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UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI ROMA "TOR VERGATA ATTIVITA FORMATIVA Docente: Roberta Dal PassoStudenti: Enzo Ferrazzano Luca Burini A.A 2003/2004.

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1 UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI ROMA "TOR VERGATA ATTIVITA FORMATIVA Docente: Roberta Dal PassoStudenti: Enzo Ferrazzano Luca Burini A.A 2003/2004

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3 semplificazione Moto in un fluido viscoso continuo

4 semplificazione

5 semplificazione

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7 Concetti preliminari

8 -concetti preliminari- Le equazioni di ricorrenza Le equazioni del tipo, con sono dette Le equazioni di ricorrenza Definizione

9 -concetti preliminari- Le Mappe e i Sistemi Dinamici Le Mappe e i Sistemi dinamici Definizione Come orbita di sotto lazione di intendiamo la seguente sequenza bi- infinita se è invertibile Oppure, se non è invertibile

10 -concetti preliminari- Le Mappe e i Sistemi dinamici Classificazione dei Sistemi Dinamici in base alla natura delle Mappe Sistema dinamico lineare Sistema dinamico NON lineare

11 -concetti preliminari- Punti fissi Definizione Un punto è un punto fisso se è un p unto fisso se Asintoticamente stabile se se n nn non è stabile Se Teorema 1

12 -concetti preliminari- Punti fissi Definizione periodico Un punto p è detto periodico di ordine k se Definizione punto periodico attrattore Sia p un punto periodico di ordine k, definiamo p un punto periodico attrattore se Definizione p un punto periodico repulsore se non è attrattore ciclo k-periodico se Linsieme è detto ciclo k-periodico se e

13 -concetti preliminari- Ordine di Sharkovsky Ordine di Sharkovsky Nuovo ordinamento dei numeri naturali Prima tutti i numeri dispari … … poi i numeri dispari moltiplicati per 2… … e per le potenze di 2… … e quindi le potenze di 2 in ordine decrescente Teorema di Sharkovsky Sia, con f una mappa. Se f ha un punto di periodo k, essa avrà anche punti di periodo m, con m un numero qualsiasi che segue k nellordine di Sharkovsky. logistica

14 -concetti preliminari- Metodi di rappresentazione Metodi di rappresentazione delle Mappe unidimensionali C COBWEB DIAGRAM =

15 La Mappa Logistica

16 -La crescita logistica- CORREZIONE

17 -La mappa logistica- Considerazioni analitiche Dinamica delle popolazioni Inoltre Quindi Per garantire la reiterabilità di

18 -Crescita logistica- Convergenza Strutture nella mappa logistica Teorema 1 con Due punti fissi 1. Lunico punto fisso accettabile è Non sono contemplate popolazioni negative Poichè punto fisso stabile Un parametro di controllo inferiore allunità condanna la specie allestinzione

19 -Crescita logistica- Convergenza 2. Due punti fissi e ( positivi ) instabile Quindi per il punto fisso è stabile Convergenza seme x=0,2 seme x=0,8

20 Ritorno

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22 -Crescita logistica- Convergenza La mappa perde il punto stabile Andamento pre-caoticoOscillazione Periodo 2 Periodo 4 Lorbita oscilla tra un numero infinito di punti Esistono tuttavia particolari valori del parametro di controllo che garantiscono un andamento periodico della mappa Finestre di Periodicità In particolare, esiste un successione, per cui la mappa ammette un attrattore di periodo.

23 -concetti preliminari- Ritorno

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26 -Crescita logistica- Variazione del parametro Evoluzione della mappa al variare di A Ascisse: parametro di controllo Ordinate: valori assunti dalla mappa dopo alcune iterazioni di assestamento Dipendenza al variare del parametro n Proprietà qualitative comuni a tutte le mappe unimodali differenziabili

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28 Ritorno

29 Nicholas C. M MM Metropolis Paul S SS Stein Myron S SS Stein Le leggi della mappa Universalità strutturale La dipendenza al variare del parametro non è propria solo della mappa logistica, ma di tutte le mappe unimodali differenziabili. Mitchell Feigenbaum Successione La successione converge a con costante di Feigenbaum Detta d dd d la distanza tra le punte della prima biforcazione, le successive distanze tra le punte delle biforcazioni saranno con parametro di riduzione (oppure Costante di Omotetia)

30 -Crescita Logistica- Universalità Metrica Parametri e esistono e sono costanti in tutte le mappe unimodali differenziabili Verificata empiricamente da M.Feigenbaum e dimostrata formalmente da Oscar E. Lanford III nel caso unidimensionale. Esperimenti

31 -I nostri esperimenti- Se complichiamo la mappa, cosa succederà alle iterazioni? fl ess o Mappa logistica Mappa di prova

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35 -concetti preliminari-

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38 -I nostri esperimenti - La nostra funzione si comporta come la mappa logistica

39 Analisi qualitativa dellUniversalità Metrica

40 -Universalità Metrica- Analisi qualitativa Studio delle biforc azioni a b, Allora poichè Nei punti e landamento locale è identico Non è quindi riduttivo studiare solo un ramo del grafico a

41 - Universalità Metrica - La prima biforcazione La prima biforcazione Mappa iterata due volte n > 3n = 3n < 3

42 - Universalità Metrica - Analiticamente i punti fissi sono e costituiscono un ciclo 2-periodico Raddoppio del periodo Successione Orbita di periodo 3 Per il teorema di Sharkovsky Orbite di ogni periodo

43 Similitudine tra la prima e la seconda biforcazione Mappa iterata due volte n = 3.2n = 3.46

44 Levoluzione della zone evidenziate segue un andamento simile a quello della mappa iterata una sola volta (da n=1,5 a n=3 ).

45 - Universalità Metrica - Similitudine e ricorsività tra i grafici Vale anche per le iterazioni successive Sequenza infinita di raddoppi di periodo successione La Costante di Feigenbaum è indipendente ad un cambio di parametro della successione Le mappe delle iterate successive si comporteranno come la mappa della prima iterata

46 Dipendenza dalle condizioni iniziali

47 - Gli esponenti di Lyapunov - Gli Esponent i di Lyapuno v Regime dinamico caotico Dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali Piccole differenze sulle condizioni iniziali si amplificano enormemente fino a produrre traiettorie completamente diverse. stima delle velocità medie di convergenza o divergenza esponenziali delle traiettorie di un sistema caotico

48 Esponente di Lyapunov per una mappa Punto fisso Orbita stabile Punto fisso neutrale Orbita instabile e caotica Esponenti negativi sono tipici di sistemi dissipativi Esponenti nulli sono tipici di sistemi conservativi

49 - Gli esponenti di Lyapunov - Ulteriori informazioni

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51 Mappa Logistica e Equazioni di Navier-Stokes V. F FF Franceschini (1979, Università di Modena) Studio di fluidi idrodinamici e del passaggio alla turbolenza Sistema di 5 equazioni differenziali accoppiate del primo ordine Sostituisce le equazioni di Navier-Stokes Simulazione numerica Nel raddoppio del periodo si presentano le costanti di Feigenbaum Eckmann Kollet Koch In un sistema dissipativo multidimensionale guidato dopo lungo tempo tutte le variabili meno che una tendono a scomparire Universalità Metrica

52 Mappa Logistica e Modello di Lorenz Al variare di un parametro r, il modello di Lorenz ha un comportamento simile a quello della mappa logistica. In particolare Periodo transitorio pre-caotico Regime caotico alternato a finestre di periodicità I processi nascono come caotici, ma a lungo termine diventano periodici Le finestre di periodicità sono il dominio di diversi attrattori periodici Attraverso unapplicazione chiamata Zoccolo di Smale è possibile dimostrare alcune caratteristiche generali dei sistemi dissipativi

53 -concetti preliminari-

54 Lo zoccolo di Smale Applicazione bidimensionale che trasforma un insieme di punti in un piano

55 Insieme invariante Linsieme invariante non costituisce un attrattore. Tra tutti i possibili punti iniziali di S, quelli che sono ricorrenti in costituiscono un insieme di misura nulla. dipende dalla misura utilizzata Con probabilità 1, un punto scelto arbitrariamente nel quadrato rimarrà nel quadrato solo per un periodo transitorio. Traiettorie divergenti vengono riavvicinate Ulteriori informazioni

56 Lapplicazione di Henon Diagramma di biforcazione incredibilmente simile a quello di Feigenbaum

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58 -conclusioni- Not only in research, but also in everyday world of politics and economics, we would all be better off if more people realize that simple non-linear system do not necessarily possess simple dynamical proprieties Robert M. May, 1976


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