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Instabilità nucleare. 2 Nuclei stabili e instabili I nuclei stabili sono concentrati in una banda stretta nel piano N-Z Tutti gli altri nuclei sono instabili.

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1 Instabilità nucleare

2 2 Nuclei stabili e instabili I nuclei stabili sono concentrati in una banda stretta nel piano N-Z Tutti gli altri nuclei sono instabili e decadono sponteneamente Decadimento = trasformazione per raggiungere uno stato stabile (o più stabile). I processi di decadimento nucleare sono di diversi tipi: Decadimento = emissione di nuclei di elio Decadimento = emissione di elettroni (o positroni) e neutrini Decadimento = emissione di radiazione elettromagnetica Fissione = scissione in 2 o piu nuclei

3 3 Decadimento Decadimento Decadimento - : Nuclei che nel piano N-Z hanno un eccesso di neutroni rispetto a quanto previsto dalla curva di stabilità, tendono a trasformare un neutrone in un protone Decadimento + : Nuclei che nel piano N-Z hanno un eccesso di protoni rispetto a quanto previsto dalla curva di stabilità, tendono a trasformare un protone in un neutrone

4 4 Cattura elettronica Un nucleo ricco di protoni può catturare un elettrone atomico e trasformare un protone in un neutrone Stesso effetto di un decadimento + Lelettrone viene tipicamente catturato dalla shell K che è caratterizzata da una funzione donda sensibilmente diversa da zero nel volume del nucleo

5 5 Decadimento Decadimento Nei nuclei piu pesanti del Fe e Ni, lenergia di legame per nucleone B diminuisce al crescere del numero di massa A Nuclei con alte masse sono instabili per fissione e decadono in 2 o più nuclei più leggeri La somma delle masse dei prodotti di decadimento deve essere minore della massa del nucleo originale Caso più frequente: decadimento a 2 corpi in cui uno dei nuclei prodotti è un nucleo di elio Decadimento :

6 6 Bilancio energetico (I) Un nucleo (Z,A) di massa M 1 decade in un nucleo di massa M 2 0

7 7 Bilancio energetico (II) Decadimento : Cattura elettronica: Ha un Q-valore più alto del decadimento + e quindi più energia cinetica a disposizione delle particelle nello stato finale Ci sono casi in cui la differenza di massa tra (Z,A) e (Z-1,A) è troppo piccola per consentire il decadimento +, ma la cattura elettronica può invece avvenire

8 8 Esempi (I) Come può avvenire il decadimento di un nucleo di 23 Na Candidati: Masse in gioco: Nessuno dei decadimenti è possibile, il 23 Na è stabile sum = MeV

9 9 Esempi (II) Come può avvenire il decadimento di un nucleo di 22 Na Candidati: Masse in gioco: Sono possibili il decadimento + e la cattura elettronica sum = MeV

10 10 Legge del decadimento Fin dai primi anni di studio delle sostanze radioattive si è scoperto che: L'attività (definita come il numero di decadimenti nell'unità di tempo di una sostanza) decresce nel tempo con legge esponenziale 1900: Rutherford e Solvay, studiando quantitativamente la variazione temporale di attività del Radio-224. Crookes ottenne lo stesso andamento studiando la variazione di attività del Thorio-234 Il processo di decadimento è di natura casuale. Deve essere trattato in modo statistico/probabilistico La radioattività rappresenta un cambiamento dellatomo individuale 234 Th

11 11 Legge del decadimento (I) Ipotesi La probabilità di decadimento nell'unità di tempo è una proprietà della sostanza e del processo di decadimento e non dipende dal tempo; in una sostanza contenente N nuclei, la probabilità di decadimento nell'unità di tempo del singolo nucleo non dipende da N. Si definisce rate di transizione ( ) la probabilità che uno stato X transisca in uno stato Y in ununità di tempo Nellambito della radioattività viene chiamato anche costante di decadimento La probablità di transizione nel tempo dt vale quindi Il rate ha dimensioni [s -1 ]

12 12 Legge del decadimento (II) Se la sostanza contiene N nuclei e se il numero N è grande in modo da poterlo trattare come una variabile continua la variazione (diminuzione) del numero di nuclei nell'intervallo di tempo dt vale: Conoscendo il valore di N 0 allistante t=0 e integrando si ottiene la legge del decadimento radioattivo Lattivita vale quindi: si misura in Becquerel (Bq) cioè numero di decadimenti al secondo Storicamente si è usato spesso il Curie (Ci) equivalente allattività di un grammo di radio che vale Bq

13 13 Vita media La vita media vale: Si usa spesso il tempo di dimezzamento(= tempo dopo il quale lattività del radionuclide è dimezzata)

14 14 Decadimenti multi-modali (I) Un particolare processo di decadimento si chiama canale (o modo) di decadimento. Consideriamo un materiale radioattivo per cui sono possibili più modi di decadimento Ad esempio il 212 Bi che può decadere sia che - Si definiscono dei rate di transizione parziali ( i ) per i singoli modi di decadimento Siccome i canali sono indipendenti, il numero di decadimenti al sec è: Il nucleo decade quindi seguendo la legge di decadimento esponenziale con un rate di transizione:

15 15 Decadimenti multi-modali (II) La frazione f i di nuclei che decade nel canale i si chiama branching fraction: La vita media è data da:

16 16 Decadimenti in cascata (I) Se i nuclei prodotti nel decadimento sono instabili, essi stessi decadono decadimento a cascata con X N stabile Consideriamo come esempio il caso in cui X A ->X B ->X C Sistema di 3 equazioni differenziali

17 17 Decadimenti in cascata (II) Lavoriamo sulla specie X B :

18 18 Decadimenti in cascata (III) Il valore della costante C si ricava da N B (t=0)=N B0 : Da cui: Caso particolare: X B stabile, quindi B =0 Se N B0 = 0, allora:

19 19 Decadimenti in cascata (IV) Passando ai nuclei stabili X C :

20 20 Decadimenti in cascata (V) Nel caso particolare in cui N B0 =0 e N C0 =0:

21 21 Catene di decadimenti Per una catena di decadimenti X 1 -> X 2 -> … -> X N si ha: dove X N è un nucleo stabile, quindi N =0 Se per t=0 si ha: N 2_0 = N 3_0 = … =N N_0 le abbondanze sono: con:

22 22 Equilibrio secolare Tornando al caso di X 1 -> X 2 -> X 3 con X 3 stabile: se 1 >> 2, cioè 1 << 2, allora: cioè: In una catena di decadimenti, quando per un elemento X i risulta i << i+1 e << i+2 e … << N, allora tutti i nuclei che seguono li-esimo decadimento hanno la stessa attività: Questa condizione si chiama equilibrio secolare Se la condizione è vera a partire dal capostipite X 1, allora tutta la catena radioattiva si trova in equilibrio secolare

23 Famiglie radioattive (I) Vi sono tre famiglie radioattive presenti in natura, in equilibrio secolare i cui capostipiti sono radionuclidi la cui vita media è > di quella della Terra (10 9 anni) e >> di quella dei discendenti: Serie dellUranio (famiglia 4n+2) Capostipite: 238 U, t 1/2 = anni Serie dellAttinio (famiglia 4n+3) Capostipite: 235 U, t 1/2 = anni Serie del Torio (famiglia 4n) Capostipite: 232 Th, t 1/2 = anni 23

24 Famiglie radioattive (II) In più, cè una serie non più esistente in natura, che può essere prodotta artificialmente: Serie del Neptunio (famiglia 4n+1) Capostipite 241 Pu Elemento più longevo: 237 Np con t 1/ anni 24

25 Radio-nuclidi naturali 25

26 Decadimento Decadimento

27 27 Caratteristiche dei decadimenti Caratteristiche dei decadimenti La maggior parte degli isotopi creati artificialmente con numero di massa maggiore del Piombo sono emettitori. Non vi sono emettitori con A<146 ( 146 Sm, con Z=62) Dovuto allandamento dellenergia di legame per nucleone (B/A) in funzione di A Emettendo una particella, un sistema nucleare guadagna energia solo se si trova a valori di A maggiori del massimo della curva B/A

28 28 Caratteristiche dei decadimenti Caratteristiche dei decadimenti Perché il decadimento avvenga, deve essere Energia cinetica della particella Dalla conservazione dell impulso-energia, se il nucleo decade a riposo:

29 29 Caratteristiche dei decadimenti Caratteristiche dei decadimenti Lenergia delle particelle emesse varia tra 4 e 9 MeV I tempi di dimezzamento dei nuclei che le emettono variano invece tra anni e secondi. In altri termini, i rate di transizione variano di 24 ordini di grandezza pur trattandosi dello stesso processo fondamentale Geiger e Nuttal osservarono fin dal 1911 una correlazione tra lenergia cinetica della particella e il tempo di dimezzamento Ad energie minori corrispondono tempi di dimezzamento maggiori e viceversa Legge empirica di Geiger-Nuttal: La relazione fu originariamente formulata usando il tempo di dimezzamento e il range in aria (a 15°C e 1 atm) delle particelle Le due formulazioni sono equivalenti se si considera che il range R T 3/2 e quindi log(R ) log(T )

30 30 Legge empirica Geiger-Nuttal (1)

31 31 Legge empirica Geiger-Nuttal (2) A parità di energia cinetica T, la vita media aumenta con peso atomico A

32 32 Teoria del decadimento Teoria del decadimento Teoria elementare sviluppata da Gamow e indipendentemente da Condon e Gurney nel 1929 Energia potenziale U(r) per una particella in funzione della distanza tra la particella stessa e il centro del nucleo rimanente Per r R Le forze nucleari sono inefficaci Prevale il campo coulombiano

33 b Free -particle 33 Teoria del decadimento Teoria del decadimento Due casi per lemissione di una particella con energa T : T > U(R): la particella è libera di lasciare il nucleo e lo farà quasi istantaneamente Istantaneamente = in un tempo comparabile con quello che impega la particella ad attraversare il nucleo: t = R/v = R*(m /2T ) s T < U(R): la particella classicamente è confinata nel nucleo. Quantisticamente può penetrare la barriera di potenziale per effetto tunnel ed emergere con energia cinetica = 0 a distanza r=b e poi muoversi a grande r dove avrà energia cinetica T

34 34 Tunneling della barriera coulombiana (I) Si può pensare la barriera coulombiana discretizzandola in una serie di barriere di spessore r e altezza costante Per ogni elemento discreto della barriera si può scrivere lequazione di Schroedinger per la componente radiale: r

35 35 Tunneling della barriera coulombiana (II) La soluzione risulta: si è posto =1 il coefficiente dellonda incidente sulla barriera si è considerata nella regione 3 solo londa uscente particella che si sposta verso r crescente allontanandosi dal nucleo Le costanti B,, e a si determinano imponendo la continuità della funzione donda e della sua derivata nei punti di discontinuità del potenziale La probabilità di trasmissione attraverso la barriera è:

36 36 Tunneling della barriera coulombiana (III) Sommando i contributi degli elementi r e passando al continuo: Dove si è introdotto il fattore di Gamow: Per eseguire lintegrale si usa la sostituzione r=bcos 2

37 37 Rate di transizione (1) La probabilità P T dà la probabilità di penetrazione della barriera coulombiana per una particella che si avvicina alla barriera Per avere il rate di transizione, si deve moltiplicare questa probabilità frequenza degli urti della particella con la barriera (cioe per il numero di tentativi fatti dalla particella di penetrare la barriera) Dove v Nucleus è la velocità della particella nel nucleo Se U(R) >> T (cosa vera per tutti gli emettitori noti) si ha R<

38 38 Rate di transizione (2) Il raggio a cui la particella a esce dalla barriera e: Sostituendo: Costante di struttura fine:

39 39 Legge di Geiger-Nuttal (1) Prendendo i logaritmi si ottiene:

40 40 Legge di Geiger-Nuttal (2) Quindi: Con: Dove g è una costante, mentre C dipende da v Nucleus e da R e quindi varia leggermente per i diversi emettitori Non è esattamente la legge empirica di Geiger e Nuttal perché cè 1/T invece del logaritmo, ma per valori di T compresi tra 4 e 7 MeV la differenza è minore del 3%

41 41 Considerazioni La dipendenza trovata con il modello elementare (che è chiaramente molto semplificato) consente comunque di: Riprodurre la dipendenza osservata della vita media dallenergia della particella a rendendo conto della variazione su più di 20 ordini di grandezza Spiegare come mai lintervallo di variazione del rate di tranzione è molto maggiore di quello dellenergia cinetica T Una variazione del 10% in T cambia il rate di un fattore 1000 Spiegare losservazione sperimentale per cui a energia cinetica T costante la vita media aumenta col peso atomico. All'aumentare di A, aumenta sia la carica elettrica che il raggio del nucleo e quindi aumenta il fattore di Gamow che dipende dallaltezza e dalla larghezza della barriera di potenziale Spiegare come mai cè un limite inferiore per lenergia cinetica della particella Per T s) da rendere questi decadimenti difficilmente ossevabili Questo spiega anche come mai non ci sono nuclei emettitori a con Z<62 dove il Q valore risulta minore di 2 MeV

42 42 Soglia di instabilità A questo punto possiamo calcolare in modo più quantitativo i valori di A e Z per cui il decadimento è possibile usando: Il Q valore calcolato dalla formula di Weizsacker per la massa del nucleo La considerazione che per QT <4 MeV i decadimenti sono estremamente improbabili linee a Q costante nel piano Z-A

43 43 Approssimazioni (1) Va notato che il fattore di Gamow G è grande (30-50) quindi una piccola indetermiazione sui parametri comporta una grande variazione sul rate ( e -2G ) Si è assunto che il nucleo figlio abbia massa >> della particella. Questa approssimazione è facilmente correggibile usando la massa ridotta del sistema nucleo+ [ =m M DauNucl /(m +M DauNucl ) ] e lenergia cinetica totale (cioe Q) invece di T. Si è assunto R/b<<1, mentre si poteva usare lespressione completa di G Il trattamento delle particelle allinterno del nucleo è semplicistico: la particella non esiste stabilmente allinterno del nucleo Un trattamento corretto richiederebbe di usare la funzione donda di tutti i nucleoni nel nucleo genitore e calcolare lampiezza di probabilità di trovare una particella e il nucleo figlio. Non è possibile fare questo trattamento in modo rigoroso

44 44 Approssimazioni (2) La probabilità di trovare una particella nel nucleo è diversa tra nuclei pari-pari, pari-dispari e dispari-dispari A parità di altre condizioni, i rate di transizione osservati in nuclei pari-pari sono più alti che negli altri tipi di nuclei I dettagli della struttura nucleare influiscono sul rate di transizione attraverso lenergia di legame per nucleone Ad esempio, nel modello a shell si ha la chiusura di una shell nucleare quando N = 126 (numero magico) Un nucleo genitore con N=128 avrà un Q-valore per il decadimento molto più alto (di molti MeV) di un nucleo con lo stesso Z ma con N=126 La forma del potenziale assunto è chiaramente idealizzata Il fatto che sia estremamente sensibile a piccole variazioni di T suggerisce che questo sia un effetto importante Si è assunto che il potenziale nucleare abbia simmetria sferica Tuttavia si sa che molti dei nuclei più pesanti del Pb sono deformati e questo può influire sul rate di transizione

45 45 Barriera di potenziale centrifugo Quando il nucleo genitore e il nucleo figlio hanno spin diverso Lo spin di un nucleo è dato dalla somma vettoriale dei momenti di spin e momenti angolari dei nucleoni che lo costituiscono Sono catatteriazzati da numeri quantici j P j D che sono entrambi numeri interi per nuclei con A pari e semi-interi per nuclei con A dispari Siccome la particella ha spin 0, e il momento angolare deve essere conservato, la particella deve essere emessa con un momento angolare orbitale non nullo relativamente al nucleo figlio che rincula Il momento angolare orbitale della particella è caratteriazzato da un numero quantico l che deve essere un numero intero 0. Conservazione del momento angolare:

46 46 Momento angolare Nel caso in cui la particella venga emessa con l 0, lequazione di Schrodinger è: Separando le variabili si scrive: La parte angolare ha come soluzione le funzioni armoniche sferiche Y l m (cos, ) Lequazione di Schrodinger per la componente radiale diventa:

47 47 Barriera di momento angolare Nel caso in cui la particella venga emessa con l 0, la barriera dipotenziale a distanza r risulta: ed è maggiore di quella coulombiana di un termine l ( l +1)ħ 2 /2m r 2 detto barriera centrifuga La barriera centrifuga dovuta al momento angolare Rende la barriera più difficile da superare per effetto tunnel Riduce i rate di transizione e quindi aumenta le vite medie

48 48 Barriera centrifuga Considerazioni quantitative sulla barriera centrifuga Leffetto di variazione del potenziale è piccolo Esempio per l =2, Z=90 a distanza r=15 fm il termine coulombiano vale 17.3 MeV, mentre quello centrifugo vale 0.14 MeV (meno dell1%) Tuttavia, un aumento dell1% del fattore di Gamow porta ad un aumento di un fattore 2-3 del rate di transizione Esempio: Valori numerici calcolati da Blatt e Weisskopf nel 1952 per il caso di un decadimento a con Z=86, T =4.88 MeV, R=9.87 fm l w l /w

49 49 Barriera centrifuga e decadimenti Consideriamo il decadimento : che può avvenire sullo stato fondamentale del 238 U o in uno dei tre stati eccitati Il modo dominante è quello nello stato fondamentale con spin 0 I decadimenti sugli stati eccitati sono meno probabili per il minor Q e perché il valore di l aumenta Dalla teoria elementare con sola barriera coulombiana ci si aspetta: Il valore misurato è , quindi leffetto della barriera centrifuga è un fattore 2/540=0.0037, simile a quanto previsto da Blatt e Weisskopf

50 Fissione spontanea

51 51 Fissione spontanea di nuclei Fissione spontanea = un nucleo pesante decade in due (o più) nuclei più leggeri e (spesso) dei neutroni liberi Nel caso del decadimento, è la grande energia di legame della particella (B/A=7.08 MeV) che rende possibile il decadimento La barriera di potenziale da superare per avere fissione spontanea è così alta che queste reazioni di fissione sono in generale estremamente improbabili Il nucleo più leggero in cui si osserva fissione spontanea è il 226 Ra I nuclidi più leggeri per i quali la probabilità di fissione spontanea è paragonabile a quella di decadimento sono certi isotopi delluranio. Caso del 238 U: la probabilità di decadimento per unità di tempo è =5· s -1, mentre quella per fissione spontanea è fiss =3· s -1, con un rapporto fiss / di circa 6· Allaumentare del numero di massa A aumenta il branching ratio per fissione spontanea e la fissione spontanea diventa dominante per A > 260.

52 Fissione spontanea = un nucleo pesante decade in due (o più) nuclei più leggeri e (spesso) dei neutroni liberi Nel caso del decadimento, è la grande energia di legame della particella (B/A=7.08 MeV) che rende possibile il decadimento I nucleoni nel 12 C sono più legati (B/A=7.6 MeV) che nella particella e quindi il decadimento in 12 C è energeticamente possibile nei nuclei pesanti Il rate di fissione spontanea e significativamente alto in nuclei più pesanti del Torio e soprattutto nei transuranici 52 Fissione spontanea di nuclei

53 53 Fissione spontanea Caratteristiche: I prodotti di fissione sono normalmente lontani dalla curva di stabilità dei nuclei (per eccesso di neutroni) e per raggiungere la stabilità avvengono poi diversi decadimenti - La produzione di frammenti con uguale (o quasi uguale) numero di massa è poco probabile, lesito più comune è una fissione asimmetrica Il valore più probabile di differenza di numero dimassa tra i prodotti di fissione è circa 45

54 Modello per la fissione spontanea 54 Dal modello a goccia: Variazione di energia di legame se il nucleo si deforma da sfera a ellissoide, mantenendo il volume costante (piccola deformazione) Effetto sul termine Coulombiano e sul termine di superficie Energia di legame (attenzione, calcolo molto approssimato!) a b

55 Break-up Separation deformation Modello per la fissione spontanea E un problema di penetrazione di una barriera di potenziale Laltezza della barriera si chiama energia di attivazione e vale 6-8 MeV per A=238 e diminuisce al crescere di Z 2 /A Per Z 2 /A>49 fissione immediata Per il Fermio (Z=100) Z 2 /A~ Basato sul modello a goccia: Potenziale in funzione della distanza tra i due frammenti allinterno del nucleo genitore determinato da due forze antagoniste: tensione superficiale e repulsione coulombiana A piccole separazioni domina la tensione superficiale e lenergia di legame diminuisce se il nucleo si deforma da sferico a prolato Quando la deformazione aumenta si può raggiungere un punto in cui il nucleo si spezza in due parti


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