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SISTEMI DEQUAZIONI ED EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI.

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Presentazione sul tema: "SISTEMI DEQUAZIONI ED EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI."— Transcript della presentazione:

1 SISTEMI DEQUAZIONI ED EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI

2 Argomenti della lezione Equazioni e sistemi dequazioni differenziali ordinarie Equazioni e sistemi dequazioni differenziali ordinarie Sistemi dequazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti continui Sistemi dequazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti continui

3 EQUAZIONI E SISTEMIDEQUAZIONIDIFFERENZIALIORDINARIE

4 Mostreremo, per iniziare, che unequazione differenziale dordine n è equivalente a un sistema dequazioni differenziali del primordine di n equazioni in n funzioni incognite. Sarà così plausibile la nostra affermazione che ogni sistema dequazioni differenziali dordine qualsiasi è equivalente a un sistema dequazioni del primordine in un numero opportuno di funzioni incognite.

5 Un sistema dequazioni differenziali di due equazioni in due funzioni incognite dordine 3 è per esempio il seguente (di forma normale: nel seguito per semplicità ci riferiremo a sistemi di forma normale.) y f(x,y,z, y, z, y) z g(x,y,z, y, z, y)

6 Unequazione dordine n, si scrive y (n) f(x,y, y,,y (n 1 ) ) ed è in generale accompagnata da opportune condizioni iniziali o al contorno Mostriamo come si possa trasformare lequazione data in un sistema equivalente di n equazioni del primordine in n funzioni incognite

7 Facciamo le seguenti posizioni y 1 y y 2 y y 3 y y n y ( n 1 )

8 Allora lequazione dordine n equivale al sistema del primordine y 1 y 2 y 2 y 3 y 3 y 4 y n f(x, y 1,y 2,,y n )

9 In generale, un sistema di n equazioni, ciascuna dordine m, è equivalente a un sistema di nm equivalente a un sistema di n m equazioni del primordine. Useremo la notazione Y per indicare un vettore colonna avente n componenti y 1, …, y n. In questo modo un sistema di n equazioni del primordine in n funzioni incognite, in forma normale, si scrive

10 in modo simile alla notazione di una sola equazione differenziale, dove Y F(x,Y) (1)

11 Y y 1 y 2 y n e

12 F(x,Y) f 1 (x,y 1,,y n ) f 2 (x,y 1,,y n ) f n (x,y 1,,y n )

13 In particolare, se si tratta di un sistema dequazioni lineari Y A(x) Y B(x)dove

14 B(x) b 1 (x) b 2 (x) b n (x)

15 e A(x) a 11 (x)a 12 (x) a 1 n (x) a 21 (x)a 22 (x) a 2 n (x) a n 1 (x)a n 2 (x) a nn (x)

16 Qui i coefficienti b i (x) e a ik (x) sono funzioni continue definite su un intervallo I (che può coincidere con tutto R) Il sistema (1) è, in generale, accompagnato da opportune condizioni iniziali; si vuole risolvere il Problema di Cauchy

17 Y = F(x,Y) (1) con le condizioni iniziali (2) Y(x 0 )=Y 0 Notiamo che la soluzione del pdC (1) + (2) si presta all interpretazione geometrica che già abbiamo messo in evidenza nella lezione introduttiva

18 Se la funzione è continua, allora esiste una soluzione del pdC. Se inoltre sono continue le derivate parziali delle componenti rispetto alle allora la soluzione locale è unica. Se la funzione F(x,Y) è continua, allora esiste una soluzione del pdC. Se inoltre sono continue le derivate parziali delle componenti f i rispetto alle y k allora la soluzione locale è unica.

19 Si noti che se non sono soddisfatte le condizioni sulla continuità delle derivate parziali, la soluzione può non essere unica Esempio y = |y| 1/2 y(x 0 ) = y 0 D y |y| 1/2 = 1/2 |y| -(1/2) sign (y)

20 Se y 0 è 0, allora la derivata parziale è continua in un intorno di y 0. Dunque la soluzione locale è unica. Ma se y 0 = 0, non cè continuità in alcun intorno di 0. In questo caso lunicità può mancare.

21 y(x) x x 0 2 y Se y 0 > 0, allora la soluzione è data da per x > x 0

22 Se y 0 < 0, allora la soluzione è data da y(x) x x 0 2 -y per x < x 0

23 Ma se y 0 = 0, allora cè una soluzione identicamente nulla, accanto alla soluzione y(x) x x per x > x 0

24 e alla soluzione y(x) x x per x < x 0

25 Il pennello di Peano x0x0x0x0 x y

26 SISTEMI DEQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE LINEARI A COEFFICIENTI CONTINUI

27 Ci occuperemo ora della soluzione del pdC relativo al sistema Y A(x) Y B(x) (3) Con le condizioni iniziali (4) Y(x 0 )=Y 0

28 Se le funzioni b i (x) e a ik (x) sono continue e definite su un intervallo I (che può essere tutto R) allora si può dimostrare che la soluzione esiste, è definita su tutto I ed è unica.

29 Accanto al sistema (3), detto completo, considereremo il sistema omogeneo Y A(x) Y (5) nel quale B(x) 0. Le soluzioni di (3) o di (5) sono funzioni definite su I a valori in R n, necessariamente continue con derivata prima continua. Cioè

30 sono funzioni di classe sono funzioni di classe C 1 (I,R n ). converrà considerare loperatore differenziale associato a (3) o a (5) Y A(x) Y (6) L(Y)= Che a ogni funzione Y(x): I RnRnRnRn associa Y(x) - A(x) Y; questa è una funzione continua su I a valori in R n. Cioè L è unapplicazione lineare da da C 1 (I,R n ) a C 0 (I,R n ).

31 Le soluzioni di (5) danno dunque il nucleo di L: ker(L). Teorema ker(L) C 1 (I,R n ) è un sottospazio di di dimensione n di C 1 (I,R n ). R n Ossia ker(L) è isomorfo a R n.

32 Si fissi un punto x 0 in I e sia Y(x) una soluzione di (5). Allora Y(x 0 ) è un vettore di R n. Se Y 1 (x) Y 2 (x) allora Y 1 (x 0 ) Y 2 (x 0 ) per lunicità della soluzione del pdC (5) + (4). Se poi Y 0 è un arbitrario vettore di R n esiste una soluzione di (5) + (4), per lesistenza della soluzione del pdC corrispondente. Lapplicazione N:ker(L) R n

33 definita da NY ( x ) () Y ( x 0 ) è un isomorfismo tra ker(L) e R n. Infatti abbiamo verificato che è biiettiva; inoltre è lineare. Ma spazi vettoriali isomorfi hanno la stessa dimensione: dim ker(L) = n. Esistono dunque n funzioni linearmente indipendenti soluzioni di L(Y) = 0: Y 1 (x), Y 2 (x),.., Y n (x).

34 Ogni soluzione di (5) è perciò una combinazione lineare delle precedenti funzioni Y 1 (x), Y 2 (x),.., Y n (x). Si noti che, date n soluzioni di (5), se esse, calcolate in un punto x 0, danno vettori lin. indipendenti di R n, allora sono l.i. in ogni altro punto di I. Ciò è conseguenza dellunicità della soluzione del pdC.

35 Mostriamo ora che tutte le soluzioni del sistema completo (3) sono del tipo Y(x) Z(x) Y(x) dove Z(x) è una soluzione del sistema omogeneo e Y(x) è una Soluzione particolare di (3).

36 Infatti L(Y) L(Z) L(Y) 0 B(x) B(x) Se poi abbiamo due soluzioni del sistema completo Y(x) e Y(x) la loro differenza soddisfa L(Y Y) L(Y) L(Y) B(x) B(x) 0 cioè Y(x) - Y(x) = Z(x) è una soluzione del sistema omogeneo.

37 Se Y 1 (x), Y 2 (x),.., Y n (x) sono soluzioni l.i. del sistema omogeneo, si dice che formano un insieme (o sistema) fondamentale di soluzioni del sistema (5). La matrice U(x) le cui colonne sono date da Y 1 (x), Y 2 (x),.., Y n (x) l. i., si dice una matrice Y n (x) l. i., si dice una matricefondamentale Si noti che se det U(x 0 ) 0 allora det U(x) 0 per ogni x in I.

38 Evidentemente per la matrice fondamentale U(x) vale lequazione U(x) - A(x) U(x) = 0 La soluzione generale del sistema omogeneo L(Y) = 0, è una combinazione lineare dellinsieme fondamentale:

39 Y(x) = c 1 Y 1 (x)+c 2 Y 2 (x)+.. +c n Y n (x) = =U(x) (c 1, c 2,.., c n ) T Il metodo della variazione delle costanti suggerisce di cercare per (3) una soluzione della forma Y(x) = U(x) Y(x) = U(x) Z(x)

40 Si trova U(x) Z(x) + U(x) Z(x) = = A(x) U(x) Z(x) + B(x) E quindi ( U(x) - A(x) U(x) ) Z(x)+ + U(x) Z(x) = B(x)

41 Ossia U(x) Z(x) = B(x) E finalmente Z(x) = U(x) -1 B(x)

42 Integrando Z(x) U 1 (t) B(t)dt E in conclusione Y(x) U(x)U 1 (t) B(t)dt

43 Il metodo per trovare un integrale particolare del sistema completo sarà utile anche nel caso di una singola equazione lineare completa dordine n.


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