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I TEST DI LOGICA 1 Alberto Zanardo Dipartimento di Matematica P. A. Università di Padova Licei Lioy e Pigafetta, Vicenza, 20 Gennaio 2011.

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1 I TEST DI LOGICA 1 Alberto Zanardo Dipartimento di Matematica P. A. Università di Padova Licei Lioy e Pigafetta, Vicenza, 20 Gennaio 2011

2 Un test problematico 2 Sapendo che in questo test una sola risposta è giusta, dire di quale si tratta. a) La risposta d) è giusta. b) La risposta b) è sbagliata. c) La risposta c) è giusta. d) La risposta a) è giusta. Attenzione alla risposta b!

3 Affermazioni problematiche 3 Mario dice: sto mentendo. Dice il vero o il falso? Se dice il vero...., se dice il falso.... Attenzione alla versione divulgativa: Epidemide, cretese, dice: tutti i cretesi sono bugiardi E semplicemente falsa Paradosso (o antinomia)

4 Antinomia del mentitore 4 Mario dice: sto mentendo. Altre versioni Coccodrillo Ponte Barbiere

5 Antinomia di Russell 5 R è linsieme di tutti gli insiemi che non appartengono a sé stessi R appartiene a R? Se R non appartiene a R allora R non appartiene a sé stesso, e quindi.... Se R appartiene a R allora R appartiene a sé stesso, e quindi.... X R se e solo se X X

6 Versione aritmetica 6 Con delle frasi possiamo definire dei numeri naturali. Con meno di 100 lettere possiamo definire una quantità finita di numeri naturali. Ci sono numeri naturali che non possono essere definiti con meno di 100 lettere. Possiamo considerare il più piccolo numero naturale che non è definibile con meno di 100 lettere

7 COMPITI PER CASA 7 Trovare degli esempi di conflitti tra ragionamento comune e ragionamento logico. Trovare altri esempi dellantinomia del mentitore

8 UN PO DI LOGICA 8 A e B E vera quando A e B sono entrambe vere Come neghiamo A e B ?Negando A oppure negando B A oppure B E vera quando almeno una tra A e B è vera Come neghiamo A oppure B ?Negando A e negando B non (A e B) = non(A) oppure non(B) non (A oppure B) = non(A) e non(B)

9 VERSIONE INSIEMISTICA 9 X Y Intersezione di X e Y Unione di X e Y XComplementare di X (X Y) = X Y Leggi di de Morgan

10 UN PO DI LOGICA 10 Se A allora B Quando è falsa?Quando A è vera e B è falsa In tutti gli altri tre casi limplicazione è vera Confrontiamo se A allora B con non(A) oppure B se A allora B equivale a non(A) oppure B

11 UN PO DI LOGICA 11 Cosa possiamo dedurre da se A allora B Abbiamo visto che non possiamo dedurre se B allora A Ma se sappiamo che non(B) è vera? Allora possiamo dedurre non(A) se A allora B è equivalente a se non(B) allora non(A)

12 ESEMPIO 12 Si supponga che: chi vince la lotteria smette di lavorare e chi smette di lavorare ingrassa. Quale delle seguenti ulteriori affermazioni ci permette di concludere che Mario non ha smesso di lavorare? A Mario piace lavorare. Mario non ha vinto la lotteria. Mario non è ingrassato. Mario non ha vinto la lotteria ed è ingrassato.

13 UN PO DI LOGICA 13 se V allora Sse S allora I vogliamo concludere non(S) A Mario piace lavorare. Mario non ha vinto la lotteria. Mario non è ingrassato. Mario non ha vinto la lotteria ed è ingrassato.

14 ESEMPIO 14 Sapendo che tutti gli uomini sono bipedi e mortali e Socrate è mortale, possiamo concludere che a) Socrate è un uomo. b) Socrate è bipede. c) Se Socrate è bipede, allora è un uomo. d) Se Socrate è un uomo, allora è bipede.

15 ESEMPIO 15 Quale delle seguenti affermazioni implica che Socrate non è un bipede mortale? a) Se Socrate è un uomo, allora non è mortale. b) Se Socrate è un uomo, allora non è bipede. c) Se Socrate è bipede, allora non è mortale. d) Se Socrate è bipede, allora è mortale. Osservazione: le risposte a e b sono folcloristiche. Perché?

16 ESEMPIO 16 Osservazione. Socrate non è un bipede mortale è la negazione di un e: non ( S è bipede e S è mortale) che equivale a S non è bipede oppure S non è mortale se quindi S è bipede allora.... c) Se Socrate è bipede, allora non è mortale. d) Se Socrate è bipede, allora è mortale. Quale implica che Socrate non è un bipede mortale

17 UN PO DI LOGICA 17 Affinché sia possibile confutare laffermazione quando passa un tornado per Roma, tutti gli abitanti si chiudono in casa è necessario: a) che qualche abitante di Roma ami il rischio b) che per Roma non passino tornado c) che qualche casa di Roma sia poco robusta d) che per Roma passi un tornado

18 DEDUZIONI VUOTE 18 Il sabato sera Mario va al cinema oppure in discoteca; sabato scorso Mario aveva una gamba rotta; sabato scorso davano film che Mario aveva già visto. Mario è rimasto a casa Mario è andato in discoteca, ma non ha ballato Mario è andato al cinema, ma si è annoiato Mario è andato al cinema o in discoteca Possiamo concludere che sabato scorso

19 DEDUZIONI VUOTE 19 FORMALIZZAZIONE Se A è vera.... Se A è falsa.... A A è una formula sempre vera

20 UN PO DI LOGICA 20 esiste ( ), per ogni ( ) non x tale che.... equivale a x non... non x.... equivale a x tale che non... esiste x con una certa proprietà non esclude che tutti gli x tale abbiano quella proprietà x.... equivale a non x non....

21 APPLICAZIONE INSIEMISTICA 21 Perché linsieme vuoto è contenuto in ogni insieme? Se non fosse contenuto nellinsieme Y (arbitrario) allora..... X Y se esiste un elemento di X che non è elemento di Y X Y (X è contenuto in Y) a (a X a Y) X Y non ( a (a X a Y)) a (a e a Y) FALSO! a non(a X a Y) a (a X e a Y)

22 ALTRI ESEMPI 22 Non è vero che in ogni albergo ci sono stanze senza bagno. Questo significa che A)Esiste un albergo in cui c'è una stanza che ha il bagno B) In ogni albergo tutte le stanze hanno il bagno C) Ogni albergo ha il bagno in tutte le stanze D) Esiste un albergo in cui tutte le stanze hanno il bagno A)Esiste un albergo in cui c'è una stanza che ha il bagno B) In ogni albergo tutte le stanze hanno il bagno C) Ogni albergo ha il bagno in tutte le stanze D) Esiste un albergo in cui tutte le stanze hanno il bagno

23 ALTRI ESEMPI 23 Non è vero che in ogni albergo ci sono stanze senza bagno. Non è vero: A s (s non ha il bagno) A s non è vero (s non ha il bagno) A s (s ha il bagno) Esiste un albergo in cui tutte le stanze hanno il bagno

24 ALTRI ESEMPI 24 Qualè la negazione dellaffermazione ogni uomo è calvo oppure non ha i baffi? a) Ogni uomo non è calvo oppure ha i baffi. b) Ogni uomo non è calvo e ha i baffi. c) Esistono uomini che hanno i baffi e non sono calvi. d) Esistono uomini calvi e senza baffi.

25 ALTRI ESEMPI 25 Laffermazione ogni uomo sposato non è allegro è equivalente a: a) Ogni uomo non allegro è sposato. b) Non esistono uomini allegri e sposati. c) Esiste almeno un uomo non sposato e allegro. d) Tutti gli uomini non sposati sono allegri.

26 ALTRO ESEMPIO 26 In Italia c'è una persona x tale che se tale persona vota per il partito P allora tutti votano per il partito P. Cosa si può dire di tale affermazione? x [ x vota P y ( y vota P)] x [ x NON vota P oppure y ( y vota P)] AFFERMAZIONE VERA

27 DOVE LERRORE? 27 Se comperi una bicicletta, questa può non avere gli ammortizzatori Se è vero che «alcune biciclette hanno gli ammortizzatori», allora è necessariamente vero che alcune bici hanno amm. alcune bici non hanno amm. alcune bici non hanno amm. alcune bici hanno amm. alcune bici hanno amm. se e solo se alcune bici non hanno amm. nessuna bici ha amm. se e solo se nessuna bici non ha amm.

28 DOVE LERRORE? 28 alcune bici hanno amm. se e solo se alcune bici non hanno amm. nessuna bici ha amm. se e solo se nessuna bici non ha amm. Sembrerebbe di sì, ma dobbiamo tener conto le ipotesi di partenza! Si passa dalla prima alla seconda affermazione facendo la negazione E vero che la negazione di alcune bici hanno... è nessuna bici ha...?

29 DOVE LERRORE? 29 alcune bici hanno amm. va inteso come alcune bici hanno amm. e alcune bici non hanno amm. Ipotesi iniziale: Qual è la negazione di questa affermazione? nessuna bici ha amm. oppure nessuna bici non ha amm.

30 ALTRI ESEMPI 30 In un test a risposte multiple ci sono quattro scelte possibili: (a), (b), (c) e (d), ed esattamente una delle quattro è corretta. Sappiamo che (b) vale se e solo se non vale (d) e se non vale (b) allora vale (a) oppure vale (c) Quale è la risposta esatta? (d) o (b) è esatta Se (d) fosse esatta, allora lo sarebbe anche (a) o (c) La risposta esatta è la (b)

31 FORMALIZZAZIONE 31 (b) vale se e solo se non vale (d) se non vale (b) allora vale (a) oppure vale (c) (b) non(d)non(b) (d) non(b) (a) oppure (c) (d) (a) oppure (c)

32 CAVALIERI E FURFANTI 32 Ambiente tipico dei test: ci sono cavalieri e furfanti, i primi dicono sempre il vero, i secondi sempre il falso. Dalle loro risposte dobbiamo trarre informazioni.

33 CAVALIERI E FURFANTI 33 Versione classica: Ad un bivio ci sono due persone: A e B. So che una è un cavaliere e laltra un furfante, ma non so quale. Dispongo di una sola domanda per sapere quale strada porta al castello. Cosa chiedo? Chiedo ad A: se chiedessi a B la strada per andare al castello, cosa mi risponderebbe?

34 CAVALIERI E FURFANTI 34 Di A e B sappiamo solo che sono furfanti o cavalieri. A dice: siamo due furfanti. Cosa possiamo dedurre? A e B sono entrambi furfanti. A e B sono entrambi cavalieri. A è cavaliere e B furfante. A è furfante e B cavaliere.

35 CAVALIERI E FURFANTI 35 Di A e B sappiamo solo che sono furfanti o cavalieri. A dice: almeno uno di noi è cavaliere. Cosa possiamo dedurre? A e B sono entrambi furfanti. A e B sono entrambi cavalieri. A è cavaliere e B furfante. A è furfante e B cavaliere. Possibile

36 CAVALIERI E FURFANTI 36 Come prima: A dice: almeno uno di noi è cavaliere. Quale delle seguenti implicazioni è sicuramente vera? Se A è cavaliere allora B è cavaliere. Se A è cavaliere allora B è furfante. Se A è furfante allora B è cavaliere. Se A è furfante allora B è furfante.

37 ALTRI ESEMPI 37 Ad un tavolo circolare si siedono dei cavalieri e dei furfanti e ciascuno di essi afferma che la persona alla sua destra è un furfante. Cosa si può dedurne? A) Sono tutti furfanti B) Sono tutti cavalieri C) C'è un numero pari di persone D) C'è un numero dispari di persone

38 ALTRI ESEMPI 38 In parlamento si riuniscono 100 uomini politici e ogni politico è onesto oppure è corrotto. Almeno uno dei politici è onesto. Sappiamo che presi due politici qualsiasi almeno uno è corrotto Quanti sono gli onesti e quanti i corrotti. A) 50 onesti e 50 corrotti B) 51 onesti e 49 corrotti C) 1 onesto e 99 corrotti D) 99 onesti e 1 corrotto


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