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POPOLAZIONI INTERAGENTI In natura nessuna popolazione è isolata. Nel caso di due specie che condividono un ecosistema si può avere: Competizione -Mutualismo.

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1 POPOLAZIONI INTERAGENTI In natura nessuna popolazione è isolata. Nel caso di due specie che condividono un ecosistema si può avere: Competizione -Mutualismo

2 Predazione-parassitismo

3 Popolazione dei predatori Popolazione delle prede In assenza di predatori: le prede aumentano in modo proporzionale (ipotesi del modello) tasso di accrescimento

4 In assenza di prede: I predatori diminuiscono (muoiono di fame) in modo proporzionale Tasso di mortalità Introduciamo linterazione tra le specie

5 MODELLO DI LOTKA-VOLTERRA interazione Alfred James Lotka demografo americano ( ) Vito Volterra matematico italiano ( )

6 proporzionale a p (tasso di mortalità) proporzionale a q (incontri) Interazione delle prede con i predatori: coefficiente di predazione per le prede La forma del termine di interazione segue la nota legge di massa azione della chimica: La velocità di collisioni molecolari di due specie chimiche in una soluzione è proporzionale al prodotto delle due concentrazioni

7 Interazione dei predatori con le prede: proporzionale al numero di prede (incontri-cibo) proporzionale al numero di predatori coefficiente di predazione dei predatori efficienza di predazione

8 Equazioni di Lotka-Volterra Quesiti Cosa cambia rispetto i modelli precedenti ad 1 popolazione Come si comportano le due popolazioni a lungo andare Le popolazioni raggiungono un equilibrio? E reale il rischio di estinzione delle prede? Sistema differenziale del I ordine

9 STABILITA DI SISTEMI DIFFERENZIALI DEL I ORDINE la coppia (x(t), y(t) ) può essere vista come un punto di coordinate (x,y) oppure come il vettore posizione x(t)=[ x(t), y(t)] x(t)=[ x(t), y(t)] Al variare di t il punto (x(t), y(t) ) descrive una traettoria che rappresenta graficamente la soluzione del sistema di equazioni t fissato:

10 Il vettore rappresenta la variazione istantanea in x e in y Piano delle fasi E linsieme delle direzioni: Vettore velocità tangente alla curva soluzione è chiamato vettore velocità

11 Esempio di spazio delle fasi Nel piano delle fasi è importante stabilire la posizione dei punti (x, y) in cui il vettore è nullo. In tali punti le variazioni delle funzioni x(t) e y(t) risultano nulle Sono pertanto i punti stazionari o punti di equilibrio

12 Nei punti in cui il vettore risulta: I punti stazionari sono lintersezione dellinsieme di punti in cui (x nullcline) con linsieme di punti in cui (y nullcline)

13 Nei punti in cui il vettore direzionale è parallelo allasse x y nullcline Nei punti in cui il vettore direzionale è parallelo allasse y x nullcline

14 Stati di equilibrio e diagramma delle fasi del modello Lotka-Volterra Equilibrio : le popolazioni non cambiano derivate nulle

15 P1 P2 Per il significato biologico ha interesse solo il quadrante Le rette e sono le due nullcline

16 P1 P2 zonaf1f1 f2f2 I< 0 II> 0< 0 III> 0 IV< 0> 0 I II III IV

17 P1 P2 I II III IV In assenza di prede (x=0) il punto P1 è attrattivo: estinzione (I predatori sopravvivono solo se ci sono le prede) P1 invece è repulsivo per le prede in assenza di predatori (y=0) (le prede aumentano se non ci sono i predatori)

18 Il livello di equilibrio della popolazione x (prede) è e quindi non dipende dai parametri della popolazione x, ma dipende dai parametri associati ai predatori. Affinchè le prede siano stazionarie, ( ) debbono crescere in modo che il tasso di predazione dei predatori si mantenga uguale al tasso di mortalità dei predatori D Affinchè i predatori si mantengano stazionari, ( ) il tasso di mortalità dovuto alla predazione deve mantenersi uguale al tasso di accrescimento A delle prede Il livello di equilibrio della popolazione y (predatori) è e quindi non dipende dai parametri della popolazione y, ma dipende dai parametri associati alle prede Il Punto P2: OSSERVAZIONI

19 P1 P2 I II III IV Attorno a P2 le traettorie hanno un comportamento ciclico: ad un aumento delle prede segue un aumento dei predatori, che a sua volta provoca una diminuizione delle prede, seguita da una diminuizione dei predatori e così via …

20 Esiste un equilibrio precario tra le forze che portano ad oscillazioni che aumentano e le forze che portano ad oscillazioni che diminuiscono Piccoli cambiamenti nel sistema possono rompere tale equilibrio Centro neutrale strutturalmente instabile

21 Spirale stabile Le traettorie potrebbero convergere a P2 seguendo delle spirali Caso generale Si possono avere diverse situazioni

22 Centro neutrale Oppure le traettorie potrebbero descrivere delle curve di forma ellittica attorno al punto P2

23 Spirale instabile Oppure le traettorie potrebbero allontanarsi da P2, seguendo delle spirali

24 Inoltre: se la soluzione è perturbata a partire da una determinata orbita, essa non torna allorbita iniziale, ma piuttosto segue una nuova orbita. Le soluzioni x e y girano attorno al punto P2. Il modello di Lotka –Volterra non è ecologicamente stabile Si può dimostrare che il punto P2 del modello di Lotka-Volterra è un centro neutrale Il punto stazionario non è attrattivo, cioè non è asintoticamente stabile

25 Dinamica e piano delle fasi di due popolazioni di tonni e squali

26 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Problema preda-predatore % Modello di Lotka-Volterra % % X'(t) = A X(t) - alpha X(t)Y(t) % Y'(t) = - D Y(t) + Beta X(t)Y(t) % X(0) = x0 Y(0) = y0 % % A tasso di crescita della preda % alpha coefficiente di predazione della preda % D tasso di mortalità dei predatori % Beta coefficiente di predazione del predatore %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear all global A alpha D Beta A =1;alpha=0.1;D=1;Beta=0.2; %Alpha=1;Beta=0.2;Gamma=1;Delta=0.1; t0=0; tf=20; tspan=[t0,tf]; y0=[6 2]'; h= 0.01;

27 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Risoluzione del sistema % di equazioni differenziali %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% options = [t,y] = tspan, y0,options); figure(2) subplot(2,1,1),plot(t,y) title('Soluzioni del problema di Lotka-Volterra') xlabel('tempo'); ylabel('popolazioni') legend('preda','predatore') subplot(2,1,2), plot(y(:,1),y(:,2),'b',D/Beta,A/alpha,'o') function F=fvolt(t,z) global A alpha D Beta F=[A*z(1) - alpha*z(2)*z(1); -D*z(2) + Beta*z(1)*z(2)]; return

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