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1 Elementi di Teoria della Probabilità TerminologiaTerminologia Operazioni su insiemi di eventiOperazioni su insiemi di eventi – unione – intersezione.

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1 1 Elementi di Teoria della Probabilità TerminologiaTerminologia Operazioni su insiemi di eventiOperazioni su insiemi di eventi – unione – intersezione Proprietà della probabilità ( 1, 2, 3, 4 )Proprietà della probabilità ( 1, 2, 3, 4 ) – I° esperimento – II° esperimento Eventi condizionatiEventi condizionati Proprietà Moltiplicativa della probabilitàProprietà Moltiplicativa della probabilità Teorema di BayesTeorema di Bayes

2 2 Terminologia esperimento unattività che produce risultati diversi nelle successive prove in cui viene ripetuta (lanciare una moneta, estrarre un soggetto a caso da un elenco) spazio dei risultati (o degli eventi) tutti i possibili risultati dellesperimento (testa o croce, somma di due dadi, maschio o femmina, età della persona) E evento semplice E i ogni elemento dello spazio dei risultati. Gli eventi semplici di un esperimento sono mutuamente esclusivi ( o incompatibili e collettivamente esaustivi evento composto un insieme di eventi semplici. Gli eventi composti non sono necessariamente mutuamente esclusivi.

3 3 Operazioni su Insiemi di Eventi unione di 2 eventi unione di 2 eventi = luno o laltro o tutti e due E 1 E 2probabilità(unione) = P(E 1 o E 2 ) = P(E 1 E 2 ) intersezione di 2 eventi intersezione di 2 eventi = luno e laltro E 1 E 2probabilità(intersezione) = P(E 1 e E 2 ) = P(E 1 E 2 ).OR..AND.

4 4 proprietà delle probabilità: 1.0 P(E i ) 1La probabilità di un evento E i è sempre un numero compreso tra 0 e P(E i ) 1 La probabilità di un evento E i è sempre un numero compreso tra 0 e 1 2. i P(E i ) = 1La somma delle probabilità di tutti gli 2. i P(E i ) = 1 La somma delle probabilità di tutti gli eventi E i spazio degli eventi è = 1 3.Regola della Somma della Probabilità 3.Regola della Somma della Probabilità: P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) - P(E 1 E 2 ) P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) - P(E 1 E 2 )

5 5 S=spazio campionario (totalità degli eventi) Definizioni A B A B S=spazio campionario (totalità degli eventi) _A S

6 6 I° esperimento: lancio di due dadi risultato = somma del valore della faccia superiore dei due dadi X= 6+5 (nellesempio)

7 7 x combinazioni possibili 2 1,1 3 1,22,1 4 2,23,11,3 5 2,33,24,11,4 6 3,34,22,45,11,5 7 3,44,35,22,56,11,6 8 4,45,33,56,22,6 9 6,33,65,44,5 10 5,56,44,6 11 5,66,5 12 6,6 x= somma dei 2 dadi X= somma della faccia superiore dei due dadi {2, 3, …, 12} p(x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

8 8 Regola della somma E 1 = [x pari]E 1 = [x pari] E 2 = [x 7])E 2 = [x 7]) P([x pari] [x 7]) = P(x pari) + P(x 7) - P(x {8,10,12}) = 18/ /36 - 9/36 = 30/36 P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) - P(E 1 E 2 )

9 9 x combinazioni possibili p(x) 2 1,1 1/36 3 1,22,1 2/36 4 2,23,11,3 3/36 5 2,33,24,11,4 4/36 6 3,34,22,45,11,5 5/36 7 3,44,35,22,56,11,6 6/36 8 4,45,33,56,22,6 5/36 9 6,33,65,44,5 4/ ,56,44,6 3/ ,66,5 2/ ,6 1/36 x= somma dei 2 dadi P([x pari] [x 7]) = P(x pari) + P(x 7) - P(x {8,10,12}) = 18/ /36 - 9/36 = 30/36

10 10 Se E 1 ed E 2 sono Mutuamente Esclusivi allora … P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) Esempio. P(somma= 2 3) = = Proprietà Additiva della probabilità 3. Proprietà Additiva della probabilità:

11 11 II° esperimento II° esperimento= estrarre una coppia {genitore ; figlio} Estrarre una coppia dalla distribuzione congiunta delle variabili … titolo di studio del genitore {titolo di studio del genitore; titolo di studio del figlio }.

12 12 evento evento= una coppia di valori: uno per ciascuna variabile titolo di studio del genitore elementaremediadiplomatotale titolo di studio del figlio elementare4105 media diploma totale Probabilità di eventi marginali : P(G d ) = P(titolo di studio del genitore = diploma) = 0,30 P(F d ) = P(titolo di studio del figlio = diploma) = 0,60 Probabilità dellunione di eventi: P(G d F d )=P[(genitore=diploma) o (figlio=diploma)] = 0,30+0,60-0,25 = 0,65 P(G e F e )=P[(genitore=element.) o (figlio=element.)]= 0,05+0,15-0,04= 0,16 P(G d F e )=P[(genitore=diploma) o (figlio=element.)] = 0,30+0,05-0,00= 0,35 Probabilità condizionata

13 13 Probabilità Condizionata Condizionare per un evento significa considerare quellevento come il nuovo spazio degli eventi. Per pesto motivo si divide per la sua probabilità. E come dividere per il totale di riga o il totale di colonna quando nella tabella ci sono frequenze invece di probabilità. Evento E2 Evento E1 SINO SI E 1 E 2 E2E2 NO E1E1 1,0 Cararrere docile (E 1 ) Capelli rossi (E 2 ) SiNo Si42125 No

14 14 Probabilità Condizionata P(F d | G e )= P[(figlio =diploma ) tra quelli con (genitore =elementari )] = 0,05/0,15 = 0,33 P(F d | G m )= P[(figlio =diploma ) tra quelli con (genitore =medie )] = 0,30/0,55 = 0,54 P(F d | G d )= P[(figlio =diploma ) tra quelli con (genitore =diploma )] = 0,25/0,30 = 0,83 EVENTI INDIPENDENTI Due eventi sono indipendenti quando la probabilità del primo condizionata al secondo è uguale alla probabilità del primo non condizionata (e viceversa) Se P(E 1 |E 2 ) = P(E 1 ) ed P(E 2 |E 1 ) = P(E 2 ) allora E 1 ed E 2 sono indipendenti allora E 1 ed E 2 sono indipendenti Vai alla tabella

15 15 Eventi Indipendenti? Esempio dei due dadi P(somma=10 | due dadi sono uguali) P(somma=10) 1/6 3/36 Falso P(somma=pari | due dadi sono diversi) P(somma = pari) 12/30 18/36 Falso P(dadi uguali | primo dado pari)= P(dadi uguali) 3/18 = 6/36 Vero P(primo dado pari | dadi uguali) = P(primo dado pari) 3/6= 18/36Vero Esempio dei titoli di studio di genitori e figli P(figlio con diploma | genitore con diploma) P(figlio con diploma) 0,83 0,60 Falso P(figlio con medie | genitore con diploma) P(figlio con medie) 0,16 0,35 Falso

16 16 4. Proprietà Moltiplicativa della probabilità Intuizione: Fingiamo per un attimo che E 2 si verifichi con certezza, e calcoliamo P(E 1 |E 2 ). Adesso, rilasciamo questo assunto; E 2 ridiventa un evento incerto, quindi moltiplichiamo per la probabilità di P(E 2 ). Il prodotto è la probabilità che E 1 ed E 2 si verifichino, cioè la probabilità dellintersezione dei due eventi. P(E 1 E 2 )=P(E 1 |E 2 )xP(E 2 ) Se E 1 ed E sono indipendenti P(E|E)=P(E1) Se E 1 ed E 2 sono indipendenti P(E 1 |E 2 )=P(E1) quindi P(EE) = P(E) x P(E) quindi P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) x P(E 2 ) Dalla definizione di probabilità condizionata si deriva la proprietà

17 17 Regola del prodotto Questo è un caso particolare della proprietà moltiplicativa: La probabilità che due eventi indipendenti si verifichino entrambi è uguale al prodotto delle loro probabilità (esempio: probabilità di fare testa due volte di seguito = = probabilità testa 1° lancio x probabilità testa 2° lancio = 0,5 x 0,5 = 0,25) Note: 1) due eventi mutuamente esclusivi non sono mai indipendenti 2) due eventi indipendenti, non sono mai mutuamente esclusivi P(EE) = P(E) x P(E) P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) x P(E 2 )

18 18 Evento certo: p(A 1 A 2... A n ) = p(I) = 1 Evento impossibile: p(B | [B I]) = 0 Evento complementare: Unione di eventi: p(A i A j )=p(A i ) + p(A j ) - p(Ai A j ) Evento condizionato: p(A i | A j ) = p(A i A j ) /p(A j ) Intersezione di eventi: p(A i A j ) = p(A j ) p(A i | A j ) Eventi incompatibili: p(A i A j ) = 0 regola della somma : p(A i A j ) = p(A i ) + p(A j ) Eventi indipendenti: p(A i | A j ) = p(A i ) regola del prodotto : p(A i A j ) = p(A i ) p(A j ) PROBABILITÀ: PROSPETTO RIASSUNTIVO Dato l'insieme I : {A 1, A 2,... A n I}

19 19 dado B dado A punti Un qualunque esito per uno dei due dadi può manifestarsi in concomitanza con un qualunque esito per l'altro dado. Se entrambi i dadi sono ben bilanciati, tutte le facce hanno la medesima probabilità di comparire. L'esito del lancio di uno qualunque dei due dadi è ininfluente sull'esito del lancio dell'altro dado.

20 20 Note: Punteggi ottenibili con due dadi da gioco a 6 facce dado B dado A punti

21 21 PROBABILITÀ DI UN EVENTO Evento: E = punteggio minore di 6 p(E)= p(2) + p(3) + p(4) + p(5) = = = dado B dado A punti

22 22 dado B dado A punti Evento:E (punteggio< 6) (punteggio 8) UNIONE DI EVENTI(1) Evento:E (punteggio< 6) (punteggio 8) + = p(E)= p(<6)+p( 8) = + = p(E)= 1 - [ p(6)+p(7)] = 1 - =

23 23 dado B dado A punti UNIONE DI EVENTI (2) Evento:E(punteggio PARI) (punteggio<6) p(E) = p(PARI) + p(<6) - p([PARI] [<6] = = + - =

24 24 dado B dado A punti INTERSEZIONE DI EVENTI (1) Evento:E (punteggio PARI) (punteggio<6) p(E)= p(PARI) p(<6|PARI) = =

25 25 B dado A punti INTERSEZIONE DI EVENTI (2) Evento:E= (A=1) (punteggio=7) p(E)= p(A=1) p(7|A=1) = = = nb: (A=1) e (punteggio=7) sono eventi indipendenti P(7) = p(7|A=1) = dado

26 26 B1B1 B2B2 BnBn p[A/B 1 ] p[A/B 2 ] p[A/B n ] A A A A1A1 A2A2 A3A3 S Esercizio Una ditta acquista fiale da tre diversi fornitori: il 65% dal fornitore B1, con difettosità del 5% il 25% dal fornitore B2, con difettosità del 10% il 10% dal fornitore B3, con difettosità del 25% Qual è la probabilità di ricevere una fiala difettosa? Soluzione P[B 1 ]+P[B 2 ]+P[B 3 ]=1 S=B 1 B 2 B 3 p[A 1 A 2 A 3 ]=p[A 1 ]+p[A 2 ]+p[A 3 ]-p[A 1 A 2 ]-p[A 1 A 3 ]-p[A 2 A 3 ]-p[A 1 A 2 A 3 ] di conseguenza, usando la stessa formula, p[B 1 /A]=0,394 p[B 3 /A]=0,303

27 27 In uno studio sui fattori di rischio per le patologie cardiache, è stata esaminata la relazione tra ipertensione (ia) e patologie coronariche (CHD) in soggetti di due diverse fasce di età anni > 65 anni CHD SiNoTotaleSiNoTotale IA Si No Totale In ciascuna fascia di età, le probabilità di essere affetti da patologie corona- riche sono maggiori o minor nei soggetti ipertesi ? E appropriato combinare le informazioni di queste due tabelle ? Perche si ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Perche no? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Esempio : calcolo dei valori attesi

28 28 In uno studio sui fattori di rischio per le patologie cardiache è stata esaminata la relazione tra: patologie coronariche ~ ipertensione arteriosa ed età anni > 65 anni CHD IASiNoTotaleSiNoTotale Si No Totale Sembra che patologie coronariche dipendano dall età … ma … N*p( ia chd | anni)= (2200) ( 746/2200) (1493/2200) = N*p( ia chd | > 65 anni)= (2313) (1189/2313) (2120/2313) = (N)*P(EE) = (N)*P(E) x P(E) (N)*P(E 1 E 2 ) = (N)*P(E 1 ) x P(E 2 ) che relazione esiste tra ipertensione ed età ? Esempio : calcolo dei valori attesi

29 29 Prima di rispondere osserviamo anche come siano distribuiti fattori di rischio nelle due fasce di età: anni > 65 anni CHD SiNoTotaleSiNoTotale IA Si No Totale p(ia)=33.91p(ia)=51.41 Esempio : calcolo dei valori attesi

30 30 ed osserviamo anche come è distribuita la patologia nelle due fasce di età anni > 65 anni CHD IASiNoTotaleSiNoTotale Si No Totale P(chd)=67.86P(chd)=91.66

31 31 Nelle due fasce di età la relazione (ia~chd) è in accordo con la regola dellindipendenza Tabella % anni > 65 anni CHD iaSiNoTotaleSiNoTotale Si No Totale Osservati ~ Attesi 0,2509~0.3391*0.6786= Osservati ~ Attesi ~0.5141*0.9166=0.4712

32 32 I fattori di rischio possono combinarsi in modo moltiplicativo oppure in modo additivo Quali effetti potremmo osservare ?

33 33 Avendo tre fattori a,b,c per c=0 c=0 ab=0b=1tot a=0 × p(a=0|b=0) × p(b=0)p(a=0|b=1)*p(b=1)p(a=0) a=1p(a=1|b=0)*p(b=0)p(a=1|b=1)*p(b=1)p(a=1) totp(b=0)p(b=1)1.0 | col row | 0 1 | Total | | | | Total| | 1,059 | col row | 0 1 | Total | | | | Total| | | col row | 0 1 | Total | | | | Total| | E lo stesso schema si ripete per c=1 505 osservati attesi Percentuali per colonna Percentuali per riga

34 34 ETA35Ignorando letà CHD IP IP CHI2ATTESIORRRCHI2ORRR ETA65 Valori attesi per unipotesi CHD di indipendenza IP CHI2ATTESIORRRORRR RR= rischio relativo OR= odds ratio

35 35 Se avessi un effetto additivo 605= | col row | 1 2 | Total | | 285 | | | | | | 975 | | | | Total | | 1,260 | | | |


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