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1 DEFINIZIONI FONDAMENTALI Argomenti Concetti di interesse, montante, valore attuale e sconto.

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1 1 DEFINIZIONI FONDAMENTALI Argomenti Concetti di interesse, montante, valore attuale e sconto.

2 2 Cenni introduttivi Necessaria quando un operatore si trova in una situazione in cui deve tener conto di: Fattore Tempo Il valore di una determinata somma disponibile immediatamente è diverso da quello di una somma identica nellimporto, ma disponibile in un periodo successivo. Fattore Incertezza Il futuro è, in misura minore o maggiore a seconda dei casi, indeterminato. Una determinata somma spettante ad un operatore in un momento futuro stabilito può essere corrisposta in parte o affatto, ovvero essere liquidata in un momento diverso da quello pattuito. MATEMATICA FINANZIARIA Matematica ad hoc per calcoli finanziari Prendiamo in considerazione solo laspetto temporale, tralasciando laleatorietà delloperazione finanziaria. Ci si riferisce esclusivamente a somme CERTE, ma disponibili in istanti diversi.

3 3 Operazione di investimento Un operatore rinuncia alla disponibilità immediata di un capitale C a patto di ricevere una somma M in un istante successivo t. M = Montante della somma C M-C=I Interesse Si ottiene la prima relazione fondamentale Fattore di capitalizzazione Tasso di interesse Definendo:

4 4 Sconto e valore attuale Un operatore rinuncia ad una parte del capitale ( M ) che gli è dovuto in futuro, ad un istante t, pur di entrare immediatamente in possesso di una somma C

5 5 Grandezze equivalenti Se un investimento permette di trasformare, in certo lasso temporale, un capitale C in un montante M (con M>C ), questo significa che avere la disponibilità immediata del capitale C equivale ad avere M tra t anni. Si tratta di unequivalenza convenzionale attinente al fatto che esiste un mezzo per generare una qualsiasi delle due somme partendo dallaltra. Ogni operatore può, per esigenze personali, non essere affatto indifferente nella scelta, preferendo indiscutibilmente una delle due soluzioni. Unoperazione finanziaria elementare determina una relazione di equivalenza tra due somme relative ad istanti differenti

6 6 Grandezze equivalenti Nel caso particolare t = 1 si avrà: Dove r, i, v, d sono simboli standardizzati.

7 7 Grandezze equivalenti Dalle relazioni precedenti ricordiamo: Inoltre essendo:

8 8 Esercizi ESERCIZIO 1 Un capitale di 290 matura un interesse annuo del 2,5%. Calcolare montante prodotto dopo un anno e linteresse prodotto. ESERCIZIO 2 Un montante pari ad 300 si è maturato in un anno ad un interesse del 3,5% annuo. Calcolare il capitale che ha generato il montante.

9 9 Esercizi ESERCIZIO 3 Un capitale di 290 genera in un anno un montante pari a 305. Calcolare il tasso dinteresse (i) e il fattore di capitalizzazione (r).

10 10 Esercizi ESERCIZIO 4 Su un credito esigibile fra un anno pari a 415, viene praticato uno sconto del 3,00% annuo. Calcolare il valore attuale del credito e lammontare dello sconto. ESERCIZIO 5 Il valore attuale di un credito esigibile fra un anno è pari a 400, essendo praticato un tasso di sconto dell1,80% calcolare il valore del credito.

11 11 Esercizi ESERCIZIO 6 Un credito esigibile tra un anno di 415 ha un valore attuale pari a 304. Calcolare il tasso di sconto (d) e il fattore di attualizzazione.

12 12 Esercizi ESERCIZIO 7 Dato un tasso di sconto annuo pari al 15,50%, calcolare: il tasso di interesse il fattore di capitalizzazione il fattore di attualizzazione

13 13 I PRINCIPALI REGIMI FINANZIARI Argomenti Regime finanziario dellinteresse semplice e dellinteresse composto

14 14 Regime finanziario dellinteresse semplice Interesse semplice. Regime nel quale linteresse prodotto da unoperazione di investimento è direttamente proporzionale al capitale investito ( C ) e alla durata delloperazione ( t ) 1.Legge di formazione dellinteresse semplice Dove: i : tasso dinteresse periodale (riferito allunità di misura scelta per il tempo) Interesse unitario per operazione di durata t

15 15 Regime finanziario dellinteresse semplice 2.Legge di formazione del montante Ponendo C=1 si ottiene il montante unitario che rappresenta il fattore di capitalizzazione. Legge di capitalizzazione semplice

16 16 Regime finanziario dellinteresse semplice Nel grafico è rappresentato landamento nel tempo del Montante e dellinteresse nel regime dellinteresse semplice (linea continua: i=0,12 ; linea tratteggiata: i=0,18)

17 17 Osservazioni sul grafico Montante ed interesse hanno andamento lineare rispetto al tempo ( t ) Per t =0 linteresse è nullo e il montante è pari al capitale inizialmente investito Le semirette derivanti dallandamento nel tempo di interesse e montante sono parallele e in ogni istante t la loro differenza è pari al capitale investito Il coefficiente angolare delle semirette ( iC ) cresce al crescere di i e/o C

18 18 Relazioni di base Riassumiamo le relazioni fondamentali del regime dellinteresse semplice

19 19 Esercizi ESERCIZIO 1 Dato un capitale di impiegato per 3 anni nel regime dellinteresse semplice ad un tasso di interesse annuo del 13%. Calcolare linteresse generato e il montante.

20 20 Esercizi ESERCIZIO 2 Un capitale di produce dopo un anno un interesse di 87,375. Calcolare il tasso di interesse annuo. ESERCIZIO 3 Un capitale di 800 produce dopo tre anni un montante di 900. Calcolare il tasso di interesse annuo.

21 21 Esercizi ESERCIZIO 4 Dato un capitale iniziale di calcolare il tempo che è necessario per maturare un interesse di 350 ad un tasso annuo del 7,5%. 1 Anno e 4 mesi

22 22 Esercizi ESERCIZIO 5 Dato un capitale iniziale di calcolare il tempo che è necessario per maturare un montante di ad un tasso annuo del 7,5%. 2 Anni e 8 mesi

23 23 Tasso di sconto e fattore di attualizzazione nel regime dellinteresse semplice Ricordiamo che: Sconto Valore Attuale

24 24 Sconto e Valore Attuale nel regime dellinteresse semplice Nel grafico è rappresentato landamento nel tempo del valore attuale e dello sconto nel regime dellinteresse semplice (linea continua: i=0,12 ; linea tratteggiata: i=0,18)

25 25 Esercizi ESERCIZIO 1 Calcolare il capitale da investire oggi ad un tasso annuo del 9,50% per ottenere tra 14 mesi un montante di 1.000

26 26 Esercizi ESERCIZIO 2 Un capitale disponibile tra sei mesi ammonta ad Calcolare il suo valore attuale considerando un tasso di interesse annuo del 14%.

27 27 Esercizi ESERCIZIO 3 Calcolare il valore attuale di un capitale disponibile tra nove mesi pari a sapendo che il tasso di sconto annuo ( d ) è del 9%.

28 28 Esercizi ESERCIZIO 4 Se ad un capitale disponibile tra 18 mesi, pari a 7.000, è applicato un tasso di sconto annuo del 7% annuo qual è lentità dello sconto? A quanto ammonta il valore attuale?

29 29 Esercizi ESERCIZIO 5 Viene stipulato un prestito per da restituire dopo 9 mesi con linteresse annuo del 12%. Calcolare il valore attuale dopo 6 mesi della somma dovuta usando un tasso di interesse annuo del 10%.

30 30 Esercizi

31 31 Regime dellinteresse composto Ragionando in termini di capitale investito unitario linteresse generato nellunità di tempo sarà pari ad i, mentre il montante unitario sarà pari ad ( 1+i ). MONTANTE UNITARIO = FATTORE DI CAPITALIZZAZIONE (r(t)) Il fattore di capitalizzazione dopo una unità di tempo sarà: Se linvestimento prosegue alle stesse condizioni per un altro periodo il fattore di capitalizzazione al termine di questa seconda unità temporale sarà: Al termine del terzo:

32 32 Regime dellinteresse composto Generalizzando, se linvestimento prosegue per un numero di periodi t il fattore di capitalizzazione sarà pari a: Partendo dal fattore di capitalizzazione (montante unitario) possiamo definire, tramite le relazioni tra le grandezze equivalenti (v. slide 7), linteresse unitario generato da unoperazione di investimento di durata t. Dove: i : tasso dinteresse periodale (riferito allunità di misura scelta per il tempo)

33 33 Montante e Interesse Avendo ottenuto il montante unitario e linteresse unitario è semplice definire le leggi di formazione del montante e dellinteresse. Nel grafico è rappresentato landamento nel tempo del Montante e dellinteresse nel regime dellinteresse composto (linea continua: i=0,12 ; linea tratteggiata: i=0,18)

34 34 Sconto e Valore Attuale In base alle relazioni intercorrenti tra le grandezze equivalenti (v. slide 7) si possono ricavare: Fattore di attualizzazione (o valore attuale unitario) Sconto unitario Inoltre possiamo ottenere: Valore attuale Sconto

35 35 Sconto e Valore Attuale Nel grafico è rappresentato landamento nel tempo del valore attuale e dello sconto nel regime dellinteresse composto (linea continua: i=0,12 ; linea tratteggiata: i=0,18)

36 36 Il montante: confronto tra i due regimi Ricordiamo le leggi di formazione del montante nei due regimi finanziari esaminati Interesse sempliceInteresse composto Focalizziamo lattenzione sul valore di un montante generato dallinvestimento di un capitale iniziale di 100 per valori di t compresi tra 0 e 1

37 37 Il montante: confronto tra i due regimi Per durate inferiori allanno gli interessi prodotti dallinvestimento nel regime dellinteresse semplice sono maggiori di quelli prodotti nel regime dellinteresse composto. Per durate superiori allanno gli interessi prodotti nel regime dellinteresse semplice sono minori di quelli prodotti nel regime dellinteresse composto Per durate pari ad 1 anno i due regimi finanziari producono lo stesso ammontare di interesse unitario ( 1+i )

38 38 Confronto RFIS e RFIC Regime dellinteresse semplice Schematizziamo operazione di investimento nel regime dellinteresse semplice Investimento di 100 per 4 anni ad un tasso del 5% annuo. 100 La redditività (ovvero la produzione di interessi) dellinvestimento rimane commisurata al versamento di capitale iniziale Capitale fruttifero Interessi Tempo (in anni) Il quarto anno loperatore incasserà il capitale iniziale investito ( 100) più gli interessi maturati in 4 anni ( 20).

39 39 Confronto RFIS e RFIC Interesse composto. Regime nel quale gli interessi prodotti vengono automaticamente resi fruttiferi. Linteresse viene capitalizzato a mano a mano che si genera. Schematizziamo operazione di investimento nel regime dellinteresse composto Investimento di 100 per 4 anni ad un tasso del 5% annuo. 110,25115, ,795,255,51 Capitale fruttifero Interessi Tempo (in anni) Il quarto anno loperatore incasserà il capitale iniziale investito ( 100) più gli interessi maturati in 4 anni ( 21,55).

40 40 Regime dellinteresse semplice INVESTIMENTO ATTUALIZZAZIONE

41 41 Regime dellinteresse composto INVESTIMENTO ATTUALIZZAZIONE

42 42 Esercizi ESERCIZIO 1 Dato un capitale iniziale di investito nel regime dellinteresse composto per tre anni al tasso di interesse annuo del 3,25%, determinare il montante finale delloperazione e linteresse generato.

43 43 Esercizi ESERCIZIO 2 Dato un tasso di interesse annuo del 4,75% e sapendo che tra un anno e quattro mesi sarà disponibile un capitale di 3.550, calcolare nel regime dellinteresse composto il valore attuale del capitale suddetto e la corrispondente misura dello sconto.


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