). Accoppiamento in DC Accoppiamento in AC

74 74 Preamplificatore (amplificatore di carica) È il componente più critico dellintera catena; da esso dipendono in maniere cruciale le prestazioni al rumore del sistema. È costituito da un amplificatore di tensione con alta impedenza dingresso e alto guadagno invertente, con reazione capacitiva, in modo da realizzare un integratore. Nella reazione compare una resistenza, per fornire la tensione di polarizzazione allingresso, ma il suo contributo deve essere trascurabile. Funzioni fondamentali: 1.Massimizzare la raccolta di carica. Efficienza di raccolta: se AC f >>C d. 2.Ottimizzare le prestazioni rispetto al rumore. 3.Fornire il primo stadio di signal shaping. 4.Fornire un adattamento di impedenza (raro). Il preamplificatore è tagliato su misura per ogni rivelatore

75 75 Disegno di un amplificatore di carica La configurazione operazionale che forma il nucleo dellamplificatore di carica deve avere queste caratteristiche: 1.Alto guadagno invertente ad anello aperto 2.Alta impedenza dingresso; 3.Alto prodotto guadagno-banda; 4.Basso rumore; 5.Dispositivo dingresso adattato al rivelatore. Non è invece necessario che abbia ingresso differenziale, anzi è controindicato dai punti 3 (lingresso non invertente contribuisce comunque al rumore) e 4. Non sarà quindi un amplificatore operazionale commerciale. Il punto 2, per quanto visto a proposito dellimpedenza dingresso di un operazionale con reazione R||C, porta a dire che il polo dominante dellamplificatore deve essere maggiore del polo dellimpedenza (ω 0 >>ω f ). Tutto ciò porta a concludere che un operazionale commerciale è poco indicato per realizzare un amplificatore di carica.

76 76 Un amplificatore a componenti discreti con ingresso JFET Lamplificatore qui presentato, nonostante la semplicità, mostra eccellenti prestazioni per costruire un amplificatore di carica. È uno schema derivato, con qualche modifica, dal classico schema di Radeka. A ol ÷ R l =0,4 ÷ 5 kΩ, Cl=50 pF GBW 400 MHz (simulati) Power 23 mW Q1=BF851A Q2 ÷ Q5 = HFA3096 Nota: lamplificatore è disegnato senza feedback. È chiaro che il gate dingresso ha bisogno di una tensione di polarizzazione, che sarà prelevata dalluscita mediante una resistenza di alto valore. Luscita quindi avrà un offset pari alla tensione V gs del JFET.

77 77 Il segnale di tensione V in sul gate induce un segnale di corrente i d =g m V in sul drain, che viene catturata (quasi) integralmente dal folded cascode Folded cascode v in idid

78 78 La corrente i d viene convertita in tensione sul carico attivo, costituito da una resistenza bootstrapped. Il generatore di corrente fornisce le correnti di polarizzazione senza caricare luscita. Il guadagno totale è dato da g m Z o dove Z o è limpedenza vista sul collettore di Q2 idid Generatore di corrente Carico attivo

79 79 Lo stadio duscita è costituito da un emitter follower con un booster di corrente che ne abbassa ulteriormente limpedenza duscita. La correte su carico si ripartisce su Q3 e Q4 in proporzione inversa al rapporto delle resistenze di collettore, su Q4, e di emettitore, su Q3. Emitter follower booster

80 80 Il risultato è un amplificatore con unottima risposta in frequenza, seppure alquanto sensibile al carico. R l =400 Ω R l =5 kΩ GBW=400 MHz ω o1 MHz

81 81 Un amplificatore integrato MOSFET Questo invece è lamplificatore in tecnologia MOS, integrato nel chip HELIX, usato nel read out del microvertice di ZEUS Level shifter Il MOS dingresso ha piccola gate length ( alta risposta in frequenza) e grande gate width ( grande g m ). Non ha buffer duscita perché è usato con un carico ben definito, che partecipa alla definizione del guadagno. cascode Resistenze variabili

82 82 Filtro o Shaper. Subito dopo il preamplificatore di carica viene il cosiddetto shaper che svolge le seguenti funzioni fondamentali: 1.Filtrare il segnale in modo da ottimizzare il rapporto segnale/rumore (teoria del filtro ottimo). 2.Dare al segnale una forma adeguata alle successive elaborazioni: la carica è misurata dal valore di picco della forma donda, il tempo dallistante di occorrenza del picco. Nel caso di soluzione a componenti discreti esso si trova, in tutto o in parte, lontano dal rivelatore, per minimizzare la dissipazione di potenza dentro il rivelatore. Il che comporta lo sviluppo di componenti dedicate alla trasmissione (line driver). Nel caso di soluzione integrata, solitamente il chip di front end alloggia tutta la catena fino alla digitalizzazione.

83 83 Teoria del filtro ottimo Per trovare qual è il filtro con il quale si ottiene il migliore rapporto segnale/rumore, bisogna tornare a guardare lintero sistema, compreso il rivelatore (rappresentato dalla sua impedenza equivalente, Z d ). Il filtro che segue il preamplificatore è rappresentato dalla sua funzione di trasferimento H f (s), di modo che la funzione di trasferimento dellintera catena è H(s)=-Z f (s)·H f (s) Si dimostra che esiste una forma di H(s) che permette la misura del segnale dingresso con il migliore rapporto segnale/rumore. Cercheremo poi le migliori realizzazioni pratiche del filtro ottimo, che concilino semplicità costruttiva con buone prestazioni, anche nei confronti di altre cause di perdita di risoluzione, diverse dal rumore casuale.

84 84 Spettro di rumore in ingresso Usando un principio già enunciato, tutto il rumore del sistema è rappresentato dai due generatori di rumore serie e parallelo, e ricordando che pesano di più i generatori di rumore vicini alla sorgente, con buona approssimazione tutto il rumore può essere ricondotto a pochissimi elementi. In questa rappresentazione si ha: Rumore parallelo i n dovuto a: Rumore termico di Rd Rumore termico di Rf Rumore shot della corrente di leackage del detector Rumore shot del dispositivo dingresso dellamplificatore Rumore 1/f Rumore serie e n dovuto a: Rumore riportato in ingresso dei primi dispositivi dellamplificatore (transistor dingresso, resistenza di drain, cascode…) Rumore 1/f

85 85 Rappresentando globalmente la componente bianca del rumore parallelo mediante la resistenza di rumore equivalente, lo spettro del rumore parallelo vale: Il termine tra parentesi esiste nel caso che il dispositivo dingresso sia un JFET o un MOS (molti autori lo trascurano comunque). Analogamente, il rumore serie si può scrivere: Per portare in uscita il rumore bisogna trovare le funzioni di trasferimento del circuito rispetto ai due generatori, che sono:

86 86 Spettro di rumore in uscita al filtro Lo spettro di rumore in uscita viene determinato mediante la relazione fondamentale: La applichiamo a ciascuna delle due sorgenti e sommiamo i contributi: Osservando che è: (R f ||R d indica il parallelo di R f e di R d )

87 87 E inserendo le precedenti espressioni degli spettri dingresso, lo spettro duscita diviene: rumore parallelo rumore serie rumore 1/f Conviene introdurre qualche approssimazione: R p R s << (R f ||R d ) 2 C f << C d Trascuriamo tutto il rumore 1/f, assumendo che il filtro abbia un adeguato taglio in bassa frequenza.

88 88 Con queste approssimazioni, lo spettro duscita diviene: La quantità tra parentesi quadre è chiaramente lo spettro del rumore totale riportato in ingresso come sorgente parallela, e può essere scritto come: La quantità c è detta noise corner time constant Ora bisogna ricordare una formula presentata nelle teoria del rumore, e un paio di proprietà della trasformata di Fourier: con

89 89 Da cui si ottiene che la varianza del rumore in uscita vale: Quindi la varianza del rumore in uscita dipende dalla forma, nel dominio del tempo, della risposta allimpulso del filtro. Poiché Q·h(t) è la risposta del sistema allimpulso di carica in ingresso Q · (t), misurando la risposta allinstante t M in cui il segnale ha la massima ampiezza, sarà possibile determinare Q con la migliore precisione. Si definisce rapporto segnale/rumore la quantità: Ovvero il rapporto tra il segnale duscita, misurato al picco, e il valore rms del rumore in uscita.

90 90 ENC Si definisce Equivalent Noise Charge (ENC) la carica in ingresso che fornisce un segnale pari a σ no, ovvero la carica per la quale si ha un rapporto segnale/rumore pari ad 1. Quindi : LENC è il parametro fondamentale per esprimere la qualità, rispetto al rumore, di una catena di amplificazione (ed è determinato quasi esclusivamente dal preamplificatore di carica). Se definiamo h n (t)=h(t)/h(t M ) [cioè la normalizziamo ad altezza unitaria] si può scrivere: La ricerca del filtro ottimo si basa sulla minimizzazione dellENC al variare della h n (t).

91 91 Filtro ottimo Nelle ipotesi usate (segnale dingresso impulsivo, rumore bianco), si dimostra che il filtro ottimo è descritto dalla forma: Ma un filtro con questa caratteristica è concettualmente impossibile da realizzare … (è definito da t=-, conseguenza dellaver usato la trasformata di Fourier).

92 92 Tuttavia lENC del il filtro ottimo costituisce il termine di paragone per tutti i filtri realizzabili: Per i filtri realizzabili si definisce un fattore di merito, dato dal rapporto dellENC con quello del filtro ottimo:

93 93 Altre cause di perdita di risoluzione Deficit balistico. Compare quando la durata dellimpulso dingresso è non trascurabile e variabile. Si compensa con una h(t) a sommità piatta di durata superiore alla massima (ragionevole) durata dellimpulso dingresso. Dallintegrale di convoluzione si vede che con questa forma la risposta ha ampiezza di picco indipendente dalla durata dellimpulso dingresso. Pile-up. Compare quando la frequenza degli impulsi dingresso è tale da provocare sovrapposizione delle risposte. Si minimizza richiedendo una h(t) più corta del periodo medio tra gli impulsi dingresso, con rapido ritorno a zero. Nei rivelatori asincroni la probabilità di pile-up non può essere mai eliminata del tutto. Oltre al rumore casuale, ci sono altre cause che provocano perdita di risoluzione nella misura del segnale, e che condizionano la scelta del filtro.

94 94 Rumore a bassa frequenza (microfonicità, rumore 1/f …). Si riduce introducendo un taglio a bassa frequenza. Un taglio a frequenza molto bassa (i.e. accoppiamento in AC) produce perdita di risoluzione per baseline shift. Un taglio a frequenza meno bassa produce una formatura bipolare, che ha scarso fattore di merito, scarse prestazioni verso il deficit balistico e il pile-up, ma può essere lestrema ratio contro rumore a (non tanto) bassa frequenza. Rumore dinterferenza e di massa. Bisogna curare shielding, grounding e layout circuitale. In linea di principio non ha influssi sulla scelta del filtro.

95 95 Filtri reali Esiste unincredibile varietà di soluzioni per realizzare filtri, alla ricerca del miglior compromesso tra le diverse esigenze. In tutti si verifica che gli integrali nellespressione dellENC assumano la forma: LENC dei filtri diventa allora: Dove K p e K s dipendono solo dalla forma di h(t), normalizzata in altezza e durata, e sono dei parametri specifici di ciascun filtro. Il tempo di picco viene detto shaping time

96 96 Dato un particolare filtro, con definite K p e K s il rumore (ENC) ora dipendono solo dallo shaping time, ed esiste un valore che lo minimizza.

97 97 Una veloce panoramica …

98 98 Una nota sul nome di filtri molto comuni I più comuni filtri time invariant (cioè, che non usano curcuiti commutati o linee di ritardo) vengono indicati con denominazioni del tipo CR-RC o CR-(RC) 4 ecc … Queste denominazioni derivano da una rappresentazione equivalente un po datata e, a mio avviso, fuorviante. Ad esempio, la forma normalizzata del così detto filtro CR-RC è ed è la risposta di un filtro a due poli reali coincidenti, che non contiene alcun circuito CR (infatti è perfettamente unipolare).

99 99 Cancellazione polo-zero Questo è un circuito che si incontra frequentemente nel disegno dei filtri per elettronica di front end. È una funzione che ha uno zero e tre poli. Se lo zero in 1/R 1 C 1 viene fatto coincidere con il polo in 1/R f C f, e gli altri due poli vengo posto allo stesso valore, la funzione si semplifica in: Supponiamo (come spesso è) che la τ f del preamplificatore sua molto maggiore dello shaping time desiderato, con un circuito così si può cancellare il polo del preamp e portare il filtro alla forma voluta. La funzione di trasferimento del circuito è:

100 100 Bisogna prestare attenzione che in uscita al preamp si può avere un notevole pile-up; quindi il preamp deve avere adeguato range dinamico. Che realizza un filtro a due poli reali coincidenti, con risposta:

101 101 Filtri semigaussiani Tra le curve analitiche che meglio approssimano la cuspide del filtro ottimo cè la gaussiana, che però è anchessa irrealizzabile, essendo definita da t=-. La si può approssimare, con approssimazione crescente al numero di poli, con filtri a molti poli reali coincidenti (cfr. esempi a pag. 97), e ancor meglio (per fattore di merito del filtro e minor uso di elettronica), con filtri a poli complessi coniugati, per i quali si dimostra che esiste una disposizione ottimale dei poli (5). Il bulding block di base per questi filtri è il passa basso attivo del secondo ordine, che con un solo OpAmp realizza una coppia di poli complessi coniugati. Non si trovano molto frequentemente, perché difficili da analizzare, ma sono molto efficienti. Il fattore di merito è attorno a 1,20-1,15 e decresce molto lentamente allaumentare del numero di poli.

102 102 Uno shaper semigaussiano commerciale E uno shaper semigaussiano a 2 coppie di poli complessi coniugati. Molto versatile, è ampiamente usato in spettroscopia nucleare. La funzione di trasferimento non è fornita dal costruttore, ma con un po di ingegno … Uscita dello shaper campionata a 10 MHz e interpolata con la f(t)

103 103 Uno shaper semigaussiano integrato E lo shaper del chip HELIX. Realizza una formatura semigaussiana a un polo reale (dovuto al preamp) e due poli complessi coniugati, con accoppiamento in AC. In questo caso il progettista, per minimizzare i componenti ha giocato con i poli interni degli amplificatori. Funzione di trasferimento e risposta allimpulso sono dati da:

104 104 I parametri della h(t) non sono noti con esattezza; sono stati determinati con tecniche di minimizzazione dallinterpolazione della risposta Le prestazioni al rumore del chip HELIX ENC(e - ) *C d (pF) ENC(20pF) 1200 e - S/N 20 (1 MIP = e - )

105 105 Adattamento ottimale con rivelatori ad alta capacità Quando il rivelatore ha alta capacità, il contributo dominante allENC è dato dal rumore serie: Si dovrà quindi lavorare con tempi di formatura lunghi (il che esclude luso di BJT) e cercare di massimizzare la trasconduttanza g m. Per un preamplificatore integrato, significa fare il MOS dingresso molto grande. Per un preamplificatore a discreti con JFET si può ottenere lo stesso risultato mettendo molti dispositivi in parallelo. Tuttavia, poiché aumentando la transconduttanza si aumenta anche la capacità dingresso del dispositivo, ci sarà un valore limite a cui si ottiene il minimo ENC.

106 106 Per determinare le condizioni di ENC minimo osserviamo che: LENC diventa allora: ω t è la pulsazione di taglio del dispositivo. È un parametro del processo di produzione. Per i migliori JFET è circa 5·10 9 s -1 C d include tutte le capacità connesse in ingresso; ora assumo che ci sia solo il rivelatore ed il dispositivo dingresso (trascuro le interconnessioni) La resistenza di rumore serie per un JFET o MOS è circa 0,7/g m. Assumo Rs1/g m per tener conto approssimativamente anche degli altri contributi.

107 107 La condizione di minimo si trova uguagliando a zero la derivata rispetto a C i. LENC minimo si trova a C i 0,9·C d e vale: Quindi si possono mettere JFET in parallelo, o aumentare le dimensioni del MOS, fino quasi a raggiungere la capacità del rivelatore. Naturalmente la cosa funziona fino a capacità del rivelatore ragionevoli; non si possono mettere troppi dispositivi in parallelo (le capacità parassite crescono anchesse) né fare MOS grandi a piacere.

108 108 Un esempio di matching capacitativo Preamplificatore a componenti discreti per lettura di PIN diode da 5 cm 2 (read out di HPD)

109 109

110 110 Matching con trasformatore Per capacità del rivelatore ancora maggiori il rivelatore può essere accoppiato al preamplificatore mediante un trasformatore. Usando le relazioni ideali di ingresso/uscita di un trasformatore: il circuito sul primario viene riportato sul secondario con il circuito equivalente mostrato in figura. Quindi, la carica viene ridotta di un fattore n, ma la capacità viene ridotta di un fattore n 2, permettendo un miglioramento del rapporto segnale rumore. I risultati in realtà sono assai meni brillanti, a causa dei molteplici problemi che presenta un trasformatore reale. Cfr rif. 17 e 18

111 111 Terminazione attiva In qualche raro caso non si può assolutamente mettere il preamplificatore vicino al rivelatore, ed il segnale deve venire portato con una linea di trasmissione (non è una situazione esclusiva dei rivelatori di particelle). Situazione analoga si ha con laccoppiamento tramite trasformatore, che deve essere caricato su una resistenza perché non induca oscillazioni. In questi casi si dovrebbe mettere in seria una resistenza, che darebbe un contributo al rumore maggiore di quello dellamplificatore. Si ricorre allora alla terminazione attiva; amplificatori che hanno impedenza dingresso reale che non contribuisce al rumore. Si parla anche di resistenza fredda.

112 112 Il punto fondamentale sta nel disporre di un amplificatore ad alto guadagno, con polo dominante a frequenza molto bassa. Il circuito equivalente di un tale amplificatore potrebbe essere questo: in cui Ro è la resistenza (virtuale) vista in collettore del cascode e Co è la capacità (reale, ma con il contributo di capacità parassite) sullo stesso nodo. Per compensare leffetto della capacità Ci dingresso del transistor (JFET o MOS), nella rete di feedback viene aggiunta una resistenza Rfs in serie a Cf.

113 113 In queste condizioni il guadagno ad anello aperto vale: Se si pone R o C o =R f C f, trascurando per ora Ci e Rfs, limpedenza dingresso diviene: che è reale (resistiva), a cui si aggiunge in parallelo Ci. Aggiungendo in serie a C f una resistenza R fs è possibile compensare la presenza di Ci e mantenere Z i reale fino a frequenze abbastanza alte (secondo Radeka …).

114 114 Un preamplificatore commerciale E quanto di meglio offra il mercato (a circa 500 …)

115 115 Preamplificatore a componenti discreti per rivelatore a bassa capacità per esperimento DONEVET (maggio 1988)

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118 118 Filtro ottimo per la misura del tempo La misura dellistante di occorrenza degli eventi è linformazione primaria dei sistemi di trigger. Viene anche usata per la localizzazione dellevento (camere a drift, localizzazione longitudinale mediante misura di ritardi …). La teoria del filtro ottimo dice che la forma migliore è quella che, allistante della misura, passa per zero con la massima pendenza, minimizzando il time jitter dovuto al rumore. Quindi la migliore forma per la misura di tempo è la derivata del filtro ottimo per la misura di energia. La determinazione del tempo si fa quindi con un discriminatore zero crossing, che è esente da time walk (non risente dellampiezza del segnale). Il deficit balistico e il pile-up contribuiscono al time jitter; bisogna scendere a compromessi diversi da quelli per la misura di energia (la formatura a flat top non è buona per la misura di tempo). Hanno un grave svantaggio: linformazione temporale è disponibile solo dopo il tempo di picco (intollerabile per i sistemi di trigger). Di conseguenza, prevalentemente la misura di tempo è fatta mediante discriminatori.

119 119 Acquisizione Lampiezza del segnale duscita dello shaper è proporzionale alla carica depositata nel rivelatore. Il segnale deve essere quindi campionato al valore di picco e digitalizzato. Esistono varie soluzioni circuitali, che dipendono anche del sistema di acquisizione nel cui contesto il canale analogico è inserito (ADC per ciascun canale o ADC asservito a molti canali). Sample & Hold Peak Detector Pipeline analogica (Sampling continuo e processamento digitale – non presentato in questo corso)

120 120 Sample & Hold (Track & Hold) Lo schema di principio è assai semplice: a switch chiuso la tensione duscita segue lingresso, Quando lo switch si apre, il valore della tensione dingresso resta memorizzato sul condensatore Ch e mantenuto per il tempo necessario alla conversione. Chiaramente lOpAmp deve avere ingressi a MOS. Se lADC è asservito a molti canali, il S&H deve mantenere la tensione con errore trascurabile anche per il tempo di multiplexing e conversione di tutti i canali Il comando sul gate dello switch è fornito da un sistema di trigger, allistante in cui il segnale analogico raggiunge il picco.

121 121 In pratica, ci sono svariati problemi che complicano il disegno di un buon S&H: 1.Iniezione di carica dal segnale di commando dello switch. La tensione di commutazione applicata al gate dello switch inietta, attraverso le capacità parassite, della carica che disturba il segnale memorizzato nel condensatore. 2.Feedtrough del segnale dingresso. A switch aperto la capacità di feedtrough forma un partitore capacitivo con la capacità di hold. 3.Ritardo di fase della tensione sul condensatore. La resistenza Ron dello switch chiuso con la capacità Ch forma un passa- basso che ritarda la tensione sul condensatore rispetto allingresso. 4.Ritardo di commutazione dello switch. Lo switch commuta con un po di ritardo rispetto a segnale su gate 5.Perdite di carica sul condensatore. La carica sul condensatore subisce perdite per varie cause: corrente di bias dellOpAmp, leackage dello switch e del condensatore stesso. 6.Rilassamento della tensione sul condensatore. I tempi di polarizzazione dei dielettrici dei condensatori, che per certi dielettrici possono arrivare alle decine di secondi, provocano un rilassamento della tensione sul condensatore, anche con tempi alquanto lunghi.

122 122 Contro liniezione di carica si può ricorrere a switch analogici basati su pass gateche, in opportune condizioni, minimizzano liniezione di carica. Per contro, le capacità parassite sono più alte rispetto ad un singolo MOS MAX313 quad analog switch SD5000 quad D-type N-channel MOS

123 123 La perdite di carica dovute alle correnti di leakage e di bias si possono compensare con questo circuito: Assumendo che condensatori, switch e correnti di bias siano uguali, la deriva sui due condensatori è uguale mantenendo, in prima approssimazione, costante luscita. Anche liniezione di carica e viene compensata. Il ritardo di fase e il ritardo di commutazione agiscono in direzioni opposte e in qualche misura si compensano. Il feedtrough si minimizza imponendo un valore alto alla capacita di hold. Si impone che la frazione di segnale che passa a switch aperto sia minore della risoluzione dellADC. Poiché una capacità alta è controindicata in fase di ritorno in tracking, si può ridurre il feedtrough con una resistenza in serie allo switch; ciò aumenta il ritardo di fase e il segnale di hold deve essere opportunamente ritardato.

124 124 Il rilassamento della tensione sul condensatore, dovuto ai ritardi di polarizzazione del dielettrico, può essere ridotto usando condensatori con dielettrici veloci e a bassa perdita (mica, policarbonato, teflon …). Questo è un circuito completo (da rif. 16), con reazione globale che offre maggiore precisione, e con circuiti di compensazione delle perdite e di protezione del buffer dingresso. La resistenza r è richiesta per ragioni di stabilità del circuito nella fase di ritorno in tracking, ed introduce un ritardo di fase che va compensato con un opportuno ritardo sul segnale di hold.

125 125 Peak Detector Anche in questo caso il circuito è concettualmente molto semplice. A switch aperto luscita segue lingresso se esso è crescente; rimane stabile se è decrescente. Lo switch viene chiuso per resettare il sistema ad acquisizione completata. Di fatto le complicazioni sono anche maggiori del S&H, e la precisione è minore, essenzialmente perché è difficile compensare le perdite che avvengono durante lo spegnimento del diodo, e a causa del ritardo (deve uscire dalla saturazione) con cui il primo amplificatore si mette in tracking quando il diodo rientra in conduzione.

126 126 In pratica, quando è necessario realizzare un peak detector di precisione, si costruisce un S&H con un circuito che riconosce il picco.

127 127 Questo è un vero Peak Detector, con reazione globale. Lo stato di tracking o reset è comandato da una coppia differenziale. Liniezione di carica allo spegnimento del diodo è minimizzata tenendo molto bassa la sua corrente diretta. La precisione poggia su un accurato bilanciamento delle correnti dei generatori. Lanalisi è un po complicata (cfr. rif. 16 pag 383)

128 128 Questo è un circuito di Peak Detection suggerito da una application note Intersil (an1309), che restituisce la modulante di un segnale modulato in ampiezza. Per adattarlo come peak detector per un segnale di uno shaper, R23 va sostituita con uno switch. Il circuito attorno a Q1 serve a prevenire la saturazione del primo OpAmp. R1, R2 e C3 vanno tunati con la risposta in frequenza dello shaper.

129 129 Pipeline analogica È una struttura in cui la tensione analogica dingresso viene campionata e conservata su un array di condensatori. Dal punto di vista circuitale può essere visto come un S&H con condensatori multiplexati. Permette sia il campionamento continuo della tensione dingresso, per la ricostruzione della forma donda, attivando in successione gli switches; sia il campionamento di più eventi che occorrano sullo stesso ingresso, permettendo realizzare multi event buffers ( sistemi DAQ privi di tempo morto). In questo caso gli switches devono essere controllati da una opportuna logica di controllo, pilotata dal sistema di trigger. E realizzabile solo in tecnologie VLSI Pipeline 128x141

130 130 ADC Lultimo stadio della catena analogica: la conversione analogico-digitale. Lingresso analogico è convertito in un numero binario per il successivo processamento digitale. I parametri essenziali che definiscono un ADC: Range dinamico (FS=Full Scale) Numero di bits (N fs =2 N -1) Tempo di conversione Da questi si ricava il guadagno, o risoluzione: Gain=FS/N fs

131 131 Gli errori più comuni di cui è affetto un ADC: Offset error Gain error Integral non linearity Differential non linearity Non monotonicità

132 132 Alcune architetture di ADC ADC Wilkinson. È larchitettura più antica (1950). Un condensatore caricato alla tensione del segnale dingresso (potrebbe essere il condensatore di memoria del S&H o del Peak Detector) viene scaricato con corrente costante. Il tempo di scarica, misurato da un contatore con un clock ad alta frequenza, fornisce la conversione. La conversione richiede fino a 2 N cicli. Ha buone prestazioni. Richiede elettronica di qualità. È ancora usato in spettroscopia nucleare.

133 133 ADC ad integrazione dual slope. Un integratore viene caricato con il segnale dingresso per un tempo fisso, quindi scaricato con corrente costante; il tempo di scarica è proporzionale al segnale dingresso. La conversione richiede fino a 2 N cicli, più il tempo di carica. La tecnica dual slope fornisce una conversione indipendente dai componenti critici R e C Adatto a segnali lenti. Buone prestazioni di linearità e risoluzione. Richiede elettronica analogica e componenti di alta qualità.

134 134 ADC ad inseguimento. Un contatore Up/Down alimenta un DAC, la cui uscita viene confrontata con il segnale dingresso. Luscita del discriminatore controlla la direzione del contatore. La conversione è data dal contatore, quando il DAC ha agganciato lingresso: richiede fino a 2 N cicli. In grado di inseguire segnali relativamente veloci. Ottime prestazioni di linearità (legate alla qualità del DAC, che è facilmente integrabili con buone prestazioni di linearità). Realizzazione semplice; poca elettronica analogica, ed elettronica digitale semplice.

135 135 ADC ad approssimazioni successive La logica di controllo alza un bit alla volta di un registro a N bits, a partire dal più pesante. Il contenuto del registro viene convertito in valore analogico da un DAC, e confrontato mediante un discriminatore con il valore dingresso. Il bit viene tenuto o rifiutato a seconda delluscita del discriminatore. La conversione richiede N cicli. Velocità di campionamento 10 Ms/s Risoluzione bit. Ottime prestazioni di linearità (legate alla qualità del DAC). Realizzazione semplice; poca elettronica analogica, ed elettronica digitale moderatamente complessa. E larchitettura attualmente più diffusa.

136 136 Flash ADC E il convertitore più veloce: 100 Ms/s e oltre. Ha una limitata risoluzione: 8-10 bits (n. di comparatori = 2 n -1) Linearità limitata dalla qualità del partitore resistivo. Molto costoso, non è integrabile in piccole dimensioni, richiede molta energia, ma è insostituibile in applicazioni ad alta velocità.

137 137 ΣΔ ADC (One bit ADC) Fornisce uno stream di bits (ampiezza fissa) a frequenza molto elevata (oversampling), in cui la densità di 1 è proporzionale allampiezza del segnale dingresso. Un contatore con clock alla frequenza di oversamplig, resettato alla frequenza di sampling, fornisce la conversione. Relativamente lento (1 Ms/s). Risoluzione molto spinta (fino a 24 bit) E molto economico (parte analogica ridottissima; parte digitale molto complessa, ma facilmente integrabile in VLSI). Poco usato, per ora, in sistemi di acquisizione.

138 138 Riferimenti e bibliografia. 1.P. Reahk. Detection and Signal Processing in High Energy Physics. Rendiconti della Scuola Internazionale di Fisica Enrico Fermi LXXXIV corso (1981). 2.F. Sauli. Principles of Operation of Multiwire Proportional and Drift Chambers. Cern (1977). 3.H.A. Haus. Rappresentation of Noise in Linear Twoports. Proc. IRE, vol 48 (1960). 4.P.W. Nicholson. Nuclear Electronics. J. Wiley. 5.S. Ohkawa et al. Direct Synthesis of the Gaussian Filter for Nuclear Pulse Amplifier. NIM 138 (1976) E. Gatti, P.F. Manfredi. Processing the Signal from Solid State Detector in Elementary-Particle Phisics. La rivista del Nuovo Cimento, vol 9 serie 3 num 1 (1986). 7.H.W. Ott. Noise Reduction Techniques in Electronic Systems. J. Wiley. 8.R.A. Boie, A.T. Hrisoho, P. Rehak. Signal Shaping and Tail Cancellation… NIM 192: , H. Spieler. Semiconductor detector systems. Oxford University Press. 10.A. Papoulis. Probabilità, variabili aleatorie e processi stocastici. Boringhieri. 11.J.B. Johnson. Thermal Agitation of Electric Charge in Conductors. Phys.Rev. Vol. 32 (1928) pp H. Nyquist. Thermal Agitation of Electric Charge in Conductors. Phys.Rev. Vol. 32 (1928) pp M.S. Kesher. 1/f Noise. Proc. IEEE vol. 70 (1982) pp D. Wolf. 1/f Noise. Da: Noise in Physical Systems. Springer-verlag 15.Van der Ziel. Noise in Measurements. J. Wiley 16.P.F. Manfredi, P. Maranes, T. Tacchi. Lamplificatore operazionale, Boringhieri 17.E. Gatti, P.F. Manfredi, D. Marioli. Limitations in Transformer Coupling between Radiation Detectors and Head Amplifier. NIM, vol. 193, (1982) pp E. Gatti, P.F. Manfredi, G. Ripamonti. On the Correct Choiche of Transformer Ratio in Low Noise Preamplifiers for Large detectors capacitance. NIM-A, vol , (1987) pp


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