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MATEMATICA FINANZIARIA Docente: prof. Filippo Petroni facebook.

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1 MATEMATICA FINANZIARIA Docente: prof. Filippo Petroni facebook

2 Rendite certe Operazioni finanziarie con una data periodicità: affitti, pensioni, compravendite a rate, cedole di obbligazioni etc. etc. Si chiama rendita una successione di capitali da riscuoter (o da pagare) a scadenze determinate Rate della rendita sono i singoli capitali esigibili (o da pagare) alle diverse scadenze La rendita si dice periodica se lintervallo tra rate successive è costante

3 Rendite certe Nel caso periodico lintervallo tra due rate successive è detto periodo Il pagamento delle rate può avvenire allinizio o alla fine di ciascun periodo: rendite anticipate o posticipate Numero di rate finito => rendita temporanea Numero di rate infinito => rendita perpetua Rendita costante => tutte le rate sono uguali Rendita variabile => rate diverse Rendita unitaria => rate di valore unitario

4 Rendite certe t=0 t=n 0 t=1t=2 R1R1 R2R2 RnRn

5 Rendite certe Valore di una rendita – Dato un istante t quale è il valore della rendita in quellistante – Tutte le rate vanno riportate allistante t attraverso fattori di attualizzazione e/o capitalizzazione – È necessario stabilire un regime finanziario ed una legge finanziaria (tasso i) – Il valore della rendita non ha un carattere oggettivo

6 Rendite certe Valore di una rendita – Tempo: scelte standard nellistante iniziale (t 0 ) o in quello finale (t n ) – Rendita anticipata => in t 0 si paga la prima rata – Rendita posticipata => in t n si paga lultima rata – Si chiama Montante della rendita il valore nellistante t n – Si chiama valore attuale della rendita il valore nellistante t 0

7 Rendite certe Valore di una rendita – Si parla di rendita differita quanto il tempo di valutazione t è antecedente t 0 => differita di t 0 -t – Rendita immediata se t 0 =t – Una rendita posticipata immediata è equivalente ad una rendita anticipata differita di un periodo

8 Rendite certe t=0 t=n 0 t=1t=2 R1R1 R2R2 RnRn v(1) v(2) v(n) t=0 t=n 0 t=1t=2 R1R1 R2R2 RnRn r(n-1) r(n-2) Valore attuale di una rendita immediata posticipata Montante di una rendita immediata posticipata

9 Rendite certe Calcolo dei valori capitali (valore attuale o montante) – Regime dellinteresse composto – Ci riferiamo a rendite unitarie (nel caso di rate costanti) – Valore attuale di una rendita unitaria annua posticipata immediata, di durata n anni Basta sommare i valori attuali delle singole rate

10 Rendite certe Calcolo dei valori capitali (valore attuale o montante) La prima rata viene pagata dopo un anno esatto quindi va attualizzata per un periodo La seconda rata va attualizzata per 2 anni Lultima rata va attualizzata per n anni

11 Rendite certe Calcolo dei valori capitali (valore attuale o montante) => il valore attuale della rendita sarà la somma di tutti i valori attuali delle singole rate

12 Rendite certe Calcolo dei valori capitali (valore attuale o montante) Se sostituiamo

13 Rendite certe Calcolo dei valori capitali (valore attuale o montante) Si vede facilmente che è funzione crescente di n e decrescente di i Ovviamente se la rendita è costante ma le rate non sono uguali a 1 ma ad R qualunque il valore attuale sarà

14 Rendite certe Rendite costanti temporanee Valore attuale di una rendita unitaria annua posticipata, di durata n anni e differita di t anni Che equivale a calcolare il valore attuale nellistante di inizio della rendita e anticiparlo di t anni

15 Rendite certe Montante di una rendita unitaria annua posticipata immediata di durata n anni – Poiché calcoliamo il montante dobbiamo capitalizzare invece che anticipare – La prima rata va capitalizzata per n-1 anni, la seconda n-2 ….. lultima per 0 anni t=0 t=n 0 t=1t=2 R1R1 R2R2 RnRn r(n-1) r(n-2)

16 Rendite certe Montante di una rendita unitaria annua posticipata immediata di durata n anni – In formule:

17 Rendite certe Valore attuale di una rendita unitaria annua anticipata immediata di durata n anni – In formule: t=0 t=n R1R1 t=1t=2 R2R2 R3R3 RnRn

18 Rendite certe Valore attuale di una rendita unitaria annua anticipata, di durata n anni e differita di t anni – In formule:

19 Rendite certe Rendite frazionate – Valore attuale di n annualità unitarie, ciascuna frazionata in m rate uguali posticipare t=0 t=n 0 t=1/mt=2/m 1/m

20 Rendite certe Rendite frazionate – Possiamo valutarla considerando il tasso dinteresse i 1/m e il fattore di sconto associato v 1/m. Bisogna tenere conto che ora ci sono n*m rate di valore 1/m:

21 Rendite certe Rendite perpetue – Possiamo considerare un a rendita perpetua come limite di una rendita temporanea – Non possiamo valutare il montante (non è definito listante finale) – Vediamo il valore attuale di una rendita perpetua posticipata immediata unitaria annua

22 Rendite certe Rendite continue – Valore attuale di una rendita continua costante unitaria annua immediata di durata n anni – È il caso limite della rendita frazionata al tendere di m allinfinito. – La consideriamo unitaria nel senso che la somma delle rate in un anno vale 1

23 Rendite certe Rendite continue – Da cui si ottiene – Avendo usato le seguenti relazioni

24 Rendite certe Rendite variabili – Nel caso di rendite variabili (con rate non costanti) la sommatoria non si può fare senza sapere il valore specifico di ogni rata =>

25 Rendite certe Determinazione della durata – Supponiamo una rendita posticipata, immediata, di durata n anni, rata R, tasso di valutazione i, il valore attuale sarà – Supponiamo di conoscere tutto tranne la durata => possiamo invertire la formula per trovare n

26 Rendite certe Determinazione della durata

27 Rendite certe Determinazione del tasso – Supponiamo una rendita posticipata, immediata, di durata n anni, rata R, tasso di valutazione i, il valore attuale sarà – Supponiamo di conoscere tutto tranne il tasso dinteresse praticato => è meglio ragionare con lequazione scritta in questo modo:

28 Rendite certe Determinazione del tasso – Per trovare il tasso i di valutazione bisogno trovare gli zeri di un polinomio di grado n nellincognita v e poi trovare i dalla relazione v=(1+i) -1 – In generale non si trova una soluzione in modo analitico ma si cerca numericamente => metodo delle approssimazioni successive


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