A.S.E.7.1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 7 Errore di rappresentazioneErrore di rappresentazione Fattore di scalaFattore di scala Rappresentazione.

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1 A.S.E.7.1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 7 Errore di rappresentazioneErrore di rappresentazione Fattore di scalaFattore di scala Rappresentazione normalizzataRappresentazione normalizzata Operazioni in virgola mobileOperazioni in virgola mobile –Somma, Sottrazione, Moltiplicazione

2 A.S.E.7.2 Richiami ConversioniConversioni CodiciCodici Aritmetica binariaAritmetica binaria Rappresentazione di numeri con segnoRappresentazione di numeri con segno Addizione in C2Addizione in C2

3 A.S.E.7.3 Errori di rappresentazione 1 In generale, la rappresentazione con un numero finito di cifre di un numero reale introduce erroreIn generale, la rappresentazione con un numero finito di cifre di un numero reale introduce errore Se lavoriamo con interi, possiamo convertire un numero decimale attraverso larrotondamento o il troncamentoSe lavoriamo con interi, possiamo convertire un numero decimale attraverso larrotondamento o il troncamento Per numeri frazionari si procede in maniera analogaPer numeri frazionari si procede in maniera analoga –11.6531 su 2 cifre decimali 11.65 (sia arr. che tronc.) 11.6 11 (troncato) =>1011 12 (arrotondato)=>1100

4 A.S.E.7.4 Errori di rappresentazione 2 Per i numeri negativi si applica la stessa definizione (si tronca verso - )Per i numeri negativi si applica la stessa definizione (si tronca verso - ) Va bene anche in complemento a 2Va bene anche in complemento a 2 12345 0 Errore di Troncamento X -5-4-3-2 12345 -0.5 0.5 Errore di arrotondamento X -5-4-3-2

5 A.S.E.7.5 Errori di rappresentazione 3 Detta x * la rappresentazione di x, si definiscono due errori:Detta x * la rappresentazione di x, si definiscono due errori: –Errore assoluto: A =|x-x * | –Errore relativo: R =|x-x * |/|x| Supponiamo di operare con 4 cifre decimale (x* =Supponiamo di operare con 4 cifre decimale (x* = –314.1592 A =6.54 10 -5, R =2.08 10 -7 (x* = (x* = –3.1416 A =9.265 10 -5, R =2.949 10 -5 Inoltre, supponiamo di voler rappresentare distanze per uso scientifico:Inoltre, supponiamo di voler rappresentare distanze per uso scientifico: –Atomi: 10 -10 m –Galassie: 10 21 m

6 A.S.E.7.6 Virgola mobile 1 Dato un generico numero reale WDato un generico numero reale W Si può rappresentare in complemento a due con N bit utilizzando W* tale che:Si può rappresentare in complemento a due con N bit utilizzando W* tale che: Esempio N = 10 (+esponente 6 bit)Esempio N = 10 (+esponente 6 bit) mantissa esponente

7 A.S.E.7.7 Virgola mobile 2 Fra tutte le rappresentazioni possibili ne esiste una che utilizza al meglio la dinamica a disposizione ( minimo errore)Fra tutte le rappresentazioni possibili ne esiste una che utilizza al meglio la dinamica a disposizione ( minimo errore) Per numeri positivi èPer numeri positivi è Per numeri negativi èPer numeri negativi è

8 A.S.E.7.8 Virgola mobile 3 La rappresentazione normalizzata è caratterizzata dal fatto che le due cifre più significative sono diverseLa rappresentazione normalizzata è caratterizzata dal fatto che le due cifre più significative sono diverse Esempio rappresentare su 10 bitEsempio rappresentare su 10 bit

9 A.S.E.7.9 Virgola mobile 4 Esempio rappresentare - su 10 bitEsempio rappresentare - su 10 bit

10 A.S.E.7.10 Aritmetica in Virgola Mobile Consideriamo X=X M xB XEConsideriamo X=X M xB XE Somma Z = X+Y=(X M 2 XE-YE +Y M )x2 YESomma Z = X+Y=(X M 2 XE-YE +Y M )x2 YE Sottrazione Z = X-Y=(X M 2 XE-YE -Y M )x2 YESottrazione Z = X-Y=(X M 2 XE-YE -Y M )x2 YE Moltiplicazione Z = XxY=(X M xY M )x2 XE+YEMoltiplicazione Z = XxY=(X M xY M )x2 XE+YE Divisione Z = X÷Y=(X M ÷Y M )x2 XE-YEDivisione Z = X÷Y=(X M ÷Y M )x2 XE-YE Somma e sottrazione sono più complesse di moltiplicazione e divisione!Somma e sottrazione sono più complesse di moltiplicazione e divisione! –Occorre allineare gli esponenti prima di effettuare loperazione

11 A.S.E.7.11 Somma in virgola mobile calcolare + ln59 =3.1415 + 4.0775=7.219calcolare + ln59 =3.1415 + 4.0775=7.219

12 A.S.E.7.12 Prodotto in virgola mobile calcolare ln59 =3.1415 4.0775=12.8099calcolare ln59 =3.1415 4.0775=12.8099

13 A.S.E.7.13 Errore Nella rappresentazione in virgola fissa lerrore e assoluto (± 0.5)Nella rappresentazione in virgola fissa lerrore e assoluto (± 0.5) Nella rappresentazione in virgola mobile lerrore è relativoNella rappresentazione in virgola mobile lerrore è relativo

14 A.S.E.7.14 Conclusioni Errori di rappresentazioneErrori di rappresentazione –Troncamento –Arrotondamento Aritmetica in virgola mobileAritmetica in virgola mobile Rappresentazione normalizzataRappresentazione normalizzata Somma in virgola mobileSomma in virgola mobile Prodotto in virgola mobileProdotto in virgola mobile